電靜壓伺服系統(tǒng)指數(shù)型變阻尼滑?？刂扑惴ㄑ芯?/h1>
2022-06-27 09:54:44高詩(shī)程趙守軍張春龍
導(dǎo)彈與航天運(yùn)載技術(shù) 2022年3期
高詩(shī)程，張 朋，趙守軍，張春龍，馮 偉
（北京精密機(jī)電控制設(shè)備研究所，北京，100076）
0 引 言
電靜壓伺服系統(tǒng)（Electro-hydrostatic Actuator，EHA）兼具固有可靠性高和易維護(hù)等突出優(yōu)點(diǎn)，是未來(lái)多電化、高可靠火箭推力矢量控制系統(tǒng)的主流作動(dòng)器方案。
但傳統(tǒng)上認(rèn)為EHA 本質(zhì)是一個(gè)泵控系統(tǒng)，其動(dòng)態(tài)特性較差，頻率特性不如閥控伺服，難以滿足運(yùn)載火箭要求。張玉強(qiáng)采用“比例+陷波補(bǔ)償”算法進(jìn)行控制，與閥控系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能進(jìn)行了對(duì)比分析，動(dòng)態(tài)性能基本滿足火箭發(fā)動(dòng)機(jī)控制需求。劉璐采用“非線性PID+前饋補(bǔ)償+陷波補(bǔ)償”組合算法進(jìn)行控制，動(dòng)態(tài)特性進(jìn)一步提升，達(dá)到同等電液伺服的動(dòng)態(tài)技術(shù)水平，已滿足運(yùn)載火箭需要。為進(jìn)一步挖掘電靜壓伺服系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性潛能，提升控制指標(biāo)裕量，仍需開展更先進(jìn)的控制算法研究。
近年來(lái)，針對(duì)EHA 的高性能控制策略設(shè)計(jì)，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者在改進(jìn)PID 控制、智能控制、模糊控制、滑?？刂频确矫骈_展了研究，取得了一定的成果。其中，滑?？刂谱鳛橐环N非線性控制方法，能夠有效應(yīng)對(duì)系統(tǒng)的外部干擾與內(nèi)部參數(shù)時(shí)變性，且其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、容易實(shí)現(xiàn)，是目前研究的熱點(diǎn)控制策略之一。張英臣等在EHA 位置環(huán)采用滑模控制，在滿足快速性的情況下，超調(diào)量減小，系統(tǒng)獲得較高頻寬。洪輝等同樣在位置環(huán)采用滑模變結(jié)構(gòu)控制，并采用自適應(yīng)遺傳算法進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，有效減小系統(tǒng)超調(diào)，提高快速性，減小系統(tǒng)靜差。但張英臣等和洪輝等只給出了仿真分析，未提供試驗(yàn)數(shù)據(jù)。Wang M. K.等提出了一種反正切函數(shù)導(dǎo)數(shù)型變阻尼滑?？刂扑惴?，根據(jù)位置誤差調(diào)節(jié)滑模面阻尼比，在保證系統(tǒng)快速性的同時(shí)抑制了超調(diào)現(xiàn)象，但只給出了階躍和1 Hz 正弦指令的響應(yīng)特性，對(duì)實(shí)際應(yīng)用中最關(guān)注的頻率特性未給出仿真和試驗(yàn)結(jié)果。
提出指數(shù)型變阻尼滑模控制算法，以指數(shù)函數(shù)形式調(diào)節(jié)滑模面阻尼比，平衡系統(tǒng)快速性與平滑性之間的矛盾。同時(shí)，引入基于正切Sigmoid 函數(shù)的跟蹤微分器獲取平滑的反饋速度信號(hào)，有效改善滑模算法的控制穩(wěn)定性。此外，本文也針對(duì)工程適用的電靜壓伺服系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型，給出了對(duì)應(yīng)的狀態(tài)方程及滑模算法。
建立了系統(tǒng)模型，搭建了試驗(yàn)平臺(tái)，通過(guò)系統(tǒng)仿真及EHA 工程樣機(jī)的帶載試驗(yàn)，驗(yàn)證了控制算法的合理性和可行性。結(jié)果表明，相比于基于前饋的非線性PID 控制算法，在系統(tǒng)基礎(chǔ)開環(huán)增益取20 rad/s 的情況下，指數(shù)型變阻尼滑模算法在系統(tǒng)低頻段跟蹤精度提升1 倍，-45°相頻寬由18.4 rad/s 提升至29.6 rad/s。
1 系統(tǒng)及控制模型
EHA 主要由控制器、驅(qū)動(dòng)器、伺服電機(jī)泵、位移傳感器、作動(dòng)器和負(fù)載組成。工作原理如圖1 所示。根據(jù)輸入指令，控制器通過(guò)驅(qū)動(dòng)器控制電機(jī)的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)向來(lái)控制電機(jī)泵輸出流量的方向和大小，進(jìn)而控制作動(dòng)器活塞桿的運(yùn)動(dòng)方向和速度。
圖1 EHA工作原理Fig.1 Simplified Schematics of an EHA
