高考解析幾何易錯點“百度搜索”

邵敏亞

俗話說：人非圣賢，孰能無過;明槍易躲，暗箭難防. 解析幾何中，不乏許多恰似“暗箭”的易錯點. 為了讓考生在高考答題時防患于未然，下面對高考解析幾何易錯題進行“百度搜索”，旨在幫助大家認清這些易錯點的“真面目”.

易錯點1：忽視直線傾斜角的取值范圍

【例1】經(jīng)過點（-2，1），傾斜角是直線4x-3y+1=0的傾斜角一半的直線的方程是________.

錯解：設(shè)所求直線的傾斜角為？琢，則直線4x-3y+1=0的傾斜角為2？琢.

于是，tan2？琢=，即=，∴tan？琢=-2或tan？琢=.

故所求直線的方程為2x+y+3=0或x-2y-4=0.

剖析：錯解中只注意了直線傾斜角的關(guān)系，而忽視了直線傾斜角的范圍，從而導致增解.

正解：設(shè)所求直線的傾斜角為？琢，則tan2？琢=，即=，

∴tan？琢=-2或tan？琢=.

又∵2？琢是直線4x-3y+1=0的傾斜角，∴0<2？琢<，0<？琢<，故tan？琢=.

因此，所求直線的方程為x-2y-4=0.

【友情提醒】在求直線傾斜角的過程中，如果遇到一些不確定的變量（如斜率、字母、角度等）時，要根據(jù)傾斜角的范圍進行合理的分類，確定出相應(yīng)的傾斜角.

易錯點2：寫直線的截距式方程忽略截距為零的情形

【例2】求經(jīng)過兩直線7x+8y-38=0和3x-2y=0的交點且在兩坐標軸上截距相等的直線方程.

錯解：由7x+8y-38=0，3x-2y=0，得交點為（2，3），

因為所求直線在兩坐標軸上截距相等，故它的方程可設(shè)為+=1，

又此直線經(jīng)過交點（2，3）， 所以有+=5，∴a=5，

故所求直線方程為x+y-5=0 .

剖析：直線的截距方程+=1只適用與截距不為0的情形. 因而上述解法忽略了截距為0的情形，解法不完整.

正解：（1）當直線過原點時，設(shè)方程為y=kx，

∵ 直線過（2，3）點，∴3=2k，k=. 此時方程為3x-2y=0.

（2）當直線在兩坐標軸上的截距相等且不為0時，解法同上，故所求方程為x+y-5=0.

綜上，所求方程為3x-2y=0或x+y-5=0.

【友情提醒】假設(shè)過定點P（x0，y0）的直線方程為截距式，即+=1，那么解答時一定要注意a與b為零的特殊情況.

易錯點3：忽視直線斜率不存在的特殊情形

【例3】過點P（2，-1）且與點A（-3，-1）和點B（7，-3）距離相等的直線方程是_________.

錯解：設(shè)所求直線為y+1=k（x-2），即kx-y-2k-1=0，

又點A（-3，-1）點B（7，-3）到此直線距離相等，

所以由點到直線距離公式得=.

即5k=5k+2，由此解得k=-.

所以所求方程為-x-y+-1=0，即x+5y+3=0.

剖析：上述錯解中的直線方程是用點斜式設(shè)的，默認了直線斜率一定存在. 事實上，當斜率不存在時，過點P（2，-1）的直線x=2也滿足題意.

正解：當所求直線過點P（2，-1），且斜率不存在時，方程為x=2，點A（-3，-1）和點B（7，-3）到這條直線的距離都是5，因而x=2滿足題意.

當所求直線過點P（2，-1），且斜率存在時，解法同上.

所以所求的直線方程是x+5y+3=0和x=2.

【友情提醒】假設(shè)過定點P（x0，y0）的直線方程為點斜式，即y-y0=k（x-x0），那么，解答時一定要注意斜率不存在的特殊情況.

易錯點4：忽視圓方程半徑的必要條件

【例4】若過點A（4，2）可以作兩條直線與圓C ∶ （x-3m）2+（y-4m）2=25（m+4）2相切，則點A在圓C的________（填“外部”“內(nèi)部”“上面”），實數(shù)m的取值范圍是________.

錯解：因為過點A與圓有兩條切線，可見點A必在圓的外部.

因為點A在圓的外部，則有（4-3m）2+（2-4m）2>25（m+4）2，因此有240m<-380，解得m<-.

故填：外部，m<-.

