讓學(xué)生把數(shù)學(xué)“畫”出來(lái)

蔣明玉

數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想。對(duì)大腦的科研成果表明，大腦的兩個(gè)半球具有不同的功能，左半腦功能偏重于抽象的邏輯思維，講究規(guī)范嚴(yán)謹(jǐn)，如數(shù)的運(yùn)算、代數(shù)式的運(yùn)算、邏輯推理、歸納演繹等。右半腦功能則偏重于形象思維，講究直覺想象，自由發(fā)散，如猜想、假設(shè)、創(chuàng)造等。左、右半腦的功能各有特征，如果互相補(bǔ)充就會(huì)使大腦功能更加健全和發(fā)達(dá)。數(shù)形結(jié)合就同時(shí)運(yùn)用了左、右半腦的功能，在培養(yǎng)形象思維能力時(shí)，也促進(jìn)了邏輯思維能力的發(fā)展。

一、利用數(shù)形結(jié)合思想，幫助理解算理

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，利用數(shù)形結(jié)合思想，幫助學(xué)生深刻理解算理，引導(dǎo)學(xué)生多角度地探索算理的形成過(guò)程，逐步培養(yǎng)學(xué)生利用“舊知”創(chuàng)造“新知”的能力。

案例1 利用“舊知”創(chuàng)造“新知”

在教學(xué)“整數(shù)除以分?jǐn)?shù)的計(jì)算法則”時(shí)，在復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上，教師出示例題：一輛汽車[25]小時(shí)行駛18千米，1小時(shí)行駛多少千米？教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)“速度=路程÷時(shí)間”，列出算式：18÷[25]。

師：這是整數(shù)除以分?jǐn)?shù)，請(qǐng)同學(xué)們想一想，該怎樣計(jì)算？

生：可以把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)來(lái)計(jì)算，

18÷[25]=18÷0.4=45（千米）。

生：我覺得這種方法有局限性，當(dāng)除數(shù)不能化成有限小數(shù)時(shí)，用這種方法就不能計(jì)算出正確的結(jié)果。

生：因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)除以整數(shù)（0除外），等于分?jǐn)?shù)乘以這個(gè)整數(shù)的倒數(shù)。我猜想整數(shù)除以分?jǐn)?shù)也只要用整數(shù)乘以分?jǐn)?shù)的倒數(shù)。18÷[25]=18×[52]=45（千米）。

師：這種計(jì)算方法究竟是否正確呢？下面大家一起來(lái)探究“整數(shù)除以分?jǐn)?shù)”的計(jì)算法則。

（教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意畫出如圖1的線段圖）

師：根據(jù)圖1的線段圖，你們能推算出1小時(shí)能行駛多少千米嗎？

生：從圖1中可以看出，如果把[25]小時(shí)行的千米數(shù)看作1份，那么1小時(shí)行駛的千米數(shù)應(yīng)該為18千米的[52]倍。求1小時(shí)行駛多少千米，就是求18千米的[52]倍是多少。18÷[25]=18×[52]=45（千米）。

生：[25]小時(shí)行駛18千米，就是2個(gè)[15]小時(shí)行駛18千米，可以先求出[15]小時(shí)行駛多少千米，列式為18÷2=18×[12]（千米）。又因?yàn)?小時(shí)是5個(gè)[15]小時(shí)，所以求1小時(shí)行駛多少千米是要算18×[12]×5，根據(jù)乘法結(jié)合律，可以得到：18÷[25]=18×[12]×5=18×[52]=45（千米）。

師：從上面同學(xué)們的回答可以看出，整數(shù)除以分?jǐn)?shù)只要怎樣計(jì)算就可以了？

生（異口同聲）：整數(shù)除以分?jǐn)?shù)，等于整數(shù)乘以這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)。

（正當(dāng)教師準(zhǔn)備組織學(xué)生練習(xí)時(shí)，一個(gè)學(xué)生發(fā)現(xiàn)新的方法）

生：老師，我利用商不變性質(zhì)，同樣可以推出整數(shù)除以分?jǐn)?shù)計(jì)算方法：18÷[25]=（18×[52]）÷（[25]×[52]）=18×[52]。

上述教學(xué)過(guò)程，學(xué)生的思維形式可以分成三個(gè)層次。第一層次是直覺思維形式，即由“因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)除以整數(shù)（0除外），等于分?jǐn)?shù)乘以這個(gè)整數(shù)的倒數(shù)。從而猜想整數(shù)除以分?jǐn)?shù)也只要用整數(shù)乘以分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，18÷[25]=18×[52]=45（千米）。第二層次是形象思維形式，教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意畫出線段圖，從而使學(xué)生借助直觀圖形展開思考，從整體上理解18÷[25]=18×[52]=45（千米），使學(xué)生經(jīng)歷了多種思考策略的比較與溝通，培養(yǎng)了學(xué)生的形象思維能力。第三層次是邏輯思維形式，由一個(gè)學(xué)生聯(lián)想已學(xué)過(guò)的“商不變的性質(zhì)”推導(dǎo)出18÷[25]=（18×[52]）÷（[25]×[52]）=18×[52]。這是一種邏輯思維形式，是學(xué)生利用“舊知”學(xué)習(xí)“新知”的表現(xiàn)。