EHA 基本組成如圖2 所示。
圖2 EHA 基本組成Fig.2 Block Diagram of an EHA
EHA 系統(tǒng)設(shè)計(jì)主要參數(shù)如表1 所示。
表1 EHA 基本設(shè)計(jì)參數(shù)表Tab.1 Main Design Parameters
作動(dòng)器及負(fù)載簡(jiǎn)化模型如圖3 所示。負(fù)載簡(jiǎn)化為一個(gè)質(zhì)量體和一個(gè)與作動(dòng)器連接的彈簧，表示運(yùn)載火箭大推力發(fā)動(dòng)機(jī)的諧振特性。
圖3 作動(dòng)器及負(fù)載模型Fig.3 The Physical Model of an EHA to Drive an Engine Load
系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型表示為
式中為電機(jī)泵等效二階環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)；為電機(jī)泵等效二階環(huán)節(jié)增益；為電機(jī)泵等效二階環(huán)節(jié)無(wú)阻尼自然振蕩頻率；為電機(jī)泵等效二階環(huán)節(jié)阻尼比；為柱塞泵排量；為作動(dòng)器總泄漏系數(shù)；為作動(dòng)器液壓缸兩腔總體積；為液體體積彈性模量；為負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；為伺服機(jī)構(gòu)搖擺負(fù)載力臂；為負(fù)載結(jié)構(gòu)諧振頻率；為負(fù)載結(jié)構(gòu)等效阻尼；為液壓固有頻率；c為機(jī)械液壓綜合諧振頻率；為機(jī)械液壓綜合諧振阻尼比；為位移反饋系數(shù)；為基礎(chǔ)開環(huán)增益。
伺服電機(jī)為永磁同步電機(jī)，采用=0 的控制方式，電流環(huán)和轉(zhuǎn)速環(huán)采用PI 控制，本文關(guān)注系統(tǒng)的中低頻段，且關(guān)注系統(tǒng)位置環(huán)的控制策略，因此將電機(jī)泵等效為一個(gè)二階環(huán)節(jié)。
由式（1）~（11）可得EHA 位置閉環(huán)規(guī)范化框圖，如圖4 所示。作動(dòng)器及負(fù)載部分進(jìn)行等效化簡(jiǎn)，將其簡(jiǎn)化為負(fù)載特性環(huán)節(jié)與負(fù)載效應(yīng)環(huán)節(jié)。其中，，，r及都可在線辨識(shí)，因此相比以物理參數(shù)表達(dá)的模型實(shí)用性更好。圖4 中飽和環(huán)節(jié)表示電機(jī)驅(qū)動(dòng)器的電流能力，由于此飽和限制，直接采用增大增益的方法，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能通常提升有限。因此采用非線性控制算法，增大小誤差信號(hào)時(shí)的增益，減小大誤差信號(hào)時(shí)的增益，從而提高動(dòng)態(tài)品質(zhì)。而滑模算法本質(zhì)是一類特殊的非線性控制，系統(tǒng)處于滑動(dòng)模態(tài)時(shí)，對(duì)外部的干擾具有很好的魯棒性，通過(guò)滑模面的設(shè)計(jì)，可獲得系統(tǒng)期望的動(dòng)態(tài)品質(zhì)，且控制算法簡(jiǎn)單，易于工程實(shí)現(xiàn)。
圖4 EHA 位置閉環(huán)控制規(guī)范化框圖Fig.4 Normalized Block Diagram of an EHA
2 指數(shù)型變阻尼滑模控制算法
2.1 系統(tǒng)狀態(tài)方程
實(shí)際使用中，更關(guān)注系統(tǒng)中低頻段，忽略表達(dá)電機(jī)環(huán)節(jié)動(dòng)態(tài)特性的、，同時(shí)考慮在閉環(huán)內(nèi)設(shè)計(jì)算法，去掉閉環(huán)外的、，剩余、、、項(xiàng)，選擇作為輸入項(xiàng)，令=[，，]=[，，]=[，，]，修正后狀態(tài)方程如式（13）所示：
2.2 常規(guī)滑?？刂扑惴?/h3>
取EHA 位移指令與反饋的誤差及其導(dǎo)數(shù)作為滑?？刂扑惴ǖ恼`差向量。
跟蹤誤差如式（14）所示：
設(shè)計(jì)常規(guī)二階線性滑模面，如式（15）所示：
其中：,>0 ，滿足Hurwitz 條件。
由狀態(tài)方程式（13）變換形式得到活塞位移三階微分項(xiàng)˙˙˙，如式（16）所示：
采用指數(shù)趨近律，如式（17）所示：
式中為開關(guān)函數(shù)系數(shù)；為滑模面系數(shù)。
對(duì)式（15）求導(dǎo)，并與式（16）一同代入式（17），得到基于指數(shù)趨近律的滑模算法，如式（18）所示：
式中為滑?？刂破鬏敵隽?。
取Lyapunov 函數(shù)，如式（19）所示：
對(duì)式（19）求導(dǎo)，并將式（17）代入得到式（20）：
由此可知，滑模面滿足存在性和可達(dá)性，系統(tǒng)穩(wěn)定。
2.3 變阻尼滑?？刂扑惴?/h3>