剖析：上述錯解忽視了圓方程的半徑一定要大于0這個前提.應(yīng)注意條件25（m+4）2>0.

正解：因為過點A與圓有兩條切線，可見點A必在圓的外部.

因為點A在圓的外部，則有（4-3m）2+（2-4m）2>25（m+4）2，因此有240m<-380，解得m<-. 又因為半徑必須大于0，故25（m+4）2>0，即m≠-4，因此m的取值范圍是m<-且m≠-4.

故填：外部，m<-且m≠-4.

【友情提醒】二元二次方程表示圓是有條件的，必須有D2+E2-4F >0. 在解決此類問題時，可以直接判斷D2+E2-4F >0，也可以配方后，判斷方程右側(cè)大于0，因為右側(cè)相當于r2. 對于曲線方程中含有參數(shù)的，都要考慮參數(shù)的條件.

易錯點5：忽視軌跡的完備性

【例5】△ABC的三邊a、b、c（a>b>c）成等差數(shù)列，A、C兩點的坐標分別是（-1，0）、（1，0），求頂點B的軌跡方程.

錯解：設(shè)點B的坐標為（x，y）.

∵a、b、c成等差數(shù)列，∴a+c=2b，即BC+BA=2AC，∴BC+BA=4.

根據(jù)橢圓的定義易知，點B的軌跡方程為+=1.

剖析：錯誤的原因是忽略了題設(shè)中的條件a>b>c，使變量x的范圍擴大，從而導致錯誤. 另外一處錯誤是當點B在x軸上時，A、B、C三點不能構(gòu)成三角形.

正解：（同錯解）又∵a>c，即>，解得x<0.

又點C不在x軸上，∴ x≠-2.

故所求的軌跡方程為+=1（-2

【友情提示】求軌跡方程時，一定要注意求得的方程所表示的曲線上的點是否都滿足題意，以確保軌跡的完備性.

易錯點6：忽視圓錐曲線標準方程的種類

【例6】已知橢圓的中心在原點，對稱軸是坐標軸，離心率e=，且過點P（2，3），求此橢圓的標準方程.

錯解：設(shè)橢圓的標準方程為+=1（a>b>0），

由題意知=，+=1，a2=b2+c2，解得b2=10，a2=40.

所以所求橢圓的標準方程為+=1.

剖析：上述解法沒有討論焦點的位置，而默認了橢圓的焦點在x軸上.

正解：當焦點在x軸上時，解法同上，所求橢圓的標準方程為+=1.

當焦點在y軸上時，設(shè)橢圓方程為 +=1=1（a>b>0），由題意，得=，+=1，c2=a2-b2，

解得b2=，a2=25. 故所求橢圓的標準方程為+=1.

綜上，所求橢圓的標準方程為+=1或+=1.

【友情提醒】無論是橢圓方程，還是雙曲線方程或拋物線方程，它們的標準方程都不止一個，求圓錐曲線方程時必須關(guān)注焦點的位置是否確定，謹防“漏解”.

易錯點7：忽略圓錐曲線方程中x，y的取值范圍

【例7】設(shè)橢圓的中心是坐標原點，長軸x在軸上，離心率e=，已知點P（0，）到這個橢圓上的最遠距離是，求這個橢圓的方程.

錯解：依題意可設(shè)橢圓方程為+=1（a>b>0），

則e2===1-=，所以=，即a=2b.

設(shè)橢圓上的點（x，y）到點P的距離為d，

則d2=x2+（y-）2=a2（1-）+y2-3y+=-3（y+）2+4b2+3

所以當y=-時，d2有最大值，從而d也有最大值.

所以4b2+3=（）2，故b2=1. 又a=2b，所以a2=4.

于是，所求橢圓的方程為+y2=1.

剖析：盡管上面解法得到的結(jié)論是正確的，但解答過程不正確. 錯解中，當y=-時，d2有最大值，這步推理是錯誤的，它沒有考慮y的取值范圍. 事實上，由于點（x，y）在橢圓上，故有-b≤y≤b，因此在求d2的最大值時，應(yīng)分類討論.

正解：若b<，則當y=-b時，d2（從而d）有最大值.

于是（）2=（b+）2，從而解得b=->，b<矛盾.

所以必有b≥，此時當時y=-，d2（從而d）有最大值，

所以4b2+3=（）2，解得b2=1，a2=4.? 于是，所求橢圓的方程為+y2=1.