二、利用數(shù)形結(jié)合思想，探索數(shù)學(xué)規(guī)律

借助“形”的生動(dòng)和直觀性認(rèn)識(shí)“數(shù)”是數(shù)形結(jié)合的重要方法之一。學(xué)生在生動(dòng)有趣的活動(dòng)中觀察、尋找圖形的特點(diǎn)，結(jié)合圖形從不同的角度觀察得出不同的數(shù)學(xué)規(guī)律。教師可以通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想，訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)直覺思維能力、發(fā)散思維能力和創(chuàng)造性思維能力。

案例2 找規(guī)律

如圖2，教師依次出示圖中的右邊部分，分別說(shuō)說(shuō)是由幾個(gè)小圓點(diǎn)組成的。想象一下，第4幅圖會(huì)是什么樣子的？一共有多少個(gè)圓點(diǎn)？

師：通過(guò)剛才的觀察，我們發(fā)現(xiàn)每幅圖的圓點(diǎn)總數(shù)都可以看作是兩個(gè)相同的數(shù)相乘的積，這些算式還可以用平方數(shù)的形式來(lái)表示。那剛才我們是怎樣觀察的？

生：橫著觀察的。

師：如果我們換個(gè)角度觀察，直接出示“ ”劃分的部分（圖2中左邊）。求每幅圖的圓點(diǎn)總數(shù)又可以列成怎樣的算式？

師：這些式子也是表示每幅圖圓點(diǎn)的總數(shù)，和剛才的算式是否相等？

（板書：1+3=22 ，1+3+5=32，1+3+5+7=42）

生：從1起連續(xù)奇數(shù)的和等于奇數(shù)個(gè)數(shù)的平方。

生：從1起連續(xù)n個(gè)奇數(shù)的和等于n的平方（n2）。

師：如圖3，老師出示3個(gè)算式：2+4、2+4+6、2+4+6+8。你們能在圖中畫一畫、分一分，使每幅圖的圓點(diǎn)總數(shù)能用右邊的式子來(lái)表示嗎？

（學(xué)生在圖3左邊一列中獨(dú)立劃分后反饋）

師：如果換個(gè)角度再觀察這組圖（圖3），你還能用什么式子來(lái)表示每幅圖的圓點(diǎn)總數(shù)？在右邊一列圖中分一分，并用算式表示。

生：從2起連續(xù)n個(gè)偶數(shù)的和等于n乘以比n大1的數(shù)，即n×（n+1）。

生：從2起連續(xù)n個(gè)偶數(shù)的和等于n的平方加n，即（n2+n）。

史寧中教授說(shuō)：“數(shù)學(xué)教學(xué)要培養(yǎng)數(shù)學(xué)直觀，數(shù)學(xué)的直觀是‘看’出來(lái)的，不是‘證’出來(lái)的?！崩脭?shù)形結(jié)合思想來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀是很重要的。數(shù)形結(jié)合方法是借助“形”的生動(dòng)和直觀認(rèn)識(shí)“數(shù)”，通過(guò)觀察前3幅圖，學(xué)生從整體上觀察圖形的圓點(diǎn)排列特點(diǎn);然后，想象一下第4幅圖會(huì)是什么樣子的。一共有多少個(gè)圓點(diǎn)？進(jìn)而作出大膽的猜想、合理的假設(shè)，并得出試探性的結(jié)論，訓(xùn)練了學(xué)生數(shù)學(xué)直覺思維能力。教師引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)而有效地觀察圖形，培養(yǎng)學(xué)生從圖中讀懂重要信息并整理信息的能力，讓學(xué)生體會(huì)圖形對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律形成的意義。教師應(yīng)讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、歸納、類比、猜測(cè)等過(guò)程，發(fā)展合情推理能力，初步感受圖形的美和推理的價(jià)值。

三、利用數(shù)形結(jié)合思想，巧妙解決問題

在分析、解答問題時(shí)，常常需要根據(jù)題目把題意“畫”出來(lái)，啟發(fā)我們?nèi)娣治鰡栴}，便于從不同角度去看圖與思考，巧妙地解決問題。

案例3 創(chuàng)新解法

甲、乙兩個(gè)容器共有溶液2600克，從甲容器中取出[14]，從乙容器中取出[15]，兩個(gè)容器共剩溶液2000克，求兩個(gè)容器原來(lái)各有溶液多少克？

此題可以引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想，畫線段示意圖進(jìn)行分析，根據(jù)題意：從甲容器中取出[14]，從乙容器中取出[15]，兩個(gè)容器共剩溶液2000克，可以知道甲容器的[14]+乙容器的[15]=2600-2000=600（克），圖中有4個(gè)600克，學(xué)生很容易看出乙容器的[15]=200克。

列式為：4×600=2400（克），求出4組（甲容器的[14]和乙容器的[15]）的和，由2600-2400=200（克），求出乙容器的[15]等于200克。由200×5=1000（克），求出乙容器有溶液1000克。由2600-1000=1600（克），求出甲容器有溶液1600克。

小學(xué)生的思維是從具象思維逐步向抽象邏輯思維過(guò)渡，但這時(shí)的邏輯思維處于初級(jí)階段的。教師利用數(shù)形結(jié)合思想，將學(xué)生的思維逐步引向深入，“變”中找“不變”，巧妙解決問題。把形象思維與抽象思維有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，能夠有的放矢地幫助學(xué)生多角度、多層次地思考問題，有助于學(xué)生養(yǎng)成多向性思維的好習(xí)慣。

（作者單位：江蘇省丹陽(yáng)市華南實(shí)驗(yàn)學(xué)校東校區(qū)）