改進的交叉耦合控制策略在同步控制中的應(yīng)用*

曹 原，賈 凱，徐 方，杜振軍，劉明敏

(1.中國科學(xué)院沈陽自動化研究所機器人國家重點實驗室，沈陽 110016；2.中國科學(xué)院機器人與智能制造創(chuàng)新研究院，沈陽 110169；3.中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049；4.沈陽新松機器人自動化股份有限公司，沈陽 110168)

0 引言

隨著機器人技術(shù)的突飛猛進、智能化的提高，以多機器人協(xié)調(diào)進行的作業(yè)模式逐漸成為主流，同時機器人末端的位姿控制精度成為不可忽略的問題。機器人的同步控制技術(shù)在多關(guān)節(jié)單機器人系統(tǒng)中廣泛存在，它通過一定的控制策略，有效的改善了機器人的跟蹤精度，并在一定程度上提高了機器人的安全性和工作效率，為機器人的智能化發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。

在現(xiàn)有同步控制技術(shù)中，機械式同步方式由于機械結(jié)構(gòu)長期運作導(dǎo)致的磨損以及裝配誤差等因素，影響整個系統(tǒng)的同步性能。隨著數(shù)控技術(shù)的發(fā)展，電氣式控制成為主流，分為非交叉耦合和交叉耦合控制策略[1-2]。非交叉耦合策略在整體上屬于開環(huán)控制，同步控制性能較差[3-4]。為解決其開環(huán)問題，交叉耦合同步控制策略，實現(xiàn)了整體閉環(huán)效果[5]；基于相鄰兩關(guān)節(jié)實際轉(zhuǎn)速的相鄰交叉耦合控制策略[6-9]，控制結(jié)構(gòu)相對簡單，但并不適用于關(guān)節(jié)數(shù)目較多的情況；多關(guān)節(jié)的偏差交叉耦合控制結(jié)構(gòu)[10]也被提出，但相對復(fù)雜計算量大。隨著技術(shù)的進步，范志龍[11]在偏差耦合控制基礎(chǔ)上，引入了表征所有關(guān)節(jié)速度的平均值作為評價函數(shù)；趙文兵等[12]提出了最大偏差耦合控制，將各關(guān)節(jié)速度極值作差得到最大偏差進行補償控制；SHIH 等[2]提出的一種基于均值和極值的偏差耦合控制，有效改善了速度補償器的不穩(wěn)定性。谷雨等[13]在相鄰交叉耦合控制策略的基礎(chǔ)上，通過賦予電機不同權(quán)值，提出了加權(quán)交叉耦合的多電機同步控制策略與算法。

分析發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)有交叉耦合同步控制策略對信號的跟蹤情況存在兩個問題。(1)以速度偏差作為的補償只適用于輸入信號相同的前提下；(2)以各關(guān)節(jié)間的跟蹤誤差差值進行變換得到的補償計算量大，沒有考慮跟蹤誤差極值對整體系統(tǒng)的影響，魯棒性差。針對以上問題，本文設(shè)計了改進型交叉耦合同步控制策略，以各關(guān)節(jié)跟蹤誤差差值經(jīng)過加權(quán)變換，并將極值和平均值耦合作為同步誤差，其次分析了策略原理，進行了穩(wěn)定性判定，最后通過對比實驗，對其控制性能、魯棒性進行了對比分析。

1 改進的交叉耦合控制策略

本節(jié)分別介紹了文章涉及到的同步控制思想與改進的同步控制策略，其中著重介紹了所提出的改進型交叉耦合控制策略依據(jù)及具體表現(xiàn)形式。

1.1 同步控制思想

對于多關(guān)節(jié)系統(tǒng)的同步控制主要包含兩個方面：跟蹤誤差和同步誤差。

在多關(guān)節(jié)系統(tǒng)的同步控制中，設(shè)第i關(guān)節(jié)的跟蹤誤差表征如式(1)所示。

(1)

為達到各關(guān)節(jié)的同步控制，當某一關(guān)節(jié)的跟蹤誤差ei(t)趨于0時，應(yīng)滿足各關(guān)節(jié)的跟蹤誤差都等于0。

1.2 改進的同步控制策略

不考慮關(guān)節(jié)摩擦力以及外部擾動，對于n關(guān)節(jié)的機器人系統(tǒng)模型[15]可以由式(2)表示。

(2)

n個關(guān)節(jié)的跟蹤誤差分別表示為：

(3)