【友情提醒】在橢圓+=1（a>b>0）中，x∈[-a，a]，y∈[-b，b];在雙曲線-=1（a>0，b>0）中，x∈（-∞，-a]∪[a，+∞），y∈（-∞，+∞）. 利用函數(shù)思想求與圓錐曲線的最值或取值范圍問題時，常常要用到圓錐曲線方程中x，y的取值范圍.

易錯點8：缺乏分類意識

【例8】已知橢圓+=1的離心率e=，求m的值.

錯解：由已知得，a2=5，b2=m，∴ c2=5-m.

∴=e2，即=（）2. 解之得m=3.

剖析：題設(shè)中m與5的大小關(guān)系不能確定，本題上述解法中只求了m<5的情況.

正解：當m<5時，a2=5，b2=m，∴ c2=5-m.

由已知得：=（）2. 解之得m=3.

當m>5時，a2=5，b2=m，∴ c2=m-5.

由已知得=（）2. 解之得m=.

故m=3或m=.

【友情提醒】遇到參數(shù)問題，首先要想到是否需要分類討論.當圓錐曲線的離心率已知時，需注意它的焦點位置是否確定，從而判定求標準方程中的參數(shù)的值是否需要分類討論.

易錯點9：忽視方程中字母的正負

【例9】已知雙曲線8kx2-ky2=8的一個焦點為（0，3），求k的值.

錯解：將雙曲線方程化為標準方程-=1.

因為焦點在y軸上，所以a2=，b2=，

所以c===3，即=9，所以k=.

剖析：上述錯解有兩處錯誤：一是a2與b2確定錯誤; 二是a、b、c的關(guān)系式用錯了. 在雙曲線中應(yīng)為c2=a2+b2.

正解：因為一個焦點是（0，3），所以焦點在y軸上，雙曲線方程可化為標準方程-=1.

所以c=3，a2=-，b2=-，所以a2+b2=--=-=c2=9. 故k=-1.

【友情提醒】對于圓錐曲線而言，一旦焦點位置確定在哪根坐標軸上，它的標準方程的類型已經(jīng)確定，由此可以確定方程中字母的正負.

易錯點9：盲目運用圓錐曲線定義

【例9】一動點P到y(tǒng)軸的距離比到點A（2，0）的距離小2，求動點P的軌跡方程.

錯解：∵動點P到y(tǒng)軸的距離比到點A（2，0）的距離小2，

∴P到A（2，0）的距離等于P到直線x=-2的距離.

由拋物線定義得點P的軌跡是以直線x=-2為準線、以A（2，0）為焦點的拋物線，

動點P的軌跡方程是y2=8x.

剖析：上述解法只考慮了點P不在y軸左側(cè)的情況. 當點P在y軸左側(cè)時，點P到點A（2，0）的距離不可能等于點P到直線x=-2的距離，故此時點P的軌跡不是拋物線，應(yīng)是x軸負半軸.

正解：設(shè)動點P（x，y），根據(jù)條件列等式：=x+2，

化簡得y2=8x（x≥0）或y=0（x<0）.

所以 動點P的軌跡方程是y2=8x（x≥0）或y=0（x<0）.

【友情提醒】解與本題類似的軌跡方程問題，應(yīng)該先根據(jù)圖形判斷有幾種情況，免得漏解. 也可直接，化簡即可.在解析幾何中，各元素間位置的多樣性，往往被我們忽視，我們應(yīng)“多個心眼”.

易錯點10：忽視圓錐曲線離心率固有的取值范圍

【例10】已知雙曲線-=1（a>0，b>0）中，A1，A2為左、右頂點，F(xiàn)為右焦點，B為虛軸的上端點，若在線段BF上（不含端點）存在不同的兩點Pi（i=1，2），使得△Pi A1A2（i=1，2）構(gòu)成以A1A2為斜邊的直角三角形，則雙曲線離心率e的取值范圍為__________.

錯解：由題意知F（c，0），B（0，b），則直線BF的方程為bx+cy-bc=0.

因為在線段BF上（不含端點）存在不同的兩點Pi（i=1，2），使得 △Pi A1A2（i=1，2）構(gòu)成以線段A1A2為斜邊的直角三角形，所以以A1A2為直徑的圓與線段BF相交，

所以

故e的取值范圍為（，）.

剖析：本題出現(xiàn)兩個錯誤，一是雙曲線的離心率e>1這個條件被忽視，二是點B，F(xiàn)在以A1A2為直徑的圓的外面這個隱含條件被忽視.