滑?？刂扑惴ㄐ阅芎艽蟪潭壬先Q于滑模面，故滑模面設(shè)計(jì)與選擇成為滑?？刂破髟O(shè)計(jì)中最為關(guān)鍵的問(wèn)題。式（15）表示的滑模面中包含、兩個(gè)參數(shù)，將二階線性滑模面等效為標(biāo)準(zhǔn)二階振蕩環(huán)節(jié)，其取值將影響到系統(tǒng)響應(yīng)的快速性與平滑性。
對(duì)式（15）改進(jìn)，采用指數(shù)型變阻尼滑模面，如式（21）所示：
式中為滑模面無(wú)阻尼固有頻率；( )為變阻尼函數(shù)；和為最小阻尼比和最大阻尼比；為用于調(diào)節(jié)變阻尼變化快慢的敏感因子。
由式（21）可知，在滑動(dòng)階段初期，系統(tǒng)位置誤差較大，阻尼比較小，趨近于，使系統(tǒng)快速趨向滑模面。隨著位置誤差減小，阻尼比逐漸增大，阻尼比趨近于+，使系統(tǒng)到達(dá)滑模面時(shí)超調(diào)量較小。變阻尼敏感因子則影響實(shí)際阻尼比趨近最大最小值的速度。與反正切函數(shù)導(dǎo)數(shù)型變阻尼滑模面相比，指數(shù)型變阻尼滑模面在小誤差時(shí)阻尼比變化更為迅速，同樣在大誤差時(shí)衰減更快，從而實(shí)現(xiàn)更優(yōu)的調(diào)節(jié)能力。
不同敏感因子下的指數(shù)型阻尼比曲線如圖5所示。
圖5 指數(shù)型變阻尼曲線Fig.5 Exponential Variable Damp Curve
圖5中，當(dāng)=1 時(shí)，變阻尼曲線小誤差和大誤差情況下敏感程度適中，因此本文取=1 進(jìn)行研究。
將常規(guī)滑?？刂扑惴ㄊ剑?8）修正為變阻尼滑?？刂扑惴?，如式（22）所示：
針對(duì)所關(guān)注的中低頻段，一階微分已足夠滿足系統(tǒng)控制需求，故省略控制算法中的二階及以上微分項(xiàng)，修正后的變阻尼滑?？刂扑惴ǎ缡剑?3）所示：
2.4 跟蹤微分器
根據(jù)變阻尼滑?？刂扑惴芍答佂ǖ乐兴俣刃盘?hào)的求解至關(guān)重要，一般采用位置微分得到速度信號(hào)，而工程中因噪聲等因素，兼顧響應(yīng)速度和平穩(wěn)性有困難，不平滑的反饋速度信號(hào)會(huì)降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此引入跟蹤微分器獲取反饋通道中的速度信號(hào)。
跟蹤微分器是對(duì)加速度信號(hào)進(jìn)行數(shù)值積分求取速度信號(hào)，相比于工程中常用的差分法，能夠較好地濾除噪聲。本文采用正切Sigmoid 函數(shù)改進(jìn)加速度函數(shù)，其形式如式（24）所示：
式中為微分器計(jì)算位移值；為微分器計(jì)算速度值；() 為反饋通道實(shí)際位移信號(hào)；為微分器主增益；為終端吸引子函數(shù)系數(shù)；為正切Sigmoid 函數(shù)指數(shù)因子；，為正切Sigmoid 函數(shù)幅值增益。
3 仿真分析
劉璐提出了“非線性PID+前饋+陷波”組合控制算法，其結(jié)構(gòu)如圖6 所示。
圖6 組合控制算法結(jié)構(gòu)Fig.6 Schematics of the Combined Control Algorithm
其中，比例增益和前饋環(huán)節(jié)表達(dá)如式（25）所示：
式中，，為非線性PID 比例項(xiàng)系數(shù)；為非線性PID 微分項(xiàng)系數(shù)；為前饋系數(shù)；為陷波器零點(diǎn)頻率；為陷波器零點(diǎn)阻尼比；為陷波器極點(diǎn)頻率；r為陷波器極點(diǎn)阻尼比。
不失一般性，為簡(jiǎn)化分析，本文仿真分析不考慮陷波器，在試驗(yàn)時(shí)系統(tǒng)基礎(chǔ)開環(huán)增益取較小的20 rad/s，輸入取小幅值信號(hào)，保證系統(tǒng)在諧振時(shí)的安全性；在實(shí)際使用時(shí)，直接在算法中增加陷波器即可。系統(tǒng)模型參數(shù)如表2 所示，基于前饋的非線性PID 控制算法參數(shù)如表3 所示，滑模控制算法參數(shù)如表4 所示。
表2 EHA 模型參數(shù)表Tab.2 Parameters for Normalized Transfer Function
表3 組合控制算法參數(shù)表Tab.3 Parameters for Combined Control Algorithm
表4 滑?？刂扑惴▍?shù)表Tab.4 Parameters for Sliding Mode Control Algorithm
3.1 位置跟蹤仿真
給定系統(tǒng)幅值6 mm（約滿量程10%），頻率1 Hz的正弦位置信號(hào)，負(fù)載端角位移位置跟蹤曲線見圖7。
圖7 正弦跟蹤仿真曲線Fig.7 Simulated Sinusoidal Tracking Curve
由圖7 可知，跟蹤曲線幅值不超調(diào)的情況下，采用基于前饋的非線性 PID 算法跟蹤最大誤差為1.35 mm，相位滯后為-14.18°；而采用指數(shù)型變阻尼滑模算法跟蹤最大誤差為 0.53 mm，相位滯后為-6.34°，跟蹤精度提高一倍，相位滯后減小約55%。