對于第1.1節(jié)提到的同步控制思想，在系統(tǒng)中，不僅要考慮單個關(guān)節(jié)的跟蹤誤差，同時考慮其他關(guān)節(jié)的影響。當其中一個關(guān)節(jié)受到擾動脫離期望值時，系統(tǒng)中的其他關(guān)節(jié)都會受到影響并且通過調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)速來抵消擾動。設(shè)兩關(guān)節(jié)i、j之間的同步誤差為εij(t)，如式(4)所示。

εij(t)=ei(t)-ej(t)

(4)

當考慮到所有關(guān)節(jié)所受影響時，此時第i關(guān)節(jié)的同步誤差表示如式(5)所示。

εi(t)=λi1(ei(t)-e1(t))+λi2(ei(t)-e2(t))+…+

λi1e1(t)-λi2e2(t)-…-λinen(t)

(5)

對于n關(guān)節(jié)系統(tǒng)，可將(5)式表示為矩陣形式，如(6)式所示。

(6)

定義：

(7)

為解決第1節(jié)提到的極值對整體系統(tǒng)影響大的問題，現(xiàn)將所有關(guān)節(jié)跟蹤誤差的極值和平均值也耦合到同步誤差其中，則(6)式更新表達式如下：

(8)

式中，

(9)

此時，

(10)

則矩陣可變化為下列形式：

ε(t)=RE(t)

(11)

式中，ε(t)為多關(guān)節(jié)系統(tǒng)的同步誤差矩陣；R為系統(tǒng)的關(guān)系矩陣；E為系統(tǒng)的角速度跟蹤誤差矩陣。

如圖1所示為關(guān)節(jié)1的同步誤差結(jié)構(gòu)圖，第一關(guān)節(jié)的同步誤差分別包含了關(guān)節(jié)1誤差與其他關(guān)節(jié)的差值，并根據(jù)各關(guān)節(jié)的影響度賦予對應(yīng)的權(quán)值，同時，通過比較得到所有關(guān)節(jié)誤差的極值以及平均值，經(jīng)過變換耦合到其中，具體結(jié)構(gòu)如圖所示。其它關(guān)節(jié)依次類推。

圖1 改進的同步控制策略關(guān)節(jié)1同步誤差結(jié)構(gòu)示意圖

當系統(tǒng)滿足e1(t)=e2(t)=…=en(t)→0時，同步誤差ε(t)→0，可以達到系統(tǒng)的同步控制。

1.3 控制器設(shè)計

為提高多關(guān)節(jié)系統(tǒng)的同步控制性能，有效的控制多關(guān)節(jié)系統(tǒng)，關(guān)鍵應(yīng)考慮控制關(guān)節(jié)的跟蹤誤差和同步誤差[17]。多關(guān)節(jié)系統(tǒng)的總誤差表達式如式(12)所示。

(12)

式中，?i為正常數(shù)。

因此，設(shè)計控制函數(shù)ui(t)如式(13)所示。

(13)

式中，ci為正常數(shù)，由式(13)定義以下向量。

(14)

(15)

通過對式(2)、式(14)、式(15)聯(lián)合處理，得到對于n關(guān)節(jié)的機器人系統(tǒng)的閉環(huán)控制方程：

(16)

1.4 系統(tǒng)穩(wěn)定性及有效性分析

在得到系統(tǒng)的閉環(huán)控制方程后，驗證系統(tǒng)是否具有穩(wěn)定性，這里采用Lyapunov進行穩(wěn)定性判定。首先選取Lyapunov函數(shù)如下：

(17)

式中，Mi、kε、ci、?i、kε、λij等系數(shù)都為正常數(shù)，其它項為平方項，觀察可得V(t)≥0，滿足正定條件。現(xiàn)對函數(shù)求導(dǎo)如下：

(18)

通過式(16)與式(18)可得：

(19)

系統(tǒng)關(guān)系矩陣R為對陣矩陣，因此R′Ti=Ri，式(20)可變換為：

(21)

式中，

將式(20)～式(23)聯(lián)立后代入式(19)，最終化簡得到如下表達式：

(24)

2 仿真與實驗

2.1 實驗設(shè)置

本節(jié)分別搭建了最大偏差耦合控制策略、加權(quán)耦合型同步控制策略以及本文改進的交叉耦合控制策略的Simulink控制框圖，文章實驗采用控制變量原則進行實驗對比，文章分別進行兩組對比實驗：相同輸入信號下，不同控制策略的對比；不同輸入信號下，不同控制策略的對比；為達到明顯實驗效果，兩組實驗都分別在干擾有無的情況下進行對比分析。