正解：（同錯解）因為e>1，所以1

由于P1，P2在線段BF上（不含端點），故點B在圓外，即b>a，故a2.

綜上知，e∈（，）.

【友情提醒】求圓錐曲線的離心率的取值范圍時一定要注意：橢圓的離心率e∈（0，1），雙曲線的離心率e∈（1，+∞）.

易錯點11：把直線與圓錐曲線“有一個交點”同“相切”混淆

【例11】求過點M（0，1）且和拋物線C ∶ y2=4x僅有一個公共點的直線方程.

錯解：設(shè)所求直線方程是y=kx+1.

由y=kx+1，y2=4x，消去y，得k2x2+2（k-2）x+1=0.

∵拋物線與所求的直線只有一個公共點，

∴？駐=4（k-2）2-4k2=0，解得k=1.

故所求的直線方程為y=x+1.

剖析：由于過點M（0，1）的直線l的斜率可能存在，也可能不存在，同時拋物線與其對稱軸平行的直線與拋物線恒有一個交點的特性，從而漏了兩個解.

正解：（1）當直線l的斜率不存在時，其方程為x=0，顯然與拋物線C僅有一個公共點.

（2）當直線l的斜率為零，其方程為y=1，顯然與拋物線C僅有一個公共點.

（3）當直線l的斜率為k（k≠0），設(shè)所求直線方程是y=kx+1.

由y=kx+1，y2=4x，消去y，得k2x2+2（k-2）x+1=0，

∵拋物線與所求的直線只有一個公共點，

∴？駐=4（k-2）2-4k2=0，解得k=1. 故所求的直線方程為y=x+1.

綜上可知，所求的直線方程為x=0，y=1，y=x+1.

【友情提醒】與圓錐曲線只有一個公共點的直線不一定是圓錐曲線的切線. 謹記：與雙曲線的漸近線平行的直線與雙曲線只有一個交點;與拋物線的對稱軸平行的直線與拋物線只有一個交點.

易錯點12：缺乏檢驗意識

【例12】已知雙曲線x2-=1，問過點A（1，1）能否作直線l，使l與雙曲線交于P、Q兩點，并且A為線段PQ的中點？若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由.

錯解：設(shè)符合題意的直線l存在，并設(shè)P（x1，y1），P（x2，y2）

則x12-=1……（1）x22-=1……（2）

（1）-（2），得（x1-x2）（x1+x2）=（y1-y2）（y1+y2）……（3）

因為A（1，1）為線段PQ的中點，所以x1+x2=2……（4）y1+y2=2……（5）

將（4）（5）代入（3）得x1-x2=（y1-y2）.

顯然x1≠x2，則直線l的斜率k==2，所以符合題設(shè)條件的直線l存在，其方程為2x-y-1=0.

剖析：在（3）式成立的前提下，由（4）（5）兩式可推出（6）式，但由（6）式不能推出（4） （5）兩式，故應(yīng)對所求直線進行檢驗，上述錯解沒有做到這一點，故是錯誤的.

正解：在上述解題的基礎(chǔ)上，再由y=2x-1，x2-=1，得2x2-4x+3=0.

根據(jù)？駐=-8<0，從而知所求直線不存在.

【友情提醒】用點差法求直線方程時，只是承認了直線與曲線相交，而事實上，存在不相交的可能，所以在求出直線方程后，應(yīng)利用判別式判斷直線與曲線是否相交. 當然，就本題來講，也可以不用點差法求解.直接設(shè)直線的方程，利用待定系數(shù)法求解. 遇見直接用直線與曲線方程聯(lián)立解方程組的問題，就比較容易聯(lián)想用判別式求解.

易錯點13：設(shè)直線的點斜式或斜截式方程忽略判斷斜率是否存在

【例13】已知橢圓的方程為+=1（a>b>0），離心率e=，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點，過橢圓的左焦點F1且垂直于長軸的直線交橢圓于M、N兩點，且MN=.

（1）求橢圓的方程;

（2）已知直線l與橢圓相交于P、Q兩點，O為原點，且OP⊥OQ. 試探究點O到直線l的距離是否為定值？若是，求出這個定值;若不是，請說明理由.

錯解：（1）由題意得e==……①

又因為過橢圓的左焦點F1且垂直于長軸的直線交橢圓于M、N兩點，且MN=，

即=……②

由①②得a=，b=1，c=1所以橢圓方程為：+y2=1.