3.2 頻率特性仿真
給定幅值3 mm（約滿量程5%）、頻率1~150 rad/s的正弦掃頻信號(hào)，負(fù)載端角位移頻率特性如圖8 所示。
圖8 頻率特性仿真曲線Fig.8 Simulated Frequency Response Curve
由圖8 可知，基于前饋的非線性PID 算法-45°相頻寬為20.2 rad/s，而指數(shù)型變阻尼滑模算法-45°相頻寬提升至30.8 rad/s，幅頻曲線在中高頻段幅值衰減更小，系統(tǒng)諧振峰值也并未增大，相頻提升明顯。
由仿真結(jié)果可知，由于圖4 中飽和環(huán)節(jié)的存在，基于前饋的非線性PID 算法難以協(xié)調(diào)全頻段中快速性與平穩(wěn)性的矛盾，對(duì)于相頻提升仍然有限。而滑?？刂扑惴▽?duì)于內(nèi)部參數(shù)變化不敏感，能夠根據(jù)控制要求設(shè)計(jì)合適的滑動(dòng)模態(tài)，通過(guò)設(shè)計(jì)趨近律保證系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面，使系統(tǒng)在保證平穩(wěn)的同時(shí)進(jìn)一步提高快速性，而加入指數(shù)型變阻尼滑模面之后，調(diào)節(jié)更加精細(xì)，因此提高了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。
4 試驗(yàn)研究
4.1 試驗(yàn)設(shè)計(jì)
搭建EHA 試驗(yàn)平臺(tái)，系統(tǒng)組成如圖9 所示，其中測(cè)試儀用來(lái)發(fā)送指令并記錄采集數(shù)據(jù)，控制器根據(jù)位置閉環(huán)控制算法計(jì)算轉(zhuǎn)速指令，驅(qū)動(dòng)器根據(jù)電機(jī)轉(zhuǎn)速指令控制伺服電機(jī)泵，從而控制作動(dòng)器動(dòng)作。
圖9 試驗(yàn)系統(tǒng)組成原理Fig.9 Block Diagram of the Experiment System
EHA 負(fù)載對(duì)象以慣性負(fù)載為主，試驗(yàn)測(cè)試等效原理及實(shí)物如圖10 所示。
圖10 帶載測(cè)試等效原理及實(shí)物Fig.10 Simplified Schematics and Photo of the Loaded EHA Test System
由試驗(yàn)數(shù)據(jù)得到系統(tǒng)負(fù)載結(jié)構(gòu)特性見圖11。由擬合數(shù)據(jù)得到負(fù)載結(jié)構(gòu)諧振頻率為110 rad/s，負(fù)載結(jié)構(gòu)諧振阻尼比為0.097。
圖11 負(fù)載結(jié)構(gòu)特性Fig.11 The Structural Dynamics of the Load
4.2 位置跟蹤試驗(yàn)
給定系統(tǒng)幅值6 mm（約滿量程10%），頻率1 Hz的正弦位置信號(hào)，負(fù)載端角位移輸出曲線如圖12所示。由圖12 可知，系統(tǒng)位置跟蹤在不衰減的情況下，采用指數(shù)型變阻尼滑模算法相比于基于前饋的非線性PID算法，其跟蹤最大誤差由2.18 mm 減小至1.01 mm，同時(shí)相位滯后也由-18.72°減小至-8.6°。由此可知，相比于基于前饋的非線性PID 算法，在系統(tǒng)的位置環(huán)采用指數(shù)型變阻尼滑模算法有效提高了系統(tǒng)的低頻段位置跟蹤精度。需要說(shuō)明的是，實(shí)際系統(tǒng)中存在摩擦、間隙等非線性因素，與仿真相比跟蹤誤差及相位滯后均稍大，但改進(jìn)的效果清晰。
圖12 正弦跟蹤曲線Fig.12 Sinusoidal Tracking Curve
4.3 頻率特性試驗(yàn)
對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行頻率特性試驗(yàn)測(cè)試，輸入幅值3 mm（約滿量程5%）、頻率1~150 rad/s 的正弦掃頻信號(hào)，得到負(fù)載端角位移頻率特性如圖13 所示。由圖13 可知，兩種算法幅頻曲線基本重合，指數(shù)型變阻尼滑模算法的相頻較基于前饋的非線性PID 算法有較大提升，-45°相頻寬從18.4 rad/s 提升至29.6 rad/s，且高頻段諧振峰值并未增大。表明指數(shù)型變阻尼滑模算法相比于基于前饋的非線性PID 算法有效改善了系統(tǒng)相位滯后問(wèn)題，提高了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能。
圖13 頻率特性曲線Fig.13 Frequency Response Curve
5 結(jié)束語(yǔ)
本文針對(duì)EHA 的高動(dòng)態(tài)響應(yīng)問(wèn)題，提出了一種指數(shù)型變阻尼滑?？刂扑惴?，同時(shí)采用基于正切Sigmoid函數(shù)的跟蹤微分器，實(shí)現(xiàn)了反饋通道中平滑速度信號(hào)的獲取。仿真及試驗(yàn)結(jié)果表明，指數(shù)型變阻尼滑模算法能夠有效提高系統(tǒng)在低頻段跟蹤精度，顯著提升系統(tǒng)相頻頻寬，提高系統(tǒng)快速性，進(jìn)一步改善系統(tǒng)相位滯后的問(wèn)題。
