基于聲場輻射的鋁板沖擊載荷信號(hào)反演

蔡宇航， 梁 棟， 姜學(xué)平， 郭文杰

(河海大學(xué) 信息學(xué)部 物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院，江蘇 南京 211100)

機(jī)械設(shè)備在使用過程中會(huì)受到載荷，這使其結(jié)構(gòu)可能逐漸產(chǎn)生各種形式的損傷。如果不能在早期采取正確的應(yīng)對(duì)措施，就可能導(dǎo)致設(shè)備損壞，甚至造成人員傷亡。結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測能夠及時(shí)發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)因載荷沖擊引起的損傷，并產(chǎn)生報(bào)警。準(zhǔn)確獲取載荷沖擊信號(hào)是整個(gè)結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測工作的開始，是確保結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測準(zhǔn)確性的基礎(chǔ)。

傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測系統(tǒng)首先要在結(jié)構(gòu)上或結(jié)構(gòu)內(nèi)布置壓電傳感器網(wǎng)絡(luò)，然后通過對(duì)采集到的Lamb波信號(hào)進(jìn)行處理和分析，便可以得到結(jié)構(gòu)的相關(guān)信息[1]。然而，在一些較小的、承重能力較弱的結(jié)構(gòu)中嵌入傳感器非常不切實(shí)際。在一些大型結(jié)構(gòu)中，需要的傳感器數(shù)量會(huì)非常多，對(duì)設(shè)備的要求很高。在現(xiàn)場應(yīng)用中，當(dāng)被監(jiān)測的結(jié)構(gòu)形狀比較復(fù)雜時(shí)，多種模態(tài)的Lamb 波信號(hào)容易相互疊加，給后期信號(hào)分析帶來較大難度[2]。

聲輻射模態(tài)理論是從20世紀(jì)90年代出現(xiàn)并逐漸發(fā)展完善起來的。Cunefare等[3]首次提出了有關(guān)聲輻射模態(tài)的概念。聲輻射模態(tài)法在研究外部聲輻射問題中具有突出優(yōu)點(diǎn)，解決了結(jié)構(gòu)模態(tài)中復(fù)雜的耦合項(xiàng)帶來的計(jì)算難題。之后Elliott等[4]根據(jù)聲輻射模態(tài)法，得出彈性結(jié)構(gòu)的總輻射模態(tài)功率可以看作是有限個(gè)輻射模態(tài)的疊加的結(jié)論，即聲模態(tài)疊加法。近些年，西北工業(yè)大學(xué)的陳克安等[5]提出了利用近場聲壓估算結(jié)構(gòu)聲輻射功率的方法，將分布式平面聲源用于對(duì)結(jié)構(gòu)聲輻射有源控制。

近場聲全息(Near-Field Acoustic Holography，NAH)技術(shù)是一種先進(jìn)的噪聲源識(shí)別技術(shù)。20世紀(jì) 80 年代初期，Williams等[6]提出基于空間傅里葉變換的近場聲全息技術(shù)。該方法通過在聲源近場獲取復(fù)聲壓信息，然后利用二維空間傅里葉變換將其轉(zhuǎn)換到波數(shù)域并通過求逆等運(yùn)算得到對(duì)應(yīng)的聲場分布，最后通過二維傅里葉逆變換重建出任意位置的聲壓、振速等信息。2009 年，Park等[7]利用時(shí)域近場聲全息技術(shù)實(shí)現(xiàn)了空間復(fù)包絡(luò)的可視化。2010 年，Thomas等[8]針對(duì)非穩(wěn)態(tài)聲場提出了實(shí)時(shí)近場聲全息技術(shù)，實(shí)現(xiàn)了直接在時(shí)域內(nèi)對(duì)瞬態(tài)聲場進(jìn)行重建，不再需要任何頻域變換。

本文將聲模態(tài)疊加法與近場聲全息技術(shù)相結(jié)合，用聲輻射的正問題和逆問題的內(nèi)在聯(lián)系來探討沖擊載荷撞擊簡支薄板產(chǎn)生的輻射聲場。通過研究聲輻射在結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測中運(yùn)用的可行性，為在結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測中獲取載荷沖擊信號(hào)提供了一種新思路。

