非凸稀疏約束的多快拍壓縮波束形成

丁飛龍 遲 騁 李 宇* 黃海寧

①(中國(guó)科學(xué)院聲學(xué)研究所 北京 100190)

②(中國(guó)科學(xué)院先進(jìn)水下信息技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 北京 100190)

③(中國(guó)科學(xué)院大學(xué) 北京 100049)

1 引言

基于壓縮感知(Compressive Sensing, CS)理論的波達(dá)方向(Direction Of Arrival, DOA)估計(jì)方法，在近十年里相當(dāng)流行，該方法最早由Malioutov等人[1]提出。相對(duì)于離散化的方位角數(shù)目來(lái)說(shuō)，感興趣的信源數(shù)目是少量的?；谶@個(gè)事實(shí)，DOA估計(jì)被描述成了一個(gè)具有稀疏約束的欠定線性系統(tǒng)，稱為壓縮波束形成(CompreSsive BeamForming, CSBF)[2]。與傳統(tǒng)的常規(guī)波束形成(Conventional BeamForming, CBF)相比，CSBF即使在單快拍下也具有穩(wěn)健的高分辨精度。因此，CSBF被廣泛應(yīng)用于地震波反演、聲學(xué)、雷達(dá)以及無(wú)線通信等領(lǐng)域。

CSBF的經(jīng)典策略是施加l1范數(shù)的稀疏約束[3]，因?yàn)樵谙∈栊盘?hào)處理中l(wèi)1范數(shù)具有特殊的意義，它是l0范數(shù)的凸松弛近似，并且凸問(wèn)題的可靠求解相對(duì)容易[4]。然而，自然的稀疏度量仍是l0范數(shù)，使用l1范數(shù)近似，會(huì)導(dǎo)致由于稀疏性不足，使得CSBF的性能下降[5]。使用非凸的懲罰函數(shù)約束，具有比l1范數(shù)更強(qiáng)的稀疏性，可以提高算法的性能[6,7]。但是，非凸的懲罰函數(shù)在求解過(guò)程中需要解決一系列的平滑問(wèn)題，不能直接最小化懲罰函數(shù)，可能出現(xiàn)局部最小化問(wèn)題[8]。為了增強(qiáng)稀疏性且同時(shí)避免局部最小化問(wèn)題，Selesnick[9]提出一種極小極大凹懲罰(Minimax Concave Penalty, MCP)函數(shù)，在趨近l0范數(shù)稀疏性的同時(shí)保持了整體懲罰函數(shù)的凸性質(zhì)。Yang等人[10]將MCP函數(shù)應(yīng)用到CSBF中，并證明了其優(yōu)于l1范數(shù)約束方法的強(qiáng)大性能。

然而在低信噪比下，文獻(xiàn)[10]的算法DOA估計(jì)性能不佳，多快拍聯(lián)合估計(jì)可以提高低信噪比下的DOA估計(jì)結(jié)果。傳統(tǒng)多快拍方法，如最小方差無(wú)失真方法(Minimum Variance Distortion-less Response, MVDR)[11]和多重信號(hào)分類方法(MUltiple SIgnal Classification, MUSIC)[12]等，對(duì)快拍的數(shù)量有著最低限制，且在低信噪比下性能不佳。基于l1范數(shù)的多快拍壓縮波束形成(Multiple Snapshot Compressive BeamForming based onl1norm,l1-MCSBF)[13]雖然對(duì)快拍數(shù)沒(méi)有要求，但在低信噪比下，由于稀疏性不足，會(huì)導(dǎo)致偽源的產(chǎn)生。

基于MCP約束的多快拍壓縮波束形成(Multiple Snapshot Compressive BeamForming based on MCP, MCP-MCSBF)可以提供比l1-MCSBF的更好的性能。但是，求解MCP-MCSBF的困難在于需要證明MCP-MCSBF具備整體凸性質(zhì)的前提條件，因?yàn)镸CP函數(shù)本身是非凸的，只有滿足整體凸性質(zhì)，才能收斂到全局最小值，這也是其與其他非凸稀疏約束相比的優(yōu)勢(shì)所在。另外，類似文獻(xiàn)[11]的常規(guī)多快拍壓縮波束形成求解方法，是對(duì)每一個(gè)快拍單獨(dú)處理并將結(jié)果求均值，其計(jì)算成本隨著快拍數(shù)目的增大而增大。

