基于ARMA模型的超薄滾筒箱體模態(tài)研究

王東生 凌志東 吳云貴

長(zhǎng)虹美菱股份有限公司 安徽合肥 230601

0 引言

滾筒洗衣機(jī)由于具有較低的脫水含水率、較高的洗凈比、易于家居搭配及功能多樣化等優(yōu)點(diǎn)，越來(lái)越受到年輕消費(fèi)者的喜愛(ài)[1]。隨著滾筒市場(chǎng)份額逐年提升，消費(fèi)者對(duì)滾筒洗衣機(jī)的性能提出了更高的要求，其中振動(dòng)性能尤為突出[2]。滾筒洗衣機(jī)是由箱殼和吊簧、減震器、桶裝部件等組成，是一個(gè)較為典型的振動(dòng)系統(tǒng)[3]。業(yè)內(nèi)對(duì)于滾筒洗衣機(jī)的振動(dòng)性能的研究方向主要包括箱體的模態(tài)分析、懸掛系統(tǒng)的多體動(dòng)力學(xué)分析、箱體結(jié)構(gòu)的改進(jìn)與振動(dòng)響應(yīng)的分析等[4]。在對(duì)箱體的模態(tài)分析進(jìn)行深入研究時(shí)，發(fā)現(xiàn)通過(guò)Simcenter3D仿真軟件建模仿真獲取箱體的模態(tài)和通過(guò)模態(tài)試驗(yàn)獲取的箱體的模態(tài)存在一定的差距。仿真結(jié)果不夠精準(zhǔn)，會(huì)誤導(dǎo)箱體的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與優(yōu)化。為快速驗(yàn)證仿真模型的可靠性，需要通過(guò)一些方法對(duì)仿真的結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，常用的方法是模態(tài)試驗(yàn)法。本文提供一種全新的快速驗(yàn)證方法，即采集箱體時(shí)域響應(yīng)信號(hào)，繪制穩(wěn)定圖獲取箱體的模態(tài)頻率，通過(guò)對(duì)比法快速確定仿真結(jié)果是否可靠。

1 ARMA模型

ARMA模型（Autoregressive moving average model），又稱時(shí)間序列模型，是根據(jù)系統(tǒng)觀測(cè)得到的時(shí)間序列數(shù)據(jù)，通過(guò)曲線擬合和參數(shù)估計(jì)來(lái)建立數(shù)學(xué)模型的理論和方法。一般采用曲線擬合和參數(shù)估計(jì)方法（如非線性最小二乘法）進(jìn)行，常用于自然、經(jīng)濟(jì)、社會(huì)以及科學(xué)等領(lǐng)域。本文引用的ARMA模型基本原理如下：首先利用白噪聲在理想狀態(tài)下對(duì)一線性結(jié)構(gòu)進(jìn)行激勵(lì)，其觀測(cè)樣本序列為（x1,x2…xN），通過(guò)該方法建立的ARMA模型表達(dá)式為：

式（1）中：p為自回歸部分的階次，q為滑動(dòng)平均部分的階次，為自回歸系數(shù)， 為滑動(dòng)平均系數(shù)，at-j（j=1,2,…q）為輸入的隨機(jī)序列，為輸入的白噪聲。引入時(shí)移算子后，所得到的ARMA傳遞函數(shù)為：

經(jīng)過(guò)對(duì)分母多項(xiàng)式的根 進(jìn)行求解，即可獲取關(guān)于系統(tǒng)的模態(tài)頻率。它們與阻尼比 以及和固有頻率 的關(guān)系為：

ARMA模型可以在MATLAB軟件進(jìn)行建模使用MATLAB中本身含有的函數(shù)，由于ARMA求解過(guò)程中含有唯一且穩(wěn)定的解：

在式（4）中，hj為脈沖響應(yīng)函數(shù)，一般情況下我們會(huì)采用Prony函數(shù)方法[5]，使用的格式為：

ARMA參數(shù)建模是通過(guò)Prony方法進(jìn)行時(shí)間序列響應(yīng)擬合的，可以通過(guò)上述方法得到Prony函數(shù)，主要用于濾波器設(shè)計(jì)、系統(tǒng)的辨識(shí)和指數(shù)信號(hào)建模。式（4）中b為分子系數(shù)向量和a為分母系數(shù)向量，其中分別對(duì)應(yīng)為滑動(dòng)平均系數(shù) 和自回歸系數(shù)，h為時(shí)域脈沖響應(yīng)。式（4）傳遞函數(shù)中nb為分母階次、na為分子階次，分別對(duì)應(yīng)了滑動(dòng)平均階次q以及自回歸模型階次p。這種Prony方法不僅對(duì)于系統(tǒng)輸入進(jìn)行了考慮，同時(shí)也兼顧了系統(tǒng)輸出，更加全面的對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行了估計(jì)。

