EGO算法在系桿拱橋成橋索力優(yōu)化中的應(yīng)用研究

毛星波 盛冬發(fā) 朱軍

摘 要：系桿拱橋成橋索力極大地影響著橋梁整體的最終受力狀態(tài)。為使已有的索力確定方法能夠有更佳的使用效果，筆者提出使用EGO算法對系桿拱橋成橋索力進(jìn)行優(yōu)化。本研究闡述了EGO算法核心部分的原理，并給出了其在索力優(yōu)化中的數(shù)學(xué)模型和具體優(yōu)化步驟。最后，通過工程案例對所提的方法進(jìn)行驗(yàn)證，得出了其具有良好的索力優(yōu)化效果的結(jié)論。本研究所采用的方法能給系桿拱橋索力的優(yōu)化和已有索力確定方法的改進(jìn)提供一定參考。

關(guān)鍵詞：系桿拱橋;索力優(yōu)化;EGO

中圖分類號：U448.22 ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? 文章編號：1003-5168（2022）11-0013-04

DOI：10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2022.11.002

Application of EGO Algorithm in Cable Force Optimization of Tie Arch Bridge

MAO Xingbo? ? SHENG Dongfa? ? ZHU Jun

（School of Civil Engineering， Southwest Forestry University，Kunming 650224，China）

Abstract：The cable force of tied arch bridge greatly affects the final stress state of the whole bridge.In order to make the existing cable force determination methods more effective，an EGO （Efficient Global Optimization） algorithm is proposed to optimize the cable force of tied arch bridges.The principle of the core part of EGO algorithm is described，and its mathematical model and specific optimization steps in cable force optimization are given.Finally， the method proposed in this paper is verified by an engineering case，and a conclusion is drawn that it has good cable force optimization effect.The method presented in this paper can provide some reference for the optimization of cable forces of tied arch Bridges and the improvement of existing determination methods of cable forces.

Keywords：tied-arch bridge;cable force optimization;EGO

0 引言

系桿拱橋成橋索力的確定是系桿拱橋設(shè)計中的核心，其不僅影響著橋梁整體的受力狀態(tài)，也是后續(xù)計算吊桿施工張拉力與進(jìn)行整體施工控制的前提和目標(biāo)[1]。目前，已有大量的工程師和學(xué)者對系桿拱橋成橋索力的確定進(jìn)行了優(yōu)化研究，并提出了許多行之有效的方法。其中，被廣泛應(yīng)用的方法有彈性支撐連續(xù)梁法[2]、未知荷載系數(shù)法[3]、最小彎曲能量法[4]。雖然確定索力的方法多種多樣，但每種方法都有其限定的適用范圍。例如，彈性支撐連續(xù)梁法在系桿拱橋?yàn)閷ΨQ結(jié)構(gòu)時能取得較理想的索力，但在面對非對稱結(jié)構(gòu)時，其優(yōu)化效果卻不穩(wěn)定。本研究在相關(guān)研究的基礎(chǔ)上，結(jié)合已有的索力確定方法，提出一種比已有方法優(yōu)化效果更佳的索力確定方法，以此來盡量彌補(bǔ)各種確定方法存在的不足。

本研究采用廣泛應(yīng)用于航空航天領(lǐng)域的EGO（Efficient Global Optimization）算法[5-6]來對系桿拱橋成橋索力進(jìn)行尋優(yōu)。筆者先闡述了EGO算法的基本原理，并給出系桿拱橋成橋索力優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型和具體操作步驟。為了驗(yàn)證EGO算法在索力優(yōu)化中的實(shí)際應(yīng)用效果，以某一工程案例為例，對本研究所采用的方法與已有的常用索力確定方法進(jìn)行對比，結(jié)果顯示本研究所采用的方法具有良好的索力優(yōu)化效果。以上研究為系桿拱橋成橋索力的優(yōu)化增添了一種新方法，也為已有的索力確定方法的改進(jìn)提供了新思路。

1 EGO算法

EGO算法使用的函數(shù)可分為兩個核心部分，即以Kriging代理函數(shù)為基礎(chǔ)的樣本擬合部分和以EI加點(diǎn)準(zhǔn)則函數(shù)為基礎(chǔ)的迭代尋優(yōu)部分。