因此對(duì)于上述問(wèn)題，本文的貢獻(xiàn)在于證明了MCP-MCSBF的整體凸性質(zhì)條件，提出了一種低計(jì)算成本的MCP-MCSBF求解方法，實(shí)現(xiàn)了增強(qiáng)稀疏性的同時(shí)，在低信噪比情況下獲得更穩(wěn)定的DOA估計(jì)結(jié)果。本文提出的MCP-MCSBF首先對(duì)陣列接收的觀測(cè)矩陣數(shù)據(jù)進(jìn)行SVD分解，并將其投影到信號(hào)子空間上；然后再根據(jù)Boyd等人[14]的凸優(yōu)化理論，將投影后的觀測(cè)矩陣所有列加權(quán)疊加成一個(gè)新的向量；最后，再將這個(gè)新的向量代入計(jì)算，得出精確的DOA估計(jì)結(jié)果。

2 單快拍 DOA估計(jì)

2.1 信號(hào)模型

2.2 非凸稀疏約束的壓縮波束形成

3 多快拍DOA估計(jì)

表1 基于MCP函數(shù)約束的壓縮波束形成算法步驟

顯然，可以參考2.2節(jié)的單快拍算法，將式(24)看成兩個(gè)交替求解的多快拍稀疏約束問(wèn)題求解。但問(wèn)題在于傳統(tǒng)求解多快拍稀疏約束的算法，如多快拍交替方向法(Multiple snapshots Alternate Direction Method, M-ADM)[23]等，本質(zhì)上只是對(duì)每一個(gè)快拍單獨(dú)運(yùn)算并求和平均。這樣的做法存在兩個(gè)問(wèn)題：(1)本質(zhì)上仍未脫離單快拍運(yùn)算的范疇，只能一定程度上減少估計(jì)結(jié)果的誤差，對(duì)于高噪聲環(huán)境下導(dǎo)致的稀疏約束能力不足，從而產(chǎn)生的估計(jì)偏差，并沒(méi)有得到真正的解決；(2)計(jì)算成本與K?成正比。

本文提出MCP-MCSBF算法將降維后的觀測(cè)矩陣YK?通過(guò)加權(quán)求和，進(jìn)一步表示成M×1維向量yK?，然后將其代入單快拍求解算法中求解。且可以通過(guò)定理2證明，當(dāng)權(quán)數(shù)w?1+w?2+...+w?K?=1，ΣTΣ ≤1/εAHA時(shí)，目標(biāo)函數(shù)仍具備整體凸性質(zhì)。

本文所提MCP-MCSBF算法如表2所示。本文算法的收斂性證明可見(jiàn)文獻(xiàn)[10,24]，因此這里不再重復(fù)說(shuō)明。

表2 MCP-MCSBF算法步驟

4 仿真結(jié)果

本節(jié)主要探討基于MCP約束的多快拍壓縮波束形成的DOA估計(jì)性能?？紤]了一個(gè)傳感器數(shù)量M=24且半波長(zhǎng)分離的均勻線性陣列，源信號(hào)為載波頻率3000 Hz的窄帶信號(hào)，噪聲為服從高斯分布點(diǎn)的白噪聲信號(hào)。傳感矩陣A定義在一個(gè)間隔為1o，從-90°～90°的角度網(wǎng)格中，并使用均方根誤差(Root Mean Squared Error, RMSE)量化DOA估計(jì)的性能。