在ARMA模型中，因?yàn)榇嬖趦蓚€(gè)階次p和q，所以當(dāng)下該如何確定二者的關(guān)系相對(duì)應(yīng)顯得更為重要。在滑動(dòng)平均階次q和自回歸模型階次p之間一般都存在關(guān)系，關(guān)系如下：p>q，一般取p=q+1，故本文中p與q的關(guān)系將按p=q+1取值[6]。

2 穩(wěn)定圖法

在模態(tài)參數(shù)識(shí)別領(lǐng)域中，一般會(huì)采用模態(tài)穩(wěn)定性圖法[7]對(duì)于模態(tài)的穩(wěn)定及虛假進(jìn)行判斷并剔除其中的虛假模態(tài)?？紤]到ARMA模型中的時(shí)間序列分析法也可以采用穩(wěn)定性圖方法來(lái)識(shí)別模態(tài)參數(shù)，故本文中使用方法如下：首先，通過(guò)在一定范圍內(nèi)使ARMA模型的階次慢慢變大同時(shí)進(jìn)行計(jì)算求解，可以獲取模態(tài)頻率的一系列值；其次，采用頻率為橫坐標(biāo)，采用模型階次（采用滑動(dòng)平均階次q）為縱坐標(biāo)，通過(guò)上述方法可以繪制出關(guān)于模態(tài)頻率的穩(wěn)定圖。最后，因模型無(wú)法避免階次過(guò)估計(jì)的現(xiàn)象，導(dǎo)致在繪制穩(wěn)定圖時(shí)出現(xiàn)真實(shí)模態(tài)與虛假模態(tài)并存的現(xiàn)象，但是逐步增加階次后，發(fā)現(xiàn)虛假模態(tài)中的極點(diǎn)會(huì)發(fā)生不穩(wěn)定、分散、彎曲的現(xiàn)象，而真實(shí)模態(tài)中的極點(diǎn)則會(huì)較為穩(wěn)定且會(huì)排列產(chǎn)生成一條條的縱向直線，因此可以很明顯地從圖中分辨出系統(tǒng)的真實(shí)模態(tài)值和虛假模態(tài)[8]。結(jié)合ARMA我們可以從現(xiàn)有的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中獲取穩(wěn)定圖，幫助我們判斷獲取的固有頻率中存在的不穩(wěn)定模態(tài)并剔除其中不穩(wěn)定模態(tài)。

3 箱體的有限元建模與模態(tài)分析

為滿足產(chǎn)品不斷地改善及市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)的需求，對(duì)于箱體的振幅研究是不可避免的。如何改善箱體的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度，改變其壓筋形狀，需要獲取該箱體中的固有頻率，并對(duì)比改善前后的固有頻率。為獲取箱體固有頻率，通常采用的是有限元仿真和對(duì)于箱體進(jìn)行模態(tài)試驗(yàn)[9]。

3.1 模型簡(jiǎn)化

考慮到箱體為對(duì)稱結(jié)構(gòu)，因此將箱體模型簡(jiǎn)化為單側(cè)側(cè)板，并去除部分結(jié)構(gòu)特征。模型示意圖如圖1所示。

圖1 箱體模型示意圖

從圖1可以看出，箱殼壓筋采用3條閉環(huán)壓筋，截面為弧形，并且外圈筋淺，中間筋深。

3.2 網(wǎng)格劃分

將模型導(dǎo)入Simcenter3D軟件中，進(jìn)行網(wǎng)格劃分。洗衣機(jī)箱體主要材料特性：彈性模量2.06×105Mpa，泊松比0.3，密度7.85×10-6kg/mm3。對(duì)于選取的箱殼單元進(jìn)行網(wǎng)格劃分，單個(gè)網(wǎng)格大小為3 mm，單元總數(shù)目為55681個(gè)。網(wǎng)格劃分如圖2所示。

圖2 箱體網(wǎng)格劃分示意圖

3.3 仿真結(jié)果

仿真得到的箱體前十階的固有頻率如表1所示。

表1 仿真前十階固有頻率

4 仿真結(jié)果快速驗(yàn)證

快速驗(yàn)證仿真結(jié)果可靠性方法如下：第一步采集箱體側(cè)板的時(shí)域響應(yīng)信號(hào)，第二步使用MATLABM算法計(jì)算得到穩(wěn)定圖，第三步通過(guò)穩(wěn)定圖獲得箱體的模態(tài)頻率，第四步對(duì)比分析判斷仿真結(jié)果是否可靠。

