基于新最速下降算法的自適應(yīng)波束形成

王 帥, 向建軍, 彭 芳, 唐書娟, 李志軍

(空軍工程大學(xué)航空工程學(xué)院, 陜西 西安 710038)

0 引 言

陣列天線相較于傳統(tǒng)單天線具有空間分辨率高、探測(cè)距離遠(yuǎn)、抗干擾等優(yōu)點(diǎn)，目前被廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、聲吶、無(wú)線通信、空間遙測(cè)等領(lǐng)域。例如：在相控陣?yán)走_(dá)探測(cè)領(lǐng)域，陣列信號(hào)處理的應(yīng)用能夠增強(qiáng)目標(biāo)信號(hào)，抑制干擾信號(hào)，提高空間探測(cè)的分辨率；在陣列麥克風(fēng)領(lǐng)域中，對(duì)語(yǔ)音信號(hào)進(jìn)行增強(qiáng)，從噪聲中提取清晰的語(yǔ)音信號(hào)，提高話音質(zhì)量；在無(wú)線通信領(lǐng)域中，提高能量和信道的利用率，提升譜效率；在水下聲吶探測(cè)領(lǐng)域中，對(duì)目標(biāo)進(jìn)行識(shí)別、跟蹤和定位，濾除噪聲影響，提高檢測(cè)效率。

波束形成又稱空域?yàn)V波，能夠控制陣列天線收發(fā)波束的空間指向，是陣列信號(hào)處理的代表性技術(shù)之一。波束形成通過(guò)對(duì)陣列天線各陣元施加不同的復(fù)數(shù)權(quán)值，令各信號(hào)之間相互干涉，使得陣列天線輸出的信號(hào)在目標(biāo)方向形成主瓣波束，在干擾方向形成盡可能低的零陷來(lái)抑制干擾信號(hào)的影響，同時(shí)盡量降低旁瓣電平來(lái)減小雜波的影響。

自適應(yīng)波束形成是波束形成技術(shù)的一種，可以根據(jù)目標(biāo)和干擾的方向，以特定自適應(yīng)準(zhǔn)則自動(dòng)調(diào)節(jié)波束指向及零陷，在目標(biāo)探測(cè)和干擾對(duì)抗方面發(fā)揮了重要作用，具有重大的研究?jī)r(jià)值和實(shí)際意義。經(jīng)典的自適應(yīng)波束形成算法包括以下幾種：基于最小均方(least mean square，LMS)算法的自適應(yīng)波束形成，該算法基于LMS誤差準(zhǔn)則，應(yīng)用該準(zhǔn)則構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)梯度下降法求解目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，用最優(yōu)解進(jìn)行波束形成。基于遞歸最小二乘(recursive least square， RLS)算法的自適應(yīng)波束形成遵從LMS誤差準(zhǔn)則，該算法采用遞歸的方式代替矩陣求逆，相較于通過(guò)矩陣求逆的運(yùn)算方式求維納解，降低了算法的運(yùn)算量。最小方差無(wú)畸變響應(yīng)(minimum variance distortionless response, MVDR)波束形成算法基于最大信干噪比(signal to interference plus noise ratio, SINR)準(zhǔn)則。該準(zhǔn)則使波束形成器輸出的干擾加噪聲功率與信號(hào)功率之比最大來(lái)求解波束形成器的最優(yōu)復(fù)權(quán)系數(shù)，因此一般情況下又被看作是最優(yōu)波束形成。

1 自適應(yīng)波束形成的原理

自適應(yīng)算法可以根據(jù)背景環(huán)境以一定的準(zhǔn)則自動(dòng)調(diào)節(jié)陣元的權(quán)值。有很多準(zhǔn)則可以用來(lái)調(diào)節(jié)權(quán)值,波束形成里常用的準(zhǔn)則有4種,分別是LMS準(zhǔn)則、SINR準(zhǔn)則、最大似然比準(zhǔn)則和最小噪聲方差準(zhǔn)則。

最常用的自適應(yīng)算法是LMS算法,LMS算法因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、容易實(shí)現(xiàn)、計(jì)算量小等優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用于各種領(lǐng)域,如自適應(yīng)噪聲對(duì)消、自適應(yīng)信道均衡、自適應(yīng)波束形成等。

其中,基于LMS算法的自適應(yīng)波束形成采用的是LMS準(zhǔn)則,其算法結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 LMS自適應(yīng)波束形成算法結(jié)構(gòu)圖Fig.1 LMS adaptive beamforming algorithm structure diagram