1 聲場輻射與反演原理

1.1 簡支薄板振動(dòng)的固有頻率

聲輻射模態(tài)指出，任何輻射體的表面法向速度都可以由若干輻射模態(tài)的線性組合來表示，且輻射模態(tài)與輻射體的本身材料性質(zhì)無關(guān)，只與它的幾何形狀和振動(dòng)頻率有關(guān)[9]。通過該理論可以計(jì)算簡支薄板表面的法向速度進(jìn)而獲取簡支薄板外部輻射聲場。

本文采用鋁板結(jié)構(gòu)作為研究對(duì)象，設(shè)簡支薄板為鋁板，其密度ρ為2720 kg/m3，彈性模量E為70 GPa，泊松比v為3.3，薄板長Lx為1 m、寬Ly為1 m、厚度h為0.002 m。此時(shí)，平板在厚度方向的應(yīng)力為常數(shù)，所以可以使用平板中心面的位移作為整個(gè)板的位移。取一個(gè)彈性微元作為受力分析的對(duì)象，可以得到平板的自由振動(dòng)微分方程為[10]

(1)

(2)

(3)

在滿足板的狀態(tài)為簡支的條件下，可得到薄板固有頻率為

(4)

與之相對(duì)應(yīng)的固有振型函數(shù)為

(5)

1.2 基于聲模態(tài)疊加法的簡支薄板輻射聲場

設(shè)薄板受到外部沖擊載荷的激勵(lì)力產(chǎn)生輻射聲場，則簡支薄板振動(dòng)的法向速度為

(6)

式中：Amn為模態(tài)速度;Φmn(x,y)為第(m,n)階模態(tài)的模態(tài)振型函數(shù)，代表結(jié)構(gòu)在該振型下表面振速的分布情況。上述簡支薄板固有頻率的對(duì)應(yīng)模態(tài)振型函數(shù)為

(7)

式中：i為虛數(shù)單位；ω為激勵(lì)力頻率。

如果一個(gè)點(diǎn)力作用于簡支薄板的(x0,y0)處，可得到由外部激勵(lì)力引起的模態(tài)速度為

(8)

式中：βmn為模態(tài)阻尼系數(shù)；m、n分別為沿x、y方向的結(jié)構(gòu)模態(tài)數(shù)；(x0,y0)為激勵(lì)力作用位置；fp為激勵(lì)力的幅值。

聲場中任意一點(diǎn)的復(fù)聲壓值等于薄板振動(dòng)產(chǎn)生的聲輻射對(duì)該點(diǎn)聲壓貢獻(xiàn)的積分，以薄板表面為坐標(biāo)面，建立球坐標(biāo)系。由Rayleigh積分公式[11]在球坐標(biāo)系下的應(yīng)用可得薄板外部輻射聲場的任意一點(diǎn)復(fù)聲壓為

(9)

將式(6)代入式(9)中，積分后可得：

(10)

式(10)為基于聲模態(tài)疊加法的簡支薄板外部輻射聲壓理論值。

根據(jù)上述原理，薄板受到的沖擊力與薄板產(chǎn)生的輻射聲場存在聯(lián)系。在一定條件下，可根據(jù)沖擊力推算薄板的外部輻射聲場，也可根據(jù)外部輻射聲場反演薄板受到的沖擊力的信息。

1.3 基于近場聲全息的反演聲場

近場聲全息技術(shù)通過測量靠近輻射源表面的輻射聲場，可以計(jì)算出輻射源表面的高分辨率的聲壓分布或振動(dòng)強(qiáng)度分布以及其他物理信息[12]。針對(duì)本文討論的簡支薄板，平面近場聲全息技術(shù)具有良好的適用性。

平面近場聲全息技術(shù)是對(duì)聲源表面附近的一塊二維平面區(qū)域進(jìn)行聲場測量，然后通過算法實(shí)現(xiàn)對(duì)其他面上聲場的重建[13]。以聲源表面為平面，建立與之平行的全息測量面H，重建面S，其原理示意圖如圖1所示。

圖1 平面近場聲全息技術(shù)原理示意圖

當(dāng)z0≤zS≤zH時(shí)，為逆向重建聲場；當(dāng)z0≤zH≤zS時(shí)，為正向重建聲場。

簡支薄板外部輻射聲場在空氣中傳播，假定它為理想流體，由在開闊空間內(nèi)的有限結(jié)構(gòu)表面振動(dòng)及其外部輻射聲場的波動(dòng)方程，可以得到不依賴于時(shí)間變量的穩(wěn)態(tài)聲場的Helmholtz方程：