高詩(shī)程，張 朋，趙守軍，張春龍，馮 偉
（北京精密機(jī)電控制設(shè)備研究所，北京，100076）
0 引 言
電靜壓伺服系統(tǒng)（Electro-hydrostatic Actuator，EHA）兼具固有可靠性高和易維護(hù)等突出優(yōu)點(diǎn)，是未來(lái)多電化、高可靠火箭推力矢量控制系統(tǒng)的主流作動(dòng)器方案。
但傳統(tǒng)上認(rèn)為EHA 本質(zhì)是一個(gè)泵控系統(tǒng)，其動(dòng)態(tài)特性較差，頻率特性不如閥控伺服，難以滿足運(yùn)載火箭要求。張玉強(qiáng)采用“比例+陷波補(bǔ)償”算法進(jìn)行控制，與閥控系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能進(jìn)行了對(duì)比分析，動(dòng)態(tài)性能基本滿足火箭發(fā)動(dòng)機(jī)控制需求。劉璐采用“非線性PID+前饋補(bǔ)償+陷波補(bǔ)償”組合算法進(jìn)行控制，動(dòng)態(tài)特性進(jìn)一步提升，達(dá)到同等電液伺服的動(dòng)態(tài)技術(shù)水平，已滿足運(yùn)載火箭需要。為進(jìn)一步挖掘電靜壓伺服系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性潛能，提升控制指標(biāo)裕量，仍需開展更先進(jìn)的控制算法研究。
近年來(lái)，針對(duì)EHA 的高性能控制策略設(shè)計(jì)，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者在改進(jìn)PID 控制、智能控制、模糊控制、滑?？刂频确矫骈_展了研究，取得了一定的成果。其中，滑?？刂谱鳛橐环N非線性控制方法，能夠有效應(yīng)對(duì)系統(tǒng)的外部干擾與內(nèi)部參數(shù)時(shí)變性，且其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、容易實(shí)現(xiàn)，是目前研究的熱點(diǎn)控制策略之一。張英臣等在EHA 位置環(huán)采用滑模控制，在滿足快速性的情況下，超調(diào)量減小，系統(tǒng)獲得較高頻寬。洪輝等同樣在位置環(huán)采用滑模變結(jié)構(gòu)控制，并采用自適應(yīng)遺傳算法進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，有效減小系統(tǒng)超調(diào)，提高快速性，減小系統(tǒng)靜差。但張英臣等和洪輝等只給出了仿真分析，未提供試驗(yàn)數(shù)據(jù)。Wang M. K.等提出了一種反正切函數(shù)導(dǎo)數(shù)型變阻尼滑?？刂扑惴?，根據(jù)位置誤差調(diào)節(jié)滑模面阻尼比，在保證系統(tǒng)快速性的同時(shí)抑制了超調(diào)現(xiàn)象，但只給出了階躍和1 Hz 正弦指令的響應(yīng)特性，對(duì)實(shí)際應(yīng)用中最關(guān)注的頻率特性未給出仿真和試驗(yàn)結(jié)果。
提出指數(shù)型變阻尼滑模控制算法，以指數(shù)函數(shù)形式調(diào)節(jié)滑模面阻尼比，平衡系統(tǒng)快速性與平滑性之間的矛盾。同時(shí)，引入基于正切Sigmoid 函數(shù)的跟蹤微分器獲取平滑的反饋速度信號(hào)，有效改善滑模算法的控制穩(wěn)定性。此外，本文也針對(duì)工程適用的電靜壓伺服系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型，給出了對(duì)應(yīng)的狀態(tài)方程及滑模算法。
建立了系統(tǒng)模型，搭建了試驗(yàn)平臺(tái)，通過(guò)系統(tǒng)仿真及EHA 工程樣機(jī)的帶載試驗(yàn)，驗(yàn)證了控制算法的合理性和可行性。結(jié)果表明，相比于基于前饋的非線性PID 控制算法，在系統(tǒng)基礎(chǔ)開環(huán)增益取20 rad/s 的情況下，指數(shù)型變阻尼滑模算法在系統(tǒng)低頻段跟蹤精度提升1 倍，-45°相頻寬由18.4 rad/s 提升至29.6 rad/s。
1 系統(tǒng)及控制模型
EHA 主要由控制器、驅(qū)動(dòng)器、伺服電機(jī)泵、位移傳感器、作動(dòng)器和負(fù)載組成。工作原理如圖1 所示。根據(jù)輸入指令，控制器通過(guò)驅(qū)動(dòng)器控制電機(jī)的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)向來(lái)控制電機(jī)泵輸出流量的方向和大小，進(jìn)而控制作動(dòng)器活塞桿的運(yùn)動(dòng)方向和速度。
圖1 EHA工作原理Fig.1 Simplified Schematics of an EHA
EHA 基本組成如圖2 所示。
圖2 EHA 基本組成Fig.2 Block Diagram of an EHA
