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    圖的覆蓋數(shù)與分子的凱庫勒結(jié)構(gòu)

    2022-06-27 09:59:58胡啟明袁曉彤
    關(guān)鍵詞:圖記庫勒條邊

    胡啟明,許 歡,袁曉彤

    (合肥幼兒師范高等專科學(xué)校公共教學(xué)部,安徽 合肥 230013)

    0 引言

    圖1 G1

    圖2 G2

    求圖的最小頂點(diǎn)覆蓋被稱為頂點(diǎn)覆蓋問題(vertex cover problem,VCP),VCP是理論計(jì)算機(jī)科學(xué)和離散數(shù)學(xué)中一個(gè)經(jīng)典NP完全問題,可追溯到20世紀(jì)30年代Konig的經(jīng)典結(jié)果[1].1972年KARP[2]證明了VCP對(duì)于一般圖是NP完全的.求圖的最小邊覆蓋被稱為邊覆蓋問題,該問題是由RABIN[3]首先提出的.邊覆蓋在交通相位問題中起著重要的作用,可應(yīng)用于網(wǎng)絡(luò)分析.到目前為止,只有Mangoldt圖得到了最小邊覆蓋[4].

    不失一般性,將化學(xué)分子結(jié)構(gòu)看成一個(gè)圖,其頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)于化合物的原子,邊對(duì)應(yīng)于隱藏于化合物中的化學(xué)鍵,稱之為化學(xué)圖.多數(shù)情況下,化學(xué)圖的頂點(diǎn)度都小于或等于4.化學(xué)圖論是數(shù)學(xué)化學(xué)的一個(gè)分支,化學(xué)圖論模型已被廣泛應(yīng)用于預(yù)測(cè)化合物的性質(zhì)[5].在過去幾十年里,學(xué)者們對(duì)化合物凱庫勒結(jié)構(gòu)的研究積累了許多成果[6-7].

    有凱庫勒結(jié)構(gòu)的化學(xué)分子,相當(dāng)于含有完美匹配的化學(xué)圖[8].若一個(gè)圖含有完美匹配,則稱它為凱庫勒?qǐng)D.從圖論觀點(diǎn)看,凱庫勒?qǐng)D是一個(gè)有趣問題,如果不分析覆蓋數(shù),這個(gè)問題將是未知的.部分學(xué)者對(duì)凱庫勒結(jié)構(gòu)進(jìn)行了大量的研究[7-8],但尚沒有將覆蓋數(shù)與凱庫勒結(jié)構(gòu)聯(lián)系在一起的研究.在化學(xué)圖中,使覆蓋問題有意義的,是它與凱庫勒結(jié)構(gòu)的緊密聯(lián)系.因此,本文將討論圖的覆蓋問題,并用覆蓋數(shù)刻畫感興趣的化學(xué)圖,通過計(jì)算一些特殊圖的點(diǎn)覆蓋數(shù)和邊覆蓋數(shù),來刻畫覆蓋數(shù)和凱庫勒結(jié)構(gòu)的相關(guān)性.

    1 凱庫勒?qǐng)D的充要條件

    定理1.1 設(shè)G=(V,E)是二部圖,則圖G是一個(gè)凱庫勒?qǐng)D?β(G)=β′(G).

    證明 “?”假設(shè)圖G是一個(gè)凱庫勒?qǐng)D.

    “?”假設(shè)β(G)=β′(G).

    2 因子臨界圖

    近似完美匹配,是指圖中存在只剩下一個(gè)頂點(diǎn)未被包含的最大匹配.若對(duì)于圖中每個(gè)頂點(diǎn)都有一個(gè)近似完美匹配,則稱該圖為因子臨界圖.也就是說,如果去掉因子臨界圖中的任何一個(gè)頂點(diǎn),它就變成了凱庫勒?qǐng)D.

    3 頂部梯狀圖

    如圖3所示,把頂部梯狀圖記為TLn,n≥0,它們有頂端a和基對(duì)b1,b2,與頂端a相鄰的兩條邊稱為圖的頂部,連接基對(duì)的邊稱為圖的底部,由底部向下添加梯級(jí)(2個(gè)頂點(diǎn)、3條邊)構(gòu)成梯形圖.

    例如,TL0(即完全圖K3)可指定其任一個(gè)頂點(diǎn)為頂端,其余兩個(gè)頂點(diǎn)為基對(duì);又如,TL1(類似于房屋圖)是一個(gè)含有5個(gè)頂點(diǎn)和6條邊的簡單圖.一般地,任一頂部梯狀圖TLn,n≥0,都有2n+3個(gè)頂點(diǎn)和3(n+1)條邊.這類圖包含近似完美匹配,即頂部梯狀圖都是因子臨界圖.