(11)

此時(shí)，引入滿足Helmholtz方程且滿足要求的任意格林函數(shù)g，可得球坐標(biāo)系下任意一點(diǎn)的復(fù)聲壓計(jì)算公式為

(12)

在Dirichlet邊界條件下，式(12)可簡化為

(13)

考慮到測量數(shù)據(jù)的有限性和卷積計(jì)算的復(fù)雜性，通常還需對(duì)式(13)進(jìn)行離散化處理并進(jìn)行二維傅里葉變換，最終得到公式：

(14)

式中:p(xs,ys,zs)為重建面的聲壓值分布;P(kx,ky,zH)為測量面上的聲壓值在波數(shù)域的分布;GD(kx,ky,zH-zs)為波數(shù)域空間上的格林函數(shù)。

綜上，在選取合適的測量區(qū)域后，只需獲取該平面區(qū)域內(nèi)的部分聲場信息就能得到整個(gè)輻射空間的全局聲場信息，進(jìn)而獲取聲源的信息。

2 載荷沖擊信號(hào)的反演

2.1 簡單正弦波信號(hào)的反演

為了探討近場聲全息技術(shù)在反演沖擊載荷信息上的可行性，可以選取一些簡單的激勵(lì)信號(hào)作為載荷對(duì)鋁板的沖擊力[14]。下面選取一個(gè)兩個(gè)周期幅值不同的正弦波信號(hào)作為討論對(duì)象。取該激勵(lì)信號(hào)第一周期幅值Fp1=2 N，第二周期幅值為Fp2=1 N，激勵(lì)頻率為f=100 Hz，即：

(15)

以鋁板表面平面為z0=0建立空間坐標(biāo)系，選擇一個(gè)頂點(diǎn)為原點(diǎn)，兩條邊分別為x軸和y軸。設(shè)荷載沖擊點(diǎn)為(0.5 m,0.5 m)，全息面位于zH=0.1 m的平面上，尺寸為1 m×1 m;采樣點(diǎn)數(shù)Nx×Ny為40×40，采樣間隔d為0.025 m?？紤]聲場重建的正逆重建問題，取兩個(gè)重建距離相等的正逆重建面，為了保證精確度，選取較小的重建距離，分別選取zS=0.075 m和zS=0.125 m兩個(gè)重建面。用MATLAB分別對(duì)兩個(gè)重建面進(jìn)行仿真后得到聲壓分布，如圖2所示。

圖2 不同重建距離下的聲場重建圖

由圖2可以看出，聲壓重建值與原信號(hào)幅值呈正相關(guān)，將所得重建幅值與原信號(hào)幅值進(jìn)行對(duì)比分析，如表1所示。

表1 正弦波信號(hào)重建信號(hào)幅值對(duì)比 單位：N

可以看到，正向重建的聲壓值略低于原激勵(lì)信號(hào)，而逆向重建的反演信號(hào)與之相反，略高于原激勵(lì)信號(hào)。由于正向重建和逆向重建兩種不同重建方式的選取所帶來的兩種截然相反的誤差趨勢，考慮將兩種不同重建方式的反演信號(hào)結(jié)合起來進(jìn)行修正，取兩種方式所得反演信號(hào)的平均值作為最終反演信號(hào)。修正前與修正后的反演信號(hào)與原信號(hào)的對(duì)比結(jié)果如圖3和圖4所示。

圖3 反演信號(hào)與原信號(hào)對(duì)比圖

圖4 修正反演信號(hào)與原信號(hào)對(duì)比圖

如圖4所示，修正后的反演信號(hào)波形已經(jīng)非常接近原激勵(lì)信號(hào)，反演結(jié)果較為精確，但逆向重建過程中所產(chǎn)生的邊緣誤差問題仍然存在，導(dǎo)致反演信號(hào)幅值略高于原激勵(lì)信號(hào)幅值。

不同重建方式下過采樣中心點(diǎn)的Nx軸采樣點(diǎn)的反演信號(hào)幅值與原信號(hào)幅值的誤差對(duì)比如圖5所示。

由圖5可以看到，在逆向重建過程中，邊緣部分的誤差較大，而正向重建中的誤差則較為平穩(wěn)。采用正逆向重建結(jié)合的方法得出的平均幅值誤差整體較原先有所減小。由表1可以算出正向重建幅值誤差約為6.7%，逆向重建幅值誤差約為12.1%，正逆向結(jié)合的重建平均幅值誤差約為2.7%?？梢则?yàn)證正逆向重建結(jié)合的方法反演出來的信號(hào)幅值更加精確的結(jié)論。