4.1 本文算法的性能

其次，比較MCP約束的傳統(tǒng)多快拍與提出多快拍壓縮感知算法的性能。這里的傳統(tǒng)多快拍壓縮感知算法指的是，通過(guò)對(duì)每一個(gè)快拍單獨(dú)處理，然后將結(jié)果求和平均的方法，見(jiàn)文獻(xiàn)[11,23]。仿真設(shè)置與上文相同，仿真結(jié)果如圖2所示。圖2(a)展示了傳統(tǒng)多快拍壓縮感知算法的估計(jì)性能。由于該算法只是對(duì)每個(gè)快拍分別計(jì)算然后求和平均，沒(méi)有根本上解決強(qiáng)噪聲背景下，稀疏性不足的問(wèn)題，因此可以看到圖2(a)中盡管估計(jì)出了準(zhǔn)確的方位角度，但是存在兩個(gè)較強(qiáng)的偽源，干擾了目標(biāo)判斷。圖2(b)為提出多快拍算法的估計(jì)結(jié)果，展示了穩(wěn)健而精確的方位估計(jì)性能。

圖1 信噪比-10 dB下的DOA估計(jì)結(jié)果

圖2 信噪比-10 dB下多快拍的DOA估計(jì)結(jié)果

4.2 與傳統(tǒng)多快拍DOA估計(jì)算法的性能對(duì)比

為了進(jìn)一步驗(yàn)證MCP-MCSBF算法的性能。本文將其與CBF, MUSIC以及l(fā)1-MCSBF對(duì)比。首先，考察SNR為-10 dB下不同的算法的DOA估計(jì)結(jié)果。令3個(gè)能級(jí)相同的獨(dú)立源信號(hào)，入射角分別為[-4°, 0°, 20°]，快拍數(shù)為50，仿真結(jié)果如圖3所示。在圖3(a)和圖3(b)中由于-4°和0°的兩個(gè)源間隔較小，CBF和MUSIC均無(wú)法有效地區(qū)分這兩個(gè)目標(biāo)源；而圖3(c)中l(wèi)1-MCSBF雖然能夠區(qū)分這兩個(gè)目標(biāo)源，但由于l1-MCSBF的稀疏性不足，所以出現(xiàn)了許多的偽峰。MCP-MCSBF具有比l1-MCSBF更強(qiáng)的稀疏性，因此在圖3(d)中，不僅能區(qū)分間隔較近的兩個(gè)目標(biāo)源，且除了估計(jì)的目標(biāo)源外，不存在別的偽峰。

圖3 -10 dB下不同算法的DOA估計(jì)結(jié)果對(duì)比

其次，分別考慮獨(dú)立源和相干源情況。SNR從-10 dB變化到10 dB，其余設(shè)置與上文相同，每次均進(jìn)行400次蒙特卡羅仿真模擬，得到的RMSE結(jié)果如圖4所示。圖4(a)表示獨(dú)立源情況下RMSE隨SNR變化的情況。可以看出，隨著SNR的增大，這4種算法的DOA估計(jì)精度都逐漸提高。因?yàn)镃BF波束寬度近似為1 02°/M=4.25°，大于- 4°和0°的兩個(gè)源的角度間隔，所以CBF的估計(jì)精度要明顯低于另外3種算法。MUSIC估計(jì)精度在高信噪比下較好，但在低信噪比下估計(jì)精度較差。l1-MCSBF和MCP-MCSBF估計(jì)精度相似，但在低信噪比下MCP-MCSBF具備的估計(jì)精度更高。圖4(b)表示相干源情況下RMSE隨SNR變化的情況。由于MUSIC算法在估計(jì)DOA過(guò)程中，涉及接收信號(hào)協(xié)方差求逆，因此相干源會(huì)導(dǎo)致DOA估計(jì)精度大大降低。CBF，l1-MCSBF以及MCP-MCSBF則不受相干源影響，仍具備很高的DOA估計(jì)精度。

然后，比較信噪比-10 dB，快拍數(shù)從1～100變化下的DOA估計(jì)結(jié)果，如圖4(c)所示。這里考慮到陣元個(gè)數(shù)為24，因此MUSIC算法的快拍起點(diǎn)為30快拍。圖中所有算法的RMSE都隨著快拍數(shù)增多而下降，但是可以清楚地看到本文提出的MCPMCSBF在任何快拍下都要優(yōu)于CBF，MUSIC以及l(fā)1-MCSBF。認(rèn)為成功區(qū)分了兩個(gè)獨(dú)立源，將成功分辨的次數(shù)比上蒙特卡羅仿真次數(shù)，得到成功分辨概率，可以用來(lái)表示算法的性能。