圖1中，()代表輸入信號(hào),()代表輸出信號(hào),()代表期望信號(hào),LMS準(zhǔn)則就是通過(guò)調(diào)節(jié)各個(gè)陣元的權(quán)矢量使陣列輸出信號(hào)與期望信號(hào)的均方誤差達(dá)到最小。

梯度下降算法的權(quán)向量迭代公式如下:

(1)

(2)

由于LMS算法具有收斂速度慢,且迭代步長(zhǎng)的選擇不靈活的缺點(diǎn),本文引用文獻(xiàn)[31]提出的一種改進(jìn)的LMS算法。文獻(xiàn)[31]所提出的算法使迭代步長(zhǎng)基于對(duì)數(shù)函數(shù)進(jìn)行變化,改善了經(jīng)典LMS算法收斂速度慢且步長(zhǎng)固定的缺點(diǎn),基于對(duì)數(shù)函數(shù)變步長(zhǎng)的方式也使得該方法的計(jì)算復(fù)雜度變大了,沒(méi)有LMS那么簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn),同時(shí)還引入了參數(shù)和參數(shù),這兩個(gè)參數(shù)的選擇需要依靠經(jīng)驗(yàn),使得該方法在應(yīng)用時(shí)更加復(fù)雜。

改進(jìn)LMS算法的迭代步長(zhǎng)的更新公式如下所示:

()=lg(|()(-1)|)=lg[|(()()-())· ((-1)(-1)-(-1))|]

(3)

式中:參數(shù)和參數(shù)控制著曲線的形狀和整體數(shù)值的大小。

將式(3)代入式(2)的迭代公式中，得到基于改進(jìn)的LMS算法波束形成迭代公式:

(4)

2 新最速下降波束形成算法的推導(dǎo)

2.1 新最速下降算法

本文提出一種最速下降算法,這種新最速下降算法將高維二次凸優(yōu)化問(wèn)題降解到二維上,利用拋物線性質(zhì)采用循環(huán)迭代求解的方式求得高維凸優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解。即該方法首先將多元二次凸函數(shù)降解為一元二次函數(shù),一元二次函數(shù)是一條拋物線,利用拋物線的性質(zhì)求出拋物線的極值點(diǎn),通過(guò)循環(huán)迭代的方式使每次迭代求出的極值點(diǎn)向多元二次凸函數(shù)的極值點(diǎn)逼近,最終使結(jié)果收斂到多元二次凸函數(shù)的極值點(diǎn)。

詳細(xì)的推導(dǎo)過(guò)程如下:

假設(shè)多元二次函數(shù)的一般形式為

(5)

式中:

=++…+1+=++…+2+?=1+2+…++

一般形式中代表函數(shù)中自變量的個(gè)數(shù),代表約束方程的數(shù)量?？梢酝ㄟ^(guò)本文提出的新最速下降算法來(lái)求取函數(shù)的極值,新最速下降算法的迭代過(guò)程如下所示:

將步驟4中求出的極值點(diǎn)賦值給各個(gè)變量,進(jìn)行循環(huán)求取各個(gè)變量的極值點(diǎn),隨著迭代次數(shù)的增多,各個(gè)變量的極值點(diǎn)將越來(lái)越逼近于多元函數(shù)的極值點(diǎn)。

最終得到的迭代公式如下所示:

(6)

2.2 基于新最速下降的自適應(yīng)波束形成算法

本文提出的自適應(yīng)波束形成算法基于LMS準(zhǔn)則,LMS準(zhǔn)則是指選取合適的陣列權(quán)系數(shù)使輸出信號(hào)與期望信號(hào)之間的均方誤差最小。

陣列輸出信號(hào)與期望信號(hào)之間的均方誤差函數(shù)如下:

()=E[|()()-()|]=

(7)

式中：()代表施加在陣列上的權(quán)系數(shù)向量；E[·]代表求平均；|·|代表取模。

可以看出均方誤差函數(shù)即式(7)符合多元二次函數(shù)的一般形式,所以可以采用本文所提出的新最速下降算法求解均方誤差函數(shù)的極值點(diǎn)。

對(duì)式(7)求一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)得

(8)

(9)

令

()=()-()

(10)

將式(8)～式(10)的結(jié)果代入到式(6)中可以得到權(quán)系數(shù)的迭代公式:

(11)