Kriging代理函數(shù)的核心思想是利用已知樣本點(diǎn)的線性加權(quán)來獲得未知點(diǎn)處的函數(shù)預(yù)測值[6]。在這個過程中，各已知樣本點(diǎn)加權(quán)系數(shù)的求解是構(gòu)建Kriging函數(shù)的重點(diǎn)。為計算各加權(quán)系數(shù)，將未知的Kriging函數(shù)看作是某個高斯靜態(tài)隨機(jī)過程的具體實(shí)現(xiàn)。該隨機(jī)過程的定義見式（1）。

[y（x）=f（x）Tβ+Z（x）]? ?（1）

式中：[y（x）]為假設(shè)的實(shí)際函數(shù)，[f（x）Tβ]為Kriging函數(shù)的確定性部分，由基函數(shù)向量[f（x）T]與其權(quán)重向量[β]來表征函數(shù)的總體趨勢;[Z（x）]為模型的概率性部分，代表函數(shù)的隨機(jī)誤差。

基于式（1）的假設(shè)，尋找Kriging函數(shù)最優(yōu)加權(quán)系數(shù)，應(yīng)滿足式（2）（3）所示的預(yù)測均方差最小條件和無偏估計條件。9B178129-0589-4EEC-87E3-FCDD26843F0E

[MSE[（y（x）-y（x））2]=E[（wTY-y（x））2]] （2）

[E[wTY]=E[y（x）]]? ? ?（3）

式中：[wTY]為Kriging預(yù)測函數(shù)[y（x）]的具體表達(dá)，[wT]為各已知樣本點(diǎn)的加權(quán)系數(shù)向量，[Y]為已知樣本點(diǎn)響應(yīng)值向量。式（3）則表示預(yù)測函數(shù)與實(shí)際函數(shù)的期望偏差為零。

根據(jù)上述假設(shè)與條件，采用拉格朗日乘數(shù)法，解得[wT]，得到Kriging函數(shù)具體表達(dá)式，見式（4）。

[y（x）=f（x）Tβ+r（x）Tγ]? ? （4）

式中：[β=（FTR-1F）-1FTR-1Y、][γ=][R-1（Y-Fβ）]，[FT]為已知樣本集的基函數(shù)矩陣，[R]為已知樣本點(diǎn)之間相關(guān)函數(shù)的矩陣，[r（x）]為預(yù)測點(diǎn)和已知樣本點(diǎn)之間的相關(guān)向量。至此，設(shè)計空間內(nèi)的任一樣本點(diǎn)可由式（4）預(yù)測得到。

EI加點(diǎn)準(zhǔn)則函數(shù)是結(jié)合Kriging預(yù)測函數(shù)[y]與目前已知最優(yōu)樣本信息[ymin]構(gòu)造而成的，其具體表達(dá)見式（5）。

[E[I（x）]=（ymin-y（x））?（ymin-y（x）s（x））+s（x）ψ（ymin-y（x）s（x））]? （5）

式中：[y]、[s（x）]分別為預(yù)測函數(shù)[y]所服從的正態(tài)分布的均值、標(biāo)準(zhǔn)差，[?]和[ψ]分別代表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)累積分布函數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度函數(shù)。

2 EGO在成橋索力優(yōu)化中的應(yīng)用

2.1 成橋索力優(yōu)化模型

在系桿拱橋結(jié)構(gòu)中，吊桿成橋索力的確定要使拱肋承受主要壓力，避免因拱肋彎矩過大而出現(xiàn)拉應(yīng)力。另外，也應(yīng)滿足各吊桿索力均勻，方便施工的原則。根據(jù)上述原則，本研究以拱肋最大彎矩絕對值為評價目標(biāo)，求取使其最小的成橋索力。有系桿拱橋成橋索力優(yōu)化模型見式（6）。

[VAR：f1， f2，...， fi，...， fnOBJ：min[Mmax]CON：f[d]