圖4 不同算法的性能比較

5 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)結(jié)果

上文已經(jīng)在仿真中驗(yàn)證了算法的性能，但是數(shù)值的模擬并不能代表真實(shí)的水下環(huán)境。本節(jié)展示算法在水下實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)中的優(yōu)良性能。采用湖試數(shù)據(jù)作為本文提出的MCP-MCSBF算法的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)。湖面聲速為1500 m/s，由UUV平臺(tái)搭載的舷側(cè)均勻水平線陣接收數(shù)據(jù)，UUV航行深度在水下6 m，陣元數(shù)目為24個(gè)，陣元之間的距離為0.1875 m。此次試驗(yàn)中存在兩個(gè)聲源信號(hào)，一個(gè)是位于水下6 m處的靜止聲源信號(hào)，發(fā)射頻率為1～4 kHz寬帶噪聲信號(hào)，另一個(gè)為水面運(yùn)動(dòng)的小艇發(fā)出的輻射聲源，且小艇與靜止聲源之間存在交叉。將每秒的數(shù)據(jù)分為50快拍，使用全頻帶的信息進(jìn)行DOA估計(jì)。

圖6表示CBF, MUSIC以及l(fā)1-MCSBF與MCPMCSBF算法的時(shí)間方位歷程圖。圖6(a)表示CBF的方位歷程圖，可以看出當(dāng)兩個(gè)聲源逐漸接近時(shí)，由于CBF較寬的主瓣，將兩個(gè)聲源合并成了一個(gè)聲源，且存在自噪聲和干擾噪聲的影響，導(dǎo)致目標(biāo)聲源不夠突出；圖6(b)表示已知精確的信號(hào)源個(gè)數(shù)這一先驗(yàn)信息下的MUSIC的方位歷程圖，MUSIC算法相對(duì)于CBF來(lái)說(shuō)主瓣更窄，對(duì)自噪聲和干擾噪聲有了很好的抑制，因此目標(biāo)聲源更加突出，但是對(duì)背景噪聲的抑制力不強(qiáng)，最低能量為-10 dB；圖6(c)表示l1- MCSBF的方位歷程圖，顯然l1-MCSBF相對(duì)于CBF以及MUSIC來(lái)說(shuō)，在抑制自噪聲和干擾噪聲的同時(shí)，大大減弱了背景噪聲，此時(shí)最低能量為-100 dB，增強(qiáng)了目標(biāo)聲源。但是由于稀疏性不足，所以方位歷程圖中存在較多的噪點(diǎn)；圖6(d)表示MCP-MCSBF的方位歷程圖，與l1-MCSBF相比，由于本文提出算法增強(qiáng)了稀疏性，因此圖中存在的噪點(diǎn)很少。且與傳統(tǒng)CBF和MUSIC算法相比，目標(biāo)聲源更加清晰，對(duì)背景噪聲的抑制也更強(qiáng)，此時(shí)最低能量為-150 dB。

圖5 成功分辨率隨SNR和角度間隔的變化

圖6 方位歷程圖

通過(guò)湖試數(shù)據(jù)可以看出，本文方法在噪聲背景下保持著穩(wěn)健的DOA估計(jì)性能，抑制了旁瓣的產(chǎn)生；同時(shí)由于較窄的主瓣寬度，也提高了目標(biāo)聲源的分辨率，在目標(biāo)聲源角度間隔較近時(shí)，展現(xiàn)了良好的性能。

6 結(jié)論

本文提出一種基于MCP約束的多快拍壓縮波束形成算法，本方法通過(guò)非凸函數(shù)MCP提高了傳統(tǒng)壓縮波束形成算法的稀疏性，且由于MCP的整體凸性質(zhì)，不存在局部最小值問(wèn)題，保證了DOA估計(jì)的可靠性；同時(shí)利用多個(gè)快拍的數(shù)據(jù)聯(lián)合估計(jì)，提高了DOA估計(jì)的穩(wěn)定性。仿真分析證明了本文算法與CBF, MUSIC以及l(fā)1-MCSBF算法相比，具有更優(yōu)的精確性和更高的角度分辨率，湖試結(jié)果也再一次證明了本文算法的有效性。