綜上,本文所提出的自適應(yīng)波束形成算法的步驟可以概括如下：

設(shè)定約束方程的數(shù)量,對(duì)權(quán)系數(shù)隨機(jī)賦予初值。

采用式(11)對(duì)各個(gè)權(quán)系數(shù)變量進(jìn)行迭代計(jì)算。

進(jìn)行完一次迭代運(yùn)算之后,根據(jù)約束方程數(shù)量對(duì)迭代方程中的系數(shù)進(jìn)行更新，即對(duì)期望信號(hào)和輸入信號(hào)進(jìn)行更新,即將期望信號(hào)和輸入信號(hào)以約束方程數(shù)量為一組在所有快拍信號(hào)中向后滑動(dòng)一位,即由之前的()(=-+1,-+2,…,)和()(=-+1,-+2,…,)更新為()(=-+2,-+3,…,+1)和()(=-+2,-+3,…,+1)。

使用更新之后的系數(shù)重新進(jìn)行下一次的迭代運(yùn)算,即重新進(jìn)行步驟2。

循環(huán)執(zhí)行步驟2～步驟4,直到進(jìn)行到最后一個(gè)快拍的數(shù)據(jù),保存最后計(jì)算所得的權(quán)系數(shù)()(代表快拍數(shù))。

用()對(duì)陣列進(jìn)行加權(quán),陣列的波束形成效果達(dá)到最佳。

算法的流程圖如圖2所示。

圖2 算法流程圖Fig.2 Algorithm flow chart

3 仿真分析

使用Matlab軟件對(duì)波束形成進(jìn)行仿真模擬,仿真的場(chǎng)景如下:天線陣列是陣元數(shù)為16的均勻線陣,干擾的樣式采用壓制性寬帶噪聲干擾,目標(biāo)信號(hào)采用脈寬為10 μs、帶寬為30 MHz、中心頻率為50 MHz的線性調(diào)頻脈沖信號(hào)。在該場(chǎng)景下對(duì)算法性能進(jìn)行仿真分析,主要分析的內(nèi)容如下:新算法相對(duì)于經(jīng)典LMS算法以及文獻(xiàn)[18]中所提到的步長(zhǎng)可變、收斂速度更快的改進(jìn)LMS算法的收斂性的快慢、抗干擾能力的強(qiáng)弱、對(duì)樣本數(shù)的要求等。

3.1 收斂速度對(duì)比

仿真環(huán)境設(shè)置如下:目標(biāo)方向設(shè)置為0°,干擾方向設(shè)置為50°,令信噪比(signal to noise ratio, SNR)為0 dB、干噪比(interference to noise ratio, INR)為20 dB、快拍數(shù)=600、進(jìn)行500次蒙特卡羅仿真、LMS算法的迭代步長(zhǎng)設(shè)置為在可以保證算法收斂的情況下使算法收斂速度最快的最大允許迭代步長(zhǎng),改進(jìn)LMS算法中的=1 200,=0000 01,所提算法中的約束方程的數(shù)量=5,最終得到陣列輸出信號(hào)與期望信號(hào)之間的均方誤差與快拍數(shù)之間的關(guān)系,如圖3所示。

圖3 3種算法收斂速度對(duì)比Fig.3 Convergence speed comparison of three algorithms

從圖3中可以看出,隨著快拍數(shù)的增多,所提算法最先收斂到最小,改進(jìn)的LMS算法其次,最后是LMS算法,這說(shuō)明所提算法的收斂性相較于其他兩種算法更快,在進(jìn)行波束形成時(shí)實(shí)時(shí)性會(huì)更好。

3.2 抗干擾能力對(duì)比

由于改進(jìn)LMS算法的性能要優(yōu)于經(jīng)典LMS算法,所以以下分析將只與改進(jìn)LMS算法作對(duì)比。令改進(jìn)LMS算法的仿真環(huán)境中INR分別為10 dB、30 dB、50 dB和70 dB,令新算法的仿真環(huán)境中INR分別為50 dB、70 dB、100 dB和150 dB,其他條件均與第3.1節(jié)的環(huán)境保持一致,得到波束指向圖如圖4和圖5所示。

圖4 改進(jìn)LMS算法抗干擾能力的波束指向圖Fig.4 Beam pattern of improved LMS algorithm anti-jamming ability

圖5 所提算法抗干擾能力的波束指向圖Fig.5 Beam pattern of the proposed algorithm anti-jamming ability