4.1 箱體時(shí)域響應(yīng)信號(hào)采集

使用東華測(cè)試設(shè)備：DH59220D動(dòng)態(tài)信號(hào)測(cè)試分析系統(tǒng)對(duì)箱體的時(shí)域響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行采集，本次的采樣頻率選取值定為2048 Hz，采樣間隔為 s，采樣時(shí)長(zhǎng)為500 s。加速度傳感器布點(diǎn)以及箱體側(cè)板加速度響應(yīng)信號(hào)如圖3、圖4所示。

圖3 測(cè)點(diǎn)布置圖

圖4 箱體側(cè)板加速度響應(yīng)圖

4.2 ARMA模型建立

將4.1節(jié)中得到的箱體加速度時(shí)域響應(yīng)信號(hào)作為輸入信號(hào)，通過(guò)自編程序?qū)ζ溥M(jìn)行求解，得到ARMA模型的穩(wěn)定圖，從而獲取箱體的模態(tài)頻率值。取滑動(dòng)平均階次q的階次區(qū)間為1～150，以此做出穩(wěn)定圖，繪制ARMA模型的穩(wěn)定圖如圖5所示。

從圖5分析得出，真實(shí)模態(tài)的極點(diǎn)會(huì)排列成一條直線，而虛假模態(tài)極點(diǎn)會(huì)分散不穩(wěn)定。由此得出，箱體的前五階模態(tài)頻率值分別41 Hz、82 Hz、124 Hz、165 Hz、206 Hz。

圖5 ARMA模型穩(wěn)定圖

4.3 模態(tài)頻率驗(yàn)證

將4.1節(jié)得到的箱體加速度時(shí)域響應(yīng)信號(hào)，經(jīng)過(guò)二次積分處理，并以轉(zhuǎn)速為橫坐標(biāo)，以振幅為縱坐標(biāo)，繪制出0 r/min到1320 r/min過(guò)程中箱體的振幅圖如圖5。

從圖6中可以看出，箱體的共振轉(zhuǎn)速分別出現(xiàn)在370 r/min、600 r/min、1220 r/min。4.2節(jié)中得到箱體的前五階模態(tài)頻率值的1/8倍頻、1/4倍頻和1/2倍頻與圖5所示的共振峰基本一致，由此證明通過(guò)MATLAB算法獲得的箱體模態(tài)頻率是比較合理的。

圖6 箱體振幅圖

4.4 仿真結(jié)果快速驗(yàn)證

根據(jù)4.2節(jié)中得到的箱體前五階模態(tài)頻率，對(duì)比表1中仿真前十階固有頻率，得出有五階固有頻率值如表2所示。

表2 仿真分析真實(shí)固有頻率

通過(guò)圖5分析得知，仿真獲得的固有頻率與基于ARMA模型的穩(wěn)定圖法獲得的固有頻率在同一個(gè)量級(jí)，且數(shù)值差異較小。由此得出以下三點(diǎn)結(jié)論：

（1）仿真過(guò)程中對(duì)箱體模型的優(yōu)化不會(huì)對(duì)模態(tài)分析造成較大的影響；

（2）仿真過(guò)程中網(wǎng)格劃分、材料屬性及邊界條件與實(shí)物狀態(tài)基本符合；

（3）仿真分析得出的箱體固有頻率及陣型具有可靠性，可以作為優(yōu)化結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的理論支撐。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文以滾筒洗衣機(jī)超薄箱體為研究對(duì)象，首先采集了箱體時(shí)域響應(yīng)信號(hào)采集，其次以該時(shí)域響應(yīng)信號(hào)作為輸入信號(hào)，通過(guò)MATLAB算法計(jì)算得到ARMA模型的穩(wěn)定圖，然后對(duì)穩(wěn)定圖進(jìn)行分析獲得箱體的模態(tài)頻率，再次以實(shí)際工況下箱體共振轉(zhuǎn)速為依據(jù)，證明4.2節(jié)中算法的合理性，最后對(duì)比分析確認(rèn)仿真結(jié)果真實(shí)可靠，為后續(xù)箱體結(jié)構(gòu)改進(jìn)、箱體模態(tài)研究提供有效參考。當(dāng)然ARMA模型和穩(wěn)定圖法在滾筒洗衣機(jī)產(chǎn)品開(kāi)發(fā)中的應(yīng)用還有許多工作要做，合理應(yīng)用該項(xiàng)技術(shù)可以使?jié)L筒洗衣機(jī)的產(chǎn)品結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)變得更加便捷、高效[10]。