EHA 系統(tǒng)設(shè)計(jì)主要參數(shù)如表1 所示。
表1 EHA 基本設(shè)計(jì)參數(shù)表Tab.1 Main Design Parameters
作動(dòng)器及負(fù)載簡(jiǎn)化模型如圖3 所示。負(fù)載簡(jiǎn)化為一個(gè)質(zhì)量體和一個(gè)與作動(dòng)器連接的彈簧，表示運(yùn)載火箭大推力發(fā)動(dòng)機(jī)的諧振特性。
圖3 作動(dòng)器及負(fù)載模型Fig.3 The Physical Model of an EHA to Drive an Engine Load
系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型表示為
式中為電機(jī)泵等效二階環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)；為電機(jī)泵等效二階環(huán)節(jié)增益；為電機(jī)泵等效二階環(huán)節(jié)無(wú)阻尼自然振蕩頻率；為電機(jī)泵等效二階環(huán)節(jié)阻尼比；為柱塞泵排量；為作動(dòng)器總泄漏系數(shù)；為作動(dòng)器液壓缸兩腔總體積；為液體體積彈性模量；為負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；為伺服機(jī)構(gòu)搖擺負(fù)載力臂；為負(fù)載結(jié)構(gòu)諧振頻率；為負(fù)載結(jié)構(gòu)等效阻尼；為液壓固有頻率；c為機(jī)械液壓綜合諧振頻率；為機(jī)械液壓綜合諧振阻尼比；為位移反饋系數(shù)；為基礎(chǔ)開環(huán)增益。
伺服電機(jī)為永磁同步電機(jī)，采用=0 的控制方式，電流環(huán)和轉(zhuǎn)速環(huán)采用PI 控制，本文關(guān)注系統(tǒng)的中低頻段，且關(guān)注系統(tǒng)位置環(huán)的控制策略，因此將電機(jī)泵等效為一個(gè)二階環(huán)節(jié)。
由式（1）~（11）可得EHA 位置閉環(huán)規(guī)范化框圖，如圖4 所示。作動(dòng)器及負(fù)載部分進(jìn)行等效化簡(jiǎn)，將其簡(jiǎn)化為負(fù)載特性環(huán)節(jié)與負(fù)載效應(yīng)環(huán)節(jié)。其中，，，r及都可在線辨識(shí)，因此相比以物理參數(shù)表達(dá)的模型實(shí)用性更好。圖4 中飽和環(huán)節(jié)表示電機(jī)驅(qū)動(dòng)器的電流能力，由于此飽和限制，直接采用增大增益的方法，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能通常提升有限。因此采用非線性控制算法，增大小誤差信號(hào)時(shí)的增益，減小大誤差信號(hào)時(shí)的增益，從而提高動(dòng)態(tài)品質(zhì)。而滑模算法本質(zhì)是一類特殊的非線性控制，系統(tǒng)處于滑動(dòng)模態(tài)時(shí)，對(duì)外部的干擾具有很好的魯棒性，通過(guò)滑模面的設(shè)計(jì)，可獲得系統(tǒng)期望的動(dòng)態(tài)品質(zhì)，且控制算法簡(jiǎn)單，易于工程實(shí)現(xiàn)。
圖4 EHA 位置閉環(huán)控制規(guī)范化框圖Fig.4 Normalized Block Diagram of an EHA
2 指數(shù)型變阻尼滑模控制算法
2.1 系統(tǒng)狀態(tài)方程
實(shí)際使用中，更關(guān)注系統(tǒng)中低頻段，忽略表達(dá)電機(jī)環(huán)節(jié)動(dòng)態(tài)特性的、，同時(shí)考慮在閉環(huán)內(nèi)設(shè)計(jì)算法，去掉閉環(huán)外的、，剩余、、、項(xiàng)，選擇作為輸入項(xiàng)，令=[，，]=[，，]=[，，]，修正后狀態(tài)方程如式（13）所示：
2.2 常規(guī)滑?？刂扑惴?/h3>
取EHA 位移指令與反饋的誤差及其導(dǎo)數(shù)作為滑?？刂扑惴ǖ恼`差向量。
跟蹤誤差如式（14）所示：
設(shè)計(jì)常規(guī)二階線性滑模面，如式（15）所示：
其中：,>0 ，滿足Hurwitz 條件。
由狀態(tài)方程式（13）變換形式得到活塞位移三階微分項(xiàng)˙˙˙，如式（16）所示：
采用指數(shù)趨近律，如式（17）所示：
式中為開關(guān)函數(shù)系數(shù)；為滑模面系數(shù)。
對(duì)式（15）求導(dǎo)，并與式（16）一同代入式（17），得到基于指數(shù)趨近律的滑模算法，如式（18）所示：
式中為滑?？刂破鬏敵隽?。
取Lyapunov 函數(shù)，如式（19）所示：
對(duì)式（19）求導(dǎo)，并將式（17）代入得到式（20）：
由此可知，滑模面滿足存在性和可達(dá)性，系統(tǒng)穩(wěn)定。
2.3 變阻尼滑?？刂扑惴?/h3>