從圖4中可以看出,當(dāng)INR=10 dB時(shí),改進(jìn)LMS算法可以在目標(biāo)方向形成主波束,在干擾方向處形成凹陷;當(dāng)INR=30 dB時(shí),改進(jìn)LMS算法仍然可以在目標(biāo)方向形成主波束,但是已經(jīng)無(wú)法在干擾方向形成凹陷;當(dāng)INR=50 dB時(shí),在目標(biāo)方向形成主波束,但是在干擾方向形成的波束的幅度也接近主波束的幅度,這種情況會(huì)大大降低波束形成算法的精度甚至導(dǎo)致無(wú)法工作;當(dāng)INR=70 dB時(shí),在干擾方向形成主波束,在目標(biāo)方向已經(jīng)無(wú)法形成主波束,此時(shí)的波束形成算法已經(jīng)無(wú)法正常工作。

從圖5中可以看出,隨著INR的增大,所提算法的主波束指向一直保持不變,始終指向目標(biāo)的方向,在干擾的方向始終會(huì)形成零陷,而且隨著干擾的增強(qiáng)零陷也會(huì)越來(lái)越深,對(duì)干擾的衰減越來(lái)越大，從而消除干擾的影響。

通過(guò)圖4和圖5的對(duì)比,可以看出所提算法在抗干擾方面有很大優(yōu)勢(shì)。即使INR達(dá)到150 dB,所提算法仍然可以正常工作,在目標(biāo)方向形成主波束,在干擾方向形成深度凹陷。

3.3 抗噪聲能力對(duì)比

將改進(jìn)LMS算法的仿真環(huán)境設(shè)置為INR=20 dB,快拍數(shù)=600,SNR分別設(shè)置為0 dB、-10 dB、-20 dB、-30 dB;將所提算法的仿真環(huán)境設(shè)置為INR=50 dB,快拍數(shù)=600,SNR分別設(shè)置為0 dB、-20 dB、-40 dB、-60 dB;其他設(shè)置均與第3.1節(jié)一致,得到波束指向圖如圖6和圖7所示。

圖6 改進(jìn)LMS算法抗噪聲能力的波束指向圖Fig.6 Beam pattern of improved LMS algorithm anti-noise ability

圖7 所提算法抗噪聲能力的波束指向圖Fig.7 Beam pattern of the proposed algorithm anti-noise ability

圖6是改進(jìn)LMS算法在SNR分別為0 dB、-10 dB、-20 dB、-30 dB情況下所得到的波束指向圖。從圖6中可以看出，當(dāng)SNR為0 dB時(shí),可以在干擾的方向形成凹陷,在信號(hào)方向形成主瓣;當(dāng)SNR為-10 dB和-20 dB時(shí)可以在信號(hào)方向形成主瓣,但是無(wú)法在干擾方向形成凹陷;當(dāng)信噪比為-30 dB時(shí)波束指向圖嚴(yán)重失真,已經(jīng)無(wú)法正常工作。

圖7是新算法在SNR分別為0 dB、-20 dB、-40 dB、-60 dB情況下所得到的波束指向圖。從圖7中可以看出,即使SNR下降到-60 dB時(shí),所提算法仍然可以在干擾的方向形成凹陷,在信號(hào)的方向形成主瓣,可以保持正常工作。

綜上,經(jīng)過(guò)對(duì)比可以得到結(jié)論,所提算法的抗噪聲能力比改進(jìn)LMS算法要好。

3.4 低快拍數(shù)下的性能對(duì)比

將改進(jìn)LMS算法的仿真環(huán)境設(shè)置為INR=20 dB,快拍數(shù)分別設(shè)置為100、50、30、10;將所提算法的仿真環(huán)境設(shè)置為INR=50 dB,快拍數(shù)分別設(shè)置為100、50、30、10;其他設(shè)置均與第3.1節(jié)一致,得到波束指向圖如圖8和圖9所示。

圖8 改進(jìn)LMS算法低快拍下的波束指向圖Fig.8 Beam pattern of improved LMS algorithm under low snapshot

圖9 所提算法低快拍下的波束指向圖Fig.9 Beam pattern of the proposed algorithm under low snapshot

從圖8中可以看出,改進(jìn)LMS算法在快拍數(shù)較少時(shí)已經(jīng)無(wú)法在干擾的方向形成凹陷,在快拍數(shù)為100、50的時(shí)候雖然無(wú)法在干擾方向形成凹陷,但是勉強(qiáng)可以在信號(hào)方向形成主瓣,在快拍數(shù)降到30以下時(shí),改進(jìn)LMS自適應(yīng)波束形成無(wú)法正常工作?？梢姼倪M(jìn)LMS算法在低快拍的情況下性能不是很好。