在對比實驗中，每種策略都應(yīng)用在三個關(guān)節(jié)的控制系統(tǒng)中，每個關(guān)節(jié)均采用孫怡[14]推導(dǎo)的電機數(shù)學(xué)模型，具體模型如式(25)所示；為保證變量統(tǒng)一，每個關(guān)節(jié)采用傳統(tǒng)的PID控制，并且對PID參數(shù)的設(shè)置統(tǒng)一為Kp=20、KI=1250、KD=0.000 1；當控制策略面對不同輸入時，階躍信號0.5 s時刻突變，突變時刻跟蹤誤差較大，相對于其他關(guān)節(jié)來說是干擾，此時對整個系統(tǒng)的影響較大。為保證實驗的準確性，在多關(guān)節(jié)同步控制仿真實驗中要加入干擾來驗證同步控制策略的性能。下面將通過三組實驗，詳細對比三種控制策略。

(25)

2.2 最大偏差耦合控制策略

最大偏差耦合控制主要思路是對各關(guān)節(jié)實際角速度信息進行對比，得到極值偏差，并利用極值偏差進行補償。

根據(jù)圖2結(jié)構(gòu)示意圖，利用MATLAB的Simulink模塊進行建模分析。

圖2 最大偏差耦合控制結(jié)構(gòu)示意圖

如圖3所示，圖中共包括3條支路，每條支路的輸入信號都是正弦信號，當進行不同信號輸入實驗時(不同信號的輸入模型在文章內(nèi)未給出)，需要把Sine Wave02和Sine Wave03兩支路信號分別更改為余弦信號和階躍信號即可，其它量全部保持不變。

圖3 最大偏差耦合控制策略Simulink建模

2.3 加權(quán)耦合型同步控制策略

趙文兵[12]提出的加權(quán)耦合型同步控制策略的同步誤差表達式如式(26)所示，建立的Simulink控制框圖如圖4所示。

圖4 加權(quán)耦合型控制策略Simulink建模

(26)

2.4 改進的交叉耦合控制策略

對于本文提出的改進的交叉耦合控制策略，根據(jù)圖1同步誤差結(jié)構(gòu)示意圖，建立圖5所示的控制系統(tǒng)，控制策略考慮了所有關(guān)節(jié)跟蹤誤差的極值和平均值。在加權(quán)耦合型同步控制系統(tǒng)和改進的交叉耦合型控制系統(tǒng)中，增益Gain1-6統(tǒng)一分別設(shè)置為1、0.1、1、0.1、1、1，同步誤差系數(shù)設(shè)置為1。在進行干擾實驗時，統(tǒng)一設(shè)置在第3關(guān)節(jié)加入時間1 s～1.01 s的階躍干擾信號，具體控制框圖文章不再給出。

圖5 改進的交叉耦合控制策略Simulink建模

3 實驗結(jié)果與分析

本節(jié)對不同控制策略在輸入信號相同和不同的兩種情況下的結(jié)果進行了對比分析。后文中將以控制策略Ⅰ代表最大偏差耦合控制策略、Ⅱ代表加權(quán)耦合型控制策略、Ⅲ代表改進的交叉耦合控制策略。

3.1 輸入信號相同的實驗結(jié)果

首先是相同信號輸入下無干擾的分析圖，3種控制策略的輸出結(jié)果及誤差分析圖基本一致，圖6只給出了控制策略Ⅰ的分析圖。輸出結(jié)果大致相同，表明了3種控制策略都適用于輸入信號相同且無干擾前提下；結(jié)果大致相同的原因在于系統(tǒng)無干擾、3關(guān)節(jié)模型都相同、除了控制策略不一樣其他條件都一樣，實驗條件較為理想，現(xiàn)實中可能會存在干擾、模型不同等因素。理想條件下，3關(guān)節(jié)輸出都相等，關(guān)節(jié)間的耦合誤差都為0，因此造成了結(jié)果大致相同。對于此，文章在第3關(guān)節(jié)加入干擾進行模擬試驗后，得到如圖7所示分析圖。