滑?？刂扑惴ㄐ阅芎艽蟪潭壬先Q于滑模面，故滑模面設(shè)計(jì)與選擇成為滑?？刂破髟O(shè)計(jì)中最為關(guān)鍵的問(wèn)題。式（15）表示的滑模面中包含、兩個(gè)參數(shù)，將二階線性滑模面等效為標(biāo)準(zhǔn)二階振蕩環(huán)節(jié)，其取值將影響到系統(tǒng)響應(yīng)的快速性與平滑性。
對(duì)式（15）改進(jìn)，采用指數(shù)型變阻尼滑模面，如式（21）所示：
式中為滑模面無(wú)阻尼固有頻率；( )為變阻尼函數(shù)；和為最小阻尼比和最大阻尼比；為用于調(diào)節(jié)變阻尼變化快慢的敏感因子。
由式（21）可知，在滑動(dòng)階段初期，系統(tǒng)位置誤差較大，阻尼比較小，趨近于，使系統(tǒng)快速趨向滑模面。隨著位置誤差減小，阻尼比逐漸增大，阻尼比趨近于+，使系統(tǒng)到達(dá)滑模面時(shí)超調(diào)量較小。變阻尼敏感因子則影響實(shí)際阻尼比趨近最大最小值的速度。與反正切函數(shù)導(dǎo)數(shù)型變阻尼滑模面相比，指數(shù)型變阻尼滑模面在小誤差時(shí)阻尼比變化更為迅速，同樣在大誤差時(shí)衰減更快，從而實(shí)現(xiàn)更優(yōu)的調(diào)節(jié)能力。
不同敏感因子下的指數(shù)型阻尼比曲線如圖5所示。
圖5 指數(shù)型變阻尼曲線Fig.5 Exponential Variable Damp Curve
圖5中，當(dāng)=1 時(shí)，變阻尼曲線小誤差和大誤差情況下敏感程度適中，因此本文取=1 進(jìn)行研究。
將常規(guī)滑?？刂扑惴ㄊ剑?8）修正為變阻尼滑?？刂扑惴?，如式（22）所示：
針對(duì)所關(guān)注的中低頻段，一階微分已足夠滿足系統(tǒng)控制需求，故省略控制算法中的二階及以上微分項(xiàng)，修正后的變阻尼滑?？刂扑惴ǎ缡剑?3）所示：
2.4 跟蹤微分器
根據(jù)變阻尼滑?？刂扑惴芍答佂ǖ乐兴俣刃盘?hào)的求解至關(guān)重要，一般采用位置微分得到速度信號(hào)，而工程中因噪聲等因素，兼顧響應(yīng)速度和平穩(wěn)性有困難，不平滑的反饋速度信號(hào)會(huì)降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此引入跟蹤微分器獲取反饋通道中的速度信號(hào)。
跟蹤微分器是對(duì)加速度信號(hào)進(jìn)行數(shù)值積分求取速度信號(hào)，相比于工程中常用的差分法，能夠較好地濾除噪聲。本文采用正切Sigmoid 函數(shù)改進(jìn)加速度函數(shù)，其形式如式（24）所示：
式中為微分器計(jì)算位移值；為微分器計(jì)算速度值；() 為反饋通道實(shí)際位移信號(hào)；為微分器主增益；為終端吸引子函數(shù)系數(shù)；為正切Sigmoid 函數(shù)指數(shù)因子；，為正切Sigmoid 函數(shù)幅值增益。
3 仿真分析
劉璐提出了“非線性PID+前饋+陷波”組合控制算法，其結(jié)構(gòu)如圖6 所示。
圖6 組合控制算法結(jié)構(gòu)Fig.6 Schematics of the Combined Control Algorithm
其中，比例增益和前饋環(huán)節(jié)表達(dá)如式（25）所示：
式中，，為非線性PID 比例項(xiàng)系數(shù)；為非線性PID 微分項(xiàng)系數(shù)；為前饋系數(shù)；為陷波器零點(diǎn)頻率；為陷波器零點(diǎn)阻尼比；為陷波器極點(diǎn)頻率；r為陷波器極點(diǎn)阻尼比。
不失一般性，為簡(jiǎn)化分析，本文仿真分析不考慮陷波器，在試驗(yàn)時(shí)系統(tǒng)基礎(chǔ)開環(huán)增益取較小的20 rad/s，輸入取小幅值信號(hào)，保證系統(tǒng)在諧振時(shí)的安全性；在實(shí)際使用時(shí)，直接在算法中增加陷波器即可。系統(tǒng)模型參數(shù)如表2 所示，基于前饋的非線性PID 控制算法參數(shù)如表3 所示，滑模控制算法參數(shù)如表4 所示。
表2 EHA 模型參數(shù)表Tab.2 Parameters for Normalized Transfer Function
表3 組合控制算法參數(shù)表Tab.3 Parameters for Combined Control Algorithm
表4 滑?？刂扑惴▍?shù)表Tab.4 Parameters for Sliding Mode Control Algorithm
3.1 位置跟蹤仿真
給定系統(tǒng)幅值6 mm（約滿量程10%），頻率1 Hz的正弦位置信號(hào)，負(fù)載端角位移位置跟蹤曲線見圖7。
圖7 正弦跟蹤仿真曲線Fig.7 Simulated Sinusoidal Tracking Curve
由圖7 可知，跟蹤曲線幅值不超調(diào)的情況下，采用基于前饋的非線性 PID 算法跟蹤最大誤差為1.35 mm，相位滯后為-14.18°；而采用指數(shù)型變阻尼滑模算法跟蹤最大誤差為 0.53 mm，相位滯后為-6.34°，跟蹤精度提高一倍，相位滯后減小約55%。
3.2 頻率特性仿真
給定幅值3 mm（約滿量程5%）、頻率1~150 rad/s的正弦掃頻信號(hào)，負(fù)載端角位移頻率特性如圖8 所示。
