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      阿貝爾判別法的推廣

      2022-06-24 07:57:54杜先云任秋道
      數(shù)理化解題研究 2022年18期
      關(guān)鍵詞:阿貝爾數(shù)組級數(shù)

      杜先云 任秋道

      (1.四川省成都信息工程學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院 610225;2.四川省綿陽師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院 621000)

      1 級數(shù)收斂的判定

      目前《數(shù)學(xué)分析》與《高等數(shù)學(xué)》的教材中,給出了級數(shù)收斂與發(fā)散的定義,以及收斂級數(shù)的一些性質(zhì),判斷正項級數(shù)收斂的比較多,而判斷一般級數(shù)收斂的方法,只有柯西收斂原理,方法很少.本文給出二種判斷一般級數(shù)收斂的方法,同時推廣阿貝爾定理.

      定理1 設(shè){xn}為一個有界數(shù)列.?ε>0,存在N∈Z+,當n>N時有 |xn-xn-1|<ε,則數(shù)列{xn}收斂.

      M=max{nk+1-nk|k=1,2,3,……}<∞.(1)

      |xn-xnk0|=|xn-xn-1+xn-1-xn-2+…+xnk0+1-xnk0|≤|xn-xn-1|+|xn-1-xn-2|+…+|xnk0+1-xnk0|

      于是,|xn-a|≤|xn-xnk0|+|xnk0-a|<ε.

      根據(jù)數(shù)列收斂的定義,數(shù)列{xn}收斂.證畢.

      bn=xn-xn-1→0,(n→∞).

      利用定理1可得結(jié)論.證畢.

      |Sn|=|Sn1+Sn2+…+Snk0+(bnk0+1+bnk0+2+…+bn)|

      2 阿貝爾定理的推廣

      阿貝爾引理 設(shè)ai,bi(i=1,2,…,n)為兩組實數(shù).如果令σk=b1+b2+…+bk(k=1,2,…,n),那么有部分和公式

      證畢.

      證明因為ai(i=1,2,…,n)為單調(diào)數(shù)組,不妨{ai}為單調(diào)遞減數(shù)組,則有

      ai-ai+1≥0,i=1,2,…,n-1.

      |a1-an|≤|a1|+|an|≤2M.

      又因為|σk|≤A(1≤k≤n),所以

      ≤(a1-a2)|σ1|+(a2-a3)|σ2|+…+(an-1-an)|σn-1|+|an||σn|

      ≤(a1-a2)A+(a2-a3)A+…+(an-1-an)A+|an|A

      ≤[(a1-a2)+(a2-a3)+…+(an-1-an)]A+MA

      =(a1-an)A+MA

      ≤(|a1|+|an|)A+MA

      =2MA+MA

      =3MA.

      對于{ai}為單調(diào)遞增數(shù)組,結(jié)論類似,故結(jié)論成立.證畢.

      在數(shù)集{1,2,…,n}上作一一映射f,即f(i)=j(i=1,2,…,n),并且相應(yīng)地f(ai)=aj,f(bi)=bj(i=1,2,…,n),使得f(a1),f(a2),…,f(an)單調(diào).根據(jù)阿貝爾引理的公式(3),可得

      這是因為我們?nèi)サ艏墧?shù)前m項,不影響級數(shù)的斂散性.

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