式中：VAR為優(yōu)化模型變量，其由各吊桿索力值[fi]組成;[min[Mmax]]表示拱肋最大彎矩絕對值的最小化;[f[d]]、[f[u]]分別為各吊桿索力的下限、上限值，其值可參考由彈性支撐連續(xù)梁法確定的索力組合中的最小、最大索力值，也可在此基礎(chǔ)上加上一定范圍的正負(fù)波動，來擴(kuò)寬尋優(yōu)范圍。

2.2 成橋索力優(yōu)化流程

EGO算法應(yīng)用于系桿拱橋成橋索力優(yōu)化的流程如下所示。

①確定索力優(yōu)化的變量，即式（6）中的VAR。對于左右對稱的系桿拱橋，可只取半拱的系桿索力為變量。

②根據(jù)彈性支撐連續(xù)梁法來確定各變量的取值范圍。

③借助拉丁超立方抽樣方法，確定取值范圍內(nèi)的初始樣本變量集。然后將其代入有限元模型中，得到各變量樣本點(diǎn)對應(yīng)的拱肋最大彎矩絕對值目標(biāo)集，最終形成初始樣本集。

④將初始樣本集代入EGO算法中，得到EI加點(diǎn)準(zhǔn)則函數(shù)。

⑤通過PSO算法對EI函數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)，得到使EI值最大的變量樣本點(diǎn)[Fnew]。

⑥將[Fnew]代入有限元模型，得到其對應(yīng)拱肋最大彎矩絕對值[Mnewmax]，并判斷其是否滿足收斂條件。若不滿足，將本步驟確定的新樣本點(diǎn)加入初始樣本集，并返回步驟④。若滿足，則進(jìn)入下一步驟。

⑦步驟⑥中確定的新樣本點(diǎn)[Fnew]即為優(yōu)化結(jié)果，迭代優(yōu)化終止。

上述步驟⑥中收斂條件見式（7）。

[Mnewmax-MoldmaxMoldmax<1%]? ?（7）

式中：[Mnewmax]、[Moldmax]分別代表新舊循環(huán)中[Fnew]對應(yīng)的拱肋最大彎矩絕對值。

3 系桿拱橋成橋索力優(yōu)化案例

3.1 工程概況

本研究選取的優(yōu)化案例為一跨長為65 m的系桿拱橋，其拱肋上等間距布置12條吊桿，具體尺寸、布置見圖1中的立面圖，圖1給出了拱肋、風(fēng)撐橫斷面的詳細(xì)尺寸。拱肋、系桿、風(fēng)撐和橫梁皆采用C50混凝土，容重為25 kN/m3。吊桿使用Strand1570鋼絞線，其彈性模量和容重分別為1.95×108 kN/m2、78.5 kN/m3。

3.2 工程優(yōu)化案例

本研究選取的系桿拱橋?yàn)樽笥覍ΨQ結(jié)構(gòu)，故吊桿索力變量有6個。按照工程概況建立midas有限元模型，對模型使用彈性支撐連續(xù)梁法確定出索力變量取值范圍為350～500 kN。通過拉丁超立方抽樣和midas分析，得到30組初始樣本。將初始樣本集代入EGO算法，最終優(yōu)化結(jié)果如表1所示。表1中索力1到索力6為圖2中立面左半拱吊桿從左至右的吊桿索力，右半拱吊桿索力參照其對稱設(shè)置。

將表1索力優(yōu)化結(jié)果應(yīng)用于midas有限元模型中，得到拱肋彎矩分布，將其與使用彈性支撐連續(xù)梁法的拱肋彎矩對比，如圖2所示。

從圖2可知，相較于現(xiàn)今常用的彈性支撐連續(xù)梁法，本研究所采用的EGO方法使拱肋彎矩最大值減小了約23.79%，彎矩最小值減小了23.22%。這說明經(jīng)EGO算法優(yōu)化后的拱肋彎矩分布更加均勻。

3.3 工程優(yōu)化案例結(jié)果對比研究

在系桿拱橋設(shè)計中，吊桿成橋索力確定的方法除了彈性支撐連續(xù)梁法外，較為常用的還有未知荷載系數(shù)法和最小彎曲能量法。本研究所采用的EGO優(yōu)化方法相較于彈性支撐連續(xù)梁法的效果更好。故將對EGO優(yōu)化方法、未知荷載系數(shù)法、最小彎曲能量法的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行對比與探討。