    (a)TL0 (b)TL1 (c)TLn圖3 頂部梯狀圖

    定理3.1 若G是一個(gè)頂部梯狀圖TLn,則β(G)=n+2,n≥0.

    證明 用數(shù)學(xué)歸納法,

    當(dāng)n=0時(shí),G為TL0是K3,此時(shí),β(G)=β(TL0)=2=0+2;

    當(dāng)n=1時(shí),G為TL1是房屋圖,此時(shí),β(G)=β(TL1)=3=1+2;

    假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),結(jié)論成立,即有β(TLk)=k+2,下面證明n=k+1的情況.

    由頂部梯狀圖的構(gòu)造易知,TLk+1是在TLk基礎(chǔ)上增加了2個(gè)新頂點(diǎn)和3條新邊.顯然,只要在TLk的覆蓋里添加1個(gè)新頂點(diǎn)即可得TLk+1的一個(gè)覆蓋.則有β(TLk+1)=β(TLk)+1.從而β(TLk+1)=k+3=(k+1)+2.

    因此,對(duì)于所有的n≥0,都有β(G)=B(TLn)=n+2.

    定理3.2 若G是一個(gè)頂部梯狀圖TLn,則對(duì)于所有的n≥0,都有β′(G)=β(G).

    證明 設(shè)G(V,E)是一個(gè)頂部梯狀圖TLn.

    4 廣義梯形圖

    設(shè)TLn1和TLn2是兩個(gè)頂部梯狀圖(兩邊的梯級(jí)數(shù)即梯形圖的尺寸分別為n1和n2),連接TLn1和TLn2的兩個(gè)頂端點(diǎn)構(gòu)成邊(稱之為橋),產(chǎn)生的新圖記為L(n1,n2). 此類圖含有完美匹配,即為凱庫勒?qǐng)D.

    以L(n1,n2)的橋的兩個(gè)頂端點(diǎn)為基對(duì)再構(gòu)造n3個(gè)梯級(jí),記為L(n1,n2,n3).易知,這一類圖含有完善匹配.分別連接L(n1,n2)中的TLn1和TLn2兩組基對(duì)點(diǎn)構(gòu)成邊(稱之為懸掛邊),這樣產(chǎn)生的新圖記為L(n1,n2,M).

    不失一般性,在頂部梯狀圖的頂端和基部分別構(gòu)造橋和懸掛邊,產(chǎn)生的圖(圖4)記為L(n1,n2,n3,M),稱為廣義梯形圖.

    圖4 L(n1,n2,n3,M)

    定理4.1 設(shè)G=L(n1,n2,n3,M),則對(duì)于任意的n1≥0,n2≥0和n3≥0,都有β(G)=n1+n2+n3+4.

    證明 分情況討論,

    (1)若n1=n2=n3=0(圖5),圖G中含有2個(gè)三角形、2個(gè)懸掛邊和1個(gè)橋,則需要從每個(gè)三角形中各選擇2個(gè)頂點(diǎn)來覆蓋圖中的9條邊.此時(shí),β(G)=2+2=4.

    圖5 L(0,0,0,M)

    (2)若n1=n2=0,n3≠0(圖6),則需要n3個(gè)頂點(diǎn)覆蓋尺寸為n3的梯形圖,需要4個(gè)頂點(diǎn)覆蓋2個(gè)三角形、2個(gè)懸掛邊和1個(gè)橋.此時(shí),β(G)=n3+4.

    圖6 L(0,0,n3,M)

    (3)若n1=n2≠0,n3≠0,則分別需要n1,n2和n3個(gè)頂點(diǎn)覆蓋圖G中3個(gè)梯級(jí).同時(shí),圖G中含有2個(gè)三角形、2個(gè)懸掛邊和1個(gè)橋,需要4個(gè)頂點(diǎn)來覆蓋.此時(shí),β(G)=n1+n2+n3+4.

    (4)若n1≠n2≠0,n3≠0,當(dāng)n1n2時(shí),所得圖是同構(gòu)的.可得,β(G)=n1+n2+n3+n3+4.

    定理4.2 設(shè)G=L(n1,n2,n3,M),則對(duì)于任意的n1≥0,n2≥0和n3≥0,都有β′(G)=n1+n2+n3+3.

    因?yàn)镚=L(n1,n2,n3,M)含有完美匹配,所以,

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