（2）設(shè)直線l方程為y=kx+m，點P（x1，y1），Q（x2，y2）.

由+y2=1，y=kx+m？圯（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0.

所以？駐=8（2k2+1-m2）>0，由韋達定理得：x1+x2=，x1x2=.

因此，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=.

因為OP⊥OQ，所以x1x2+y1y2=0？圯=0？圯m2=.

此時？駐=>0滿足條件，設(shè)原點到直線的距離為d，

則d===，是定值.

剖析：上述錯解（2）中，忽視了直線的l斜率不存在的情形.

正解：（1）同錯解.

（2）①當直線斜率存在時，設(shè)直線方程為y=kx+m，點P（x1，y1），Q（x2，y2）.

由+y2=1，y=kx+m？圯（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0.

所以？駐=8（2k2+1-m2）>0，由韋達定理得：x1+x2=，x1x2=.

因此，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=.

因為OP⊥OQ，所以x1x2+y1y2=0？圯=0？圯m2=.

此時，？駐=>0滿足條件，設(shè)原點到直線的距離為d，則d===.

②當直線的斜率不存在時，因為OP⊥OQ，根據(jù)圓的對稱性，設(shè)直線OP，OQ的方程為y=x，y=-x可得P（，），Q（，-）或P（-，-），Q（-，）.

此時原點到直線的距離仍為.

綜上可得，原點到直線的距離為，是定值.

【友情提醒】設(shè)直線的點斜式方程或斜截式方程要先判斷斜率是否存在，若有可能不存在，要分類討論，否則會犯“對而不全”的錯誤，從而導致失分.

易錯點14：盲目應(yīng)用判別式

【例14】若圓（x-a）2+y2=4與拋物線y2=6x沒有公共點，求實數(shù)a的取值范圍.

錯解：因為圓（x-a）2+y2=4與拋物線y2=6x沒有公共點

所以方程組（x-a）2+y2=4，y2=6x，消去y2，得方程x2+（6-2a）x+a2-4=0無解.

所以由判別式？駐=（6-2a）2-4（a2-4）<0得實數(shù)a的取值范圍是（，+∞）.

剖析：判別式？駐只適用于直線與二次曲線的位置關(guān)系的判斷，不適用于兩個二次曲線之間的位置關(guān)系的判斷.

正解：由于圓的半徑為2，當圓與拋物線外切時，a=-2，于是a<-2時，圓與拋物線沒有公共點. 當圓與拋物線內(nèi)切時，由（x-a）2+y2=4，y2=6x，得x2-（2a-6）x+a2-4-0. ……①

？駐=（2a-6）2-4（a2-4）=0，解得a=，然而把a=代入方程①得3x2+5x+=0，此時解為x=-，是負根，顯然圓與拋物線不能內(nèi)切，

∴當x≥0時，問題等價于圓心（a，0）到拋物線距離d的最小值大于2，求a的取值范圍.

設(shè) P（x，y）為拋物線上一點，則d2=（x-a）2+y2=（x-a）2+6x=[x-（a-3）]2+6a-9，

設(shè)f（x）=[x-（a-3）]2+6a-9（x≥0），

當a-3>0即a>3時，f（a-3）最小，∴dmin=>2，解得a>.

考慮到a>3，∴a>3，當a-3≤0即a≤3時f（0）最小，

∴dmin=a>2. 此時2

于是圓（x-a）2+y2=4與拋物線y2=6x沒有公共點時，a的取值范圍為a<-2或a>2.

【友情提醒】二次曲線與二次曲線的交點問題不同于直線與二次曲線位置關(guān)系的探討，僅有判別式法是不夠的，這是因為二次曲線是有范圍限制并且一般情況下具有對稱性，要結(jié)合起來一起討論. 由于我們研究的是曲線與曲線之間的位置關(guān)系，圖形未必能把細微處的走向描述清楚，必須與代數(shù)運算結(jié)合起來，正如華羅庚先生所言，“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”.

從核心素養(yǎng)角度看，高考對解析幾何的考查側(cè)重于數(shù)學運算素養(yǎng)，因此，提高解析幾何的運算能力是解析幾何復習的終極目標，考生們不僅要牢固掌握解析幾何的運算技能與技巧，更要遠離解題誤區(qū)，牢牢把握易錯點. 愿上面的十四個解析幾何易錯點剖析能為六月高考“保駕護航”.

責任編輯 徐國堅