三種方法的應(yīng)用對象為前文所述的案例。其中，未知荷載系數(shù)法的約束條件設(shè)置為拱肋彎矩為250～600 kN·m，最小彎曲能量法將拱肋、系桿、吊桿截面剛度面積設(shè)為擴(kuò)大100 000倍。未知荷載系數(shù)法、最小彎曲能量法、彈性支撐連續(xù)梁法的索力優(yōu)化結(jié)果見表2，文中所述的四種方法確定的拱肋彎矩見圖3。9B178129-0589-4EEC-87E3-FCDD26843F0E

對表1和表2中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析可知，彈性支撐連續(xù)梁法的索力優(yōu)化結(jié)果不呈現(xiàn)左右對稱的態(tài)勢。這相較于其他三種方法，施工較為不便。另外，EGO優(yōu)化方法、彈性支撐連續(xù)梁法、未知荷載系數(shù)法、最小彎曲能量法確定的最大索力與最小索力之間的差值分別為49.45 kN·m、95.35 kN·m、44.82 kN·m、154.77 kN·m。由此看出，EGO優(yōu)化方法所得的索力分布相對較為均勻。

通過對圖3分析可知，未知荷載系數(shù)法所對應(yīng)的拱肋彎矩最大、最小值分別為335 kN·m、-185.1 kN·m，相較于EGO優(yōu)化方法分別擴(kuò)大了4.69%、13.98%。另外，由于最小彎曲能量法確定的拱肋彎矩最大值已遠(yuǎn)超其他方法，在[x=0]處的拱肋彎矩達(dá)到了1 059.1 kN·m，這說明該方法不適合用于本研究的工程案例索力確定。結(jié)合上述數(shù)據(jù)可知，在拱肋彎矩的整體分布上，EGO方法的彎矩最大值最小，同時波動幅度也最小。這說明EGO方法在系桿拱橋的成橋索力優(yōu)化中有良好的應(yīng)用效果。

4 結(jié)論

本研究對系桿拱橋成橋索力的優(yōu)化問題進(jìn)行研究，提出使用EGO算法對吊桿索力進(jìn)行優(yōu)化，給出了優(yōu)化的具體數(shù)值模型和優(yōu)化步驟，并通過一工程案例，對該方法的應(yīng)用效果進(jìn)行了驗(yàn)證和對比，得到了如下結(jié)論：①本研究采用的EGO法對系桿拱橋成橋索力有明顯的優(yōu)化效果，能使索力較為均勻分布，且使拱肋彎矩更加合理;②相比于現(xiàn)今常用的索力確定方法，本研究采用的方法有著良好的應(yīng)用效果;③因初始樣本集在一定程度上影響著EGO算法的最終優(yōu)化效果，故推薦將現(xiàn)今常用方法的優(yōu)化結(jié)果加入初始樣本集，以此來加強(qiáng)EGO算法的優(yōu)化效果。

參考文獻(xiàn)：

[1] 戴杰，秦鳳江，狄謹(jǐn)，等.斜拉橋成橋索力優(yōu)化方法研究綜述[J].中國公路學(xué)報，2019（5）：17-37.

[2] 陳德偉，范立礎(chǔ).確定預(yù)應(yīng)力混凝土斜拉橋恒載初始索力的方法[J].同濟(jì)大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），1998（2）： 120-124.

[3] LONETTI P，PASCUZZO A.Optimum Design Analysis of Hybrid Cable-stayed Suspension Bridges[J].Advances in Engineering Software，2014（5）：53-66.

[4] 袁鵬，李德建，陸堯，等.四索面鋼箱梁斜拉橋合理施工狀態(tài)確定方法[J].長安大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2017（5）：49-55.

[5] 韓忠華.Kriging模型及代理優(yōu)化算法研究進(jìn)展[J].航空學(xué)報，2016（11）：3197-3225.

[6] HAN Z H，XU C Z，ZHANG L，et al.Efficient aerodynamic shape optimization using variable -fidelity surrogate models and multilevel computational grids [J].Chinese Journal of Aeronautics，2020（1）：31-47.9B178129-0589-4EEC-87E3-FCDD26843F0E