圖5 不同重建方法下的Nx軸采樣點(diǎn)的反演信號(hào)幅值誤差圖

2.2 以五周期正弦波信號(hào)為載荷沖擊的信號(hào)反演

在現(xiàn)實(shí)情況中，沖擊載荷的信號(hào)往往比較復(fù)雜，以下取五周期正弦波信號(hào)[15]作為載荷沖擊激勵(lì)信號(hào)驗(yàn)證2.1節(jié)中的信號(hào)反演方法是否可行。五周期正弦波信號(hào)為

(16)

式中:f為激勵(lì)頻率;A為信號(hào)平均幅值。取f=100 Hz;A=2，則五周期正弦波信號(hào)波形圖如圖6所示。

圖6 五周期正弦波信號(hào)波形圖

由圖6可以看到，該信號(hào)可以近似于10個(gè)半波正弦信號(hào)的組合。嘗試將該信號(hào)分為10個(gè)單獨(dú)部分,分別對(duì)其進(jìn)行聲場的模擬和重建工作并進(jìn)行信號(hào)反演。在求得10個(gè)單獨(dú)部分的反演信號(hào)幅值后，就可以得到一個(gè)反演信號(hào)的平均幅值，最后根據(jù)所得到的反演信號(hào)平均幅值就可以得到一個(gè)反演信號(hào)的波形。根據(jù)2.1節(jié)內(nèi)容，選取用正向重建和逆向重建相結(jié)合的方式，共同反演信號(hào)，并使用與2.1節(jié)相同的反演參數(shù)，得到載荷沖擊信號(hào)與重建信號(hào)幅值對(duì)比，如表2所示。

由于采樣點(diǎn)選取的影響，仿真中的原信號(hào)幅值與理論值存在微小誤差，在此誤差的前提下，由表2可算出不同重建方法下的平均重建幅值誤差。正向重建平均幅值誤差約為6.7%，逆向重建平均幅值誤差約為12.1%，使用正逆向重建結(jié)合的方法修正后的平均幅值誤差約為2.7%，與2.1節(jié)所求的誤差約值相等。通常，10%以內(nèi)誤差可認(rèn)為反演信號(hào)具有較高的識(shí)別精度[16]。

表2 載荷沖擊信號(hào)與重建信號(hào)與幅值對(duì)比表 單位：N

不同重建方法下五周期正弦波信號(hào)的反演幅值誤差對(duì)比如圖7所示。

圖7 不同重建方法下的五周期正弦波重建幅值誤差圖

利用修正后求得的信號(hào)幅值可以得到反演信號(hào)波形，如圖8所示。

圖8 五周期正弦波反演信號(hào)與原信號(hào)對(duì)比圖

由圖8可以看出，反演信號(hào)與原信號(hào)基本重合，精確度較高。但由格林函數(shù)輻射圓外所帶來的逆向重建邊緣誤差仍然存在，由此造成了反演信號(hào)幅值略高于原信號(hào)的問題。

3 結(jié)束語

以鋁板結(jié)構(gòu)作為研究對(duì)象，從載荷沖擊簡支薄板產(chǎn)生的外部輻射聲場入手開展研究。通過輻射模態(tài)理論建立簡支薄板的外部輻射聲場，再結(jié)合近場聲全息技術(shù)反演聲場，實(shí)現(xiàn)了對(duì)簡支薄板上沖擊信號(hào)的反演。選取簡單正弦波信號(hào)與五周期正弦波信號(hào)進(jìn)行仿真，得到精度較高的反演沖擊信號(hào)。

討論了用聲輻射問題在結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測中獲取結(jié)構(gòu)響應(yīng)的可行性。通過對(duì)載荷沖擊信號(hào)的聲場進(jìn)行反演，實(shí)現(xiàn)對(duì)其沖擊特性的監(jiān)測，根據(jù)結(jié)構(gòu)所受沖擊部位，并結(jié)合結(jié)構(gòu)自身特性，為判定結(jié)構(gòu)是否受損及確定受損程度提供參考。