圖8 頻率特性仿真曲線Fig.8 Simulated Frequency Response Curve
由圖8 可知，基于前饋的非線性PID 算法-45°相頻寬為20.2 rad/s，而指數(shù)型變阻尼滑模算法-45°相頻寬提升至30.8 rad/s，幅頻曲線在中高頻段幅值衰減更小，系統(tǒng)諧振峰值也并未增大，相頻提升明顯。
由仿真結(jié)果可知，由于圖4 中飽和環(huán)節(jié)的存在，基于前饋的非線性PID 算法難以協(xié)調(diào)全頻段中快速性與平穩(wěn)性的矛盾，對(duì)于相頻提升仍然有限。而滑?？刂扑惴▽?duì)于內(nèi)部參數(shù)變化不敏感，能夠根據(jù)控制要求設(shè)計(jì)合適的滑動(dòng)模態(tài)，通過(guò)設(shè)計(jì)趨近律保證系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面，使系統(tǒng)在保證平穩(wěn)的同時(shí)進(jìn)一步提高快速性，而加入指數(shù)型變阻尼滑模面之后，調(diào)節(jié)更加精細(xì)，因此提高了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。
4 試驗(yàn)研究
4.1 試驗(yàn)設(shè)計(jì)
搭建EHA 試驗(yàn)平臺(tái)，系統(tǒng)組成如圖9 所示，其中測(cè)試儀用來(lái)發(fā)送指令并記錄采集數(shù)據(jù)，控制器根據(jù)位置閉環(huán)控制算法計(jì)算轉(zhuǎn)速指令，驅(qū)動(dòng)器根據(jù)電機(jī)轉(zhuǎn)速指令控制伺服電機(jī)泵，從而控制作動(dòng)器動(dòng)作。
圖9 試驗(yàn)系統(tǒng)組成原理Fig.9 Block Diagram of the Experiment System
EHA 負(fù)載對(duì)象以慣性負(fù)載為主，試驗(yàn)測(cè)試等效原理及實(shí)物如圖10 所示。
圖10 帶載測(cè)試等效原理及實(shí)物Fig.10 Simplified Schematics and Photo of the Loaded EHA Test System
由試驗(yàn)數(shù)據(jù)得到系統(tǒng)負(fù)載結(jié)構(gòu)特性見圖11。由擬合數(shù)據(jù)得到負(fù)載結(jié)構(gòu)諧振頻率為110 rad/s，負(fù)載結(jié)構(gòu)諧振阻尼比為0.097。
圖11 負(fù)載結(jié)構(gòu)特性Fig.11 The Structural Dynamics of the Load
4.2 位置跟蹤試驗(yàn)
給定系統(tǒng)幅值6 mm（約滿量程10%），頻率1 Hz的正弦位置信號(hào)，負(fù)載端角位移輸出曲線如圖12所示。由圖12 可知，系統(tǒng)位置跟蹤在不衰減的情況下，采用指數(shù)型變阻尼滑模算法相比于基于前饋的非線性PID算法，其跟蹤最大誤差由2.18 mm 減小至1.01 mm，同時(shí)相位滯后也由-18.72°減小至-8.6°。由此可知，相比于基于前饋的非線性PID 算法，在系統(tǒng)的位置環(huán)采用指數(shù)型變阻尼滑模算法有效提高了系統(tǒng)的低頻段位置跟蹤精度。需要說(shuō)明的是，實(shí)際系統(tǒng)中存在摩擦、間隙等非線性因素，與仿真相比跟蹤誤差及相位滯后均稍大，但改進(jìn)的效果清晰。
圖12 正弦跟蹤曲線Fig.12 Sinusoidal Tracking Curve
4.3 頻率特性試驗(yàn)
對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行頻率特性試驗(yàn)測(cè)試，輸入幅值3 mm（約滿量程5%）、頻率1~150 rad/s 的正弦掃頻信號(hào)，得到負(fù)載端角位移頻率特性如圖13 所示。由圖13 可知，兩種算法幅頻曲線基本重合，指數(shù)型變阻尼滑模算法的相頻較基于前饋的非線性PID 算法有較大提升，-45°相頻寬從18.4 rad/s 提升至29.6 rad/s，且高頻段諧振峰值并未增大。表明指數(shù)型變阻尼滑模算法相比于基于前饋的非線性PID 算法有效改善了系統(tǒng)相位滯后問(wèn)題，提高了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能。
圖13 頻率特性曲線Fig.13 Frequency Response Curve
5 結(jié)束語(yǔ)
本文針對(duì)EHA 的高動(dòng)態(tài)響應(yīng)問(wèn)題，提出了一種指數(shù)型變阻尼滑?？刂扑惴?，同時(shí)采用基于正切Sigmoid函數(shù)的跟蹤微分器，實(shí)現(xiàn)了反饋通道中平滑速度信號(hào)的獲取。仿真及試驗(yàn)結(jié)果表明，指數(shù)型變阻尼滑模算法能夠有效提高系統(tǒng)在低頻段跟蹤精度，顯著提升系統(tǒng)相頻頻寬，提高系統(tǒng)快速性，進(jìn)一步改善系統(tǒng)相位滯后的問(wèn)題。