(a) 控制策略Ⅰ輸出圖 (b) 控制策略Ⅰ誤差分析圖

(a) 控制策略Ⅰ輸出圖 (b) 控制策略Ⅱ輸出圖

由輸出圖可以觀察到，第3關(guān)節(jié)碰到干擾時，第1、第2關(guān)節(jié)也會根據(jù)第3關(guān)節(jié)的誤差做出相應(yīng)的調(diào)整，調(diào)整后都會繼續(xù)跟隨原信號輸出；對比3個策略的誤差圖，在輸入信號相同且存在干擾前提下，本文提出的改進的交叉耦合控制策略同步控制性能略優(yōu)，誤差最小，第3關(guān)節(jié)誤差數(shù)值達到0.045 79。

3.2 輸入信號不同的實驗結(jié)果

本小節(jié)將在輸入信號不同前提下，進行有干擾和無干擾的兩種實驗對比分析。對于整個多關(guān)節(jié)控制系統(tǒng)，3個關(guān)節(jié)信號依次為正弦、余弦和階躍信號。無干擾情況下的3種控制策略仿真結(jié)果如圖8所示。

(a) 控制策略Ⅰ輸出圖 (b) 控制策略Ⅱ輸出圖

系統(tǒng)在1 s～1.01 s有階躍信號干擾的情況下進行仿真實驗，得到如圖9所示的干擾仿真結(jié)果對比圖。

(a) 控制策略Ⅰ輸出圖 (b) 控制策略Ⅱ輸出圖

3.3 結(jié)果分析

如表1所示，對以上4組實驗：相同信號下無干擾仿真、相同信號下有干擾仿真、不同信號下無干擾仿真以及不同信號下有干擾仿真的結(jié)果進行了分析匯總。由于實驗中是在第3關(guān)節(jié)加入的干擾，因此在分析中，主要包括了第3關(guān)節(jié)的最大跟蹤誤差，以及各關(guān)節(jié)穩(wěn)定后的穩(wěn)定誤差。

表1 各控制策略仿真結(jié)果分析表

在相同信號無干擾情況下，數(shù)值一致，第3.1節(jié)已詳細說明原因；在相同信號有干擾情況下，從第3關(guān)節(jié)最大跟蹤誤差可以得出，控制策略Ⅲ誤差為0.048 03，優(yōu)于控制策略Ⅰ、Ⅱ，控制性能較好；另外，根據(jù)相同信號下的實驗數(shù)據(jù)可以得出，三種控制都適用于輸入信號相同的情況。

對比控制策略Ⅰ的4組實驗，在不同信號下，各關(guān)節(jié)誤差不收斂，結(jié)果毫無意義，因此以實際輸出作為補償?shù)淖畲笃铖詈峡刂撇呗愿静贿m用于不同輸入情況下；而控制策略Ⅱ、Ⅲ的誤差基本收斂，首先證明了加權(quán)耦合型控制策略以及本文提出的改進的交叉耦合控制策略適用于輸入信號不同的情況下；另外，從表中可以得到，在不同信號下有干擾和無干擾下時，控制策略Ⅲ的誤差普遍小于控制策略Ⅱ。

綜上所述，通過以上的控制變量對比實驗，本文提出的改進的交叉耦合同步控制策略既適用于輸入信號相同情況，同樣也適用于輸入信號不同前提下；另外通過有無干擾對比實驗，證明了將極值和平均值耦合到誤差中，有效的解決了誤差極值對整體系統(tǒng)影響大、魯棒性差的問題，本文提出的改進的交叉耦合同步控制策略在面對干擾時，控制性能較為優(yōu)越。

4 結(jié)語

文章分析了現(xiàn)有同步控制策略的優(yōu)缺點，針對總結(jié)提出的現(xiàn)有策略存在的問題，本文提出了改進的交叉耦合同步控制策略，分析了策略原理，并通過李雅普諾夫定理進行了穩(wěn)定性判定；最后通過MATLAB/Simulink搭建了最大偏差耦合控制策略、加權(quán)耦合型控制策略以及本文提出的改進的交叉耦合控制策略控制框圖，通過控制變量法，分別對3種策略進行了以輸入信號是否相同、有無干擾為前提的4組對比實驗。結(jié)果表明：本文提出的改進的交叉耦合同步控制策略適有效的解決了誤差極值對整體系統(tǒng)影響大的問題，控制性能更為優(yōu)越，魯棒性高，在多關(guān)節(jié)機器人的同步控制領(lǐng)域中具有較大的參考性和實用性。