從圖9中可以看出,即使是在快拍數(shù)很少的情況下,新算法仍然可以在目標(biāo)方向形成主波束,在干擾方向形成凹陷,實(shí)現(xiàn)正常的波束形成并抑制干擾。所以所提算法具有可以在低快拍情況下工作的優(yōu)點(diǎn)。

3.5 所提算法的抗干擾性能分析

為了對(duì)所提算法的抗干擾性能進(jìn)行分析,引入干信比(interference-to-signal ratio, ISR)作為衡量指標(biāo),ISR即干擾功率與噪聲功率的比值。為了直觀地對(duì)比干擾和信號(hào)的關(guān)系,將仿真環(huán)境中噪聲功率設(shè)置為0,快拍數(shù)設(shè)置為600,波束形成器輸入的ISR設(shè)置為0～200,經(jīng)所提算法波束形成后得到輸出ISR與輸入ISR的關(guān)系,如圖10所示。

圖10 輸出ISR與輸入ISR的關(guān)系Fig.10 Relationship between output ISR and input ISR

從圖10中可以看出,當(dāng)輸入ISR小于30 dB時(shí),所提算法對(duì)輸出ISR具有較大的改善,大約能夠達(dá)到300 dB。輸入ISR由30 dB轉(zhuǎn)向40 dB時(shí),所提算法對(duì)輸出ISR的改善會(huì)急劇惡化,當(dāng)輸入ISR為40 dB時(shí),對(duì)輸出ISR的改善約為40 dB。當(dāng)輸入ISR大于40 dB時(shí),輸出ISR始終維持在0 dB左右,隨著輸入ISR的增大,對(duì)輸出ISR的改善逐漸增大,但是改善效果不如輸入ISR小于40 dB的階段。綜上,所提算法對(duì)干擾的抑制能力在輸入ISR小于40 dB時(shí)較強(qiáng),當(dāng)ISR大于40 dB時(shí)雖然仍然具有一定的抑制能力,但是抑制能力會(huì)有一定程度的下降。

接下來(lái)分析抗干擾性能與干擾信號(hào)數(shù)量的關(guān)系,將輸入ISR設(shè)置為30 dB,分別在不同方向施加1～16個(gè)相互獨(dú)立的干擾信號(hào),得到輸出ISR，如圖11所示。

圖11 輸出ISR與干擾數(shù)量的關(guān)系Fig.11 Relationship between output ISR and the number of interference

從圖11中可以看出,當(dāng)干擾源的數(shù)量少于6個(gè)時(shí),隨著干擾源數(shù)量的增加,算法對(duì)輸出ISR的改善作用逐漸減弱。當(dāng)干擾源的數(shù)量大于6個(gè)時(shí),輸出ISR逐漸趨近于0 dB,達(dá)到算法的極限。所以當(dāng)干擾源的數(shù)量較少,少于6個(gè)時(shí),算法的抗干擾性能較強(qiáng),當(dāng)干擾源數(shù)量較多時(shí),雖然算法對(duì)干擾仍有一定抑制能力,但是效果會(huì)變差。

圖12為干擾源數(shù)量分別為1、5、9、13時(shí)的波束指向圖,可以看到隨著干擾源數(shù)量的增加,在干擾方向形成的凹陷減小,即對(duì)干擾的抑制能力減弱。當(dāng)干擾的數(shù)量大于6時(shí),波束圖的旁瓣升高,在干擾方向的抑制能力減弱較為明顯,波束形成的性能變差。

圖12 干擾數(shù)量不同時(shí)波束圖對(duì)比Fig.12 Comparison of beam patterns with different interference numbers

4 結(jié) 論

經(jīng)過(guò)仿真分析可以看出，所提出的最速下降算法具有收斂速度快、結(jié)果更精確的優(yōu)點(diǎn)。將該算法用于自適應(yīng)波束形成,得到基于新最速下降法的自適應(yīng)波束形成算法，該算法具有以下特點(diǎn):收斂速度更快,具有更好的實(shí)時(shí)性;可以對(duì)抗強(qiáng)干擾,即使干擾的強(qiáng)度很高,算法都可以在干擾方向形成衰減,在目標(biāo)方向形成主瓣,保證正常工作;在低快拍數(shù)的情況下算法仍然可以正常工作,在干擾方向形成衰減,在目標(biāo)方向形成主瓣。