電容驅動型多級感應線圈炮模型簡化

郭燈華， 史鐸林， 關曉存， 管少華， 吳彪

(海軍工程大學 艦船綜合電力技術國防科技重點實驗室，湖北 武漢 430033)

0 引 言

電磁發(fā)射裝置將電能轉化為機械動能，利用電磁力推動彈丸加速[1]，提高了炮彈的出口速度，在新型武器系統(tǒng)研究中擁有重要地位。電磁炮按照結構不同分為軌道炮、線圈炮、重接炮[2-3]，其中感應線圈炮結構簡單、設計靈活[4]，通過驅動線圈與電樞之間的電磁力實現(xiàn)炮彈加速，發(fā)射過程中電樞與驅動線圈之間無物理接觸，且可控性強，不僅在武器系統(tǒng)中有廣泛應用，還在航天、航空領域擁有廣闊的發(fā)展前景[5-8]。

精確的感應線圈炮的控制模型十分重要，雖然感應線圈炮的結構簡單，但是發(fā)射過程中的線圈與電樞的耦合使得線圈炮的數(shù)學模型復雜。在國內(nèi)外線圈炮的研究中，都是通過不斷地精確其模型來提升其發(fā)射效果。早在20世紀90年代，Sandia國家實驗室開發(fā)的WRAP-10[9]、SLINGSHOT[10]以及CEM大學的Axi-coil[11-12]程序建立了同步線圈炮的動態(tài)模型仿真以檢驗發(fā)射器的性能。除此之外，針對動態(tài)過程中各種可能影響發(fā)射性能的因素，也有諸多相關模型仿真研究。文獻[13]考慮線圈發(fā)射裝置中電樞結構受徑向磁場力的影響，建立了完整的磁流體力學模型，并以此計算出最優(yōu)的電樞結構，實現(xiàn)了在高能量下使電樞形變最小。文獻[14]針對電樞捕獲效應的數(shù)學模型做定量分析，在模型中通過改變驅動線圈參數(shù)來減小電樞的捕獲效應，使發(fā)射效果最優(yōu)。文獻[15]通過在驅動線圈中放置檢測裝置來評估線圈強度，通過測試與評估改進驅動線圈的結構。文獻[16]設計了一種非對稱的驅動線圈模型，為每一級線圈單獨設計結構以獲取更好的結果。

由于趨膚效應的影響，感應電流在電樞中的分布是不均勻的，電流絲法將電樞分為若干電流環(huán)，當細分足夠小時可以假設每個環(huán)上的電流是均勻的,以此來精確細化模型[17]。運動過程中,電樞受到的電磁力與電樞和驅動線圈間的互感梯度成正比,在建立的模型中,互感梯度需要得知運動中不同位置各電流環(huán)與驅動線圈的互感[18]，可以通過有限元軟件的靜態(tài)模型中計算，也可以通過互感計算手冊來查表計算[19]。相關研究對基于電流絲法建立模型已經(jīng)有了比較成熟的方法，但是對于過程中未觸發(fā)的驅動線圈，必然會受到之前觸發(fā)線圈的影響[20]。回路中功率開關器件的存在使放電過程非線性化。觸發(fā)與未觸發(fā)的驅動線圈要做分開處理，不僅增加了模型復雜程度，而且計算時容易出現(xiàn)錯誤，模型要求高。

本文將基于電流絲法建立動態(tài)過程的完整模型，用開關函數(shù)以及虛擬大電阻等效驅動線圈回路晶閘管以及二極管的工作狀態(tài)，整合已觸發(fā)和未觸發(fā)的驅動線圈模型，簡化電路的數(shù)學模型。研究線圈的最佳觸發(fā)策略，并利用MATLAB/Simulink建立線圈炮的路模型，電流絲與驅動線圈互感通過Ansys有限元仿真軟件計算獲得，將結果導入到Simulink模型中，減少路模型實時計算工作量，提升仿真速度，將結果與有限元仿真結果進行比較，并在實驗平臺進行實驗，驗證模型的正確性。

1 電流絲法原理

1.1 線圈炮模型

為了簡化線圈炮的分析，作如下假設：

1)線圈是理想圓且所有線圈同軸；

2)電樞是理想圓柱筒，各處電導率和密度相同；

3)電樞位于線圈中心位置，且與線圈同軸；

4)忽略線圈外部弱導磁材料的影響。

基于線圈炮的軸對稱性，采用電流絲(current filament method，CFM)以電阻、自感、互感、電感梯度、電壓等位參數(shù)，將三維問題簡化為二維問題，建立線圈炮的電磁路方程。

電流絲法模型如圖1所示，由于電樞電流沿軸向分布，若將電樞劃分為m個同心圓環(huán)，則當圓環(huán)截面足夠小時，可以認為感應電流在截面上均勻分布，即用m個“電流絲”來等效電樞感應電流。這樣，線圈炮路方程可以表示為變系數(shù)常微分方程。

圖1 線圈炮電流絲法示意圖

線圈通常采用litz線繞成多匝結構，匝間彼此絕緣，可以忽略線圈導線渦流，因此，單個線圈中每匝激勵電流相等。假設激勵線圈有n級，根據(jù)基爾霍夫電壓定律，可以將電壓方程用矩陣形式表示為：

(1)

式中：Us表示線圈斷開電壓，是n維向量；φs表示線圈磁鏈，是n維向量；Rs表示線圈電阻，是n×n矩陣；Is是線圈電流，n維向量；φr是電樞環(huán)磁鏈，m維向量；Rr是電樞環(huán)電阻，m×m矩陣；Ir是電樞環(huán)電流，m維向量。

磁鏈方程為：

(2)

式中：Ls是線圈電感矩陣，n×n矩陣；M是線圈和電樞環(huán)互感矩陣，n×m矩陣；Lr是線圈電感矩陣，m×m矩陣。

電樞受到的電磁推力方程為

(3)

式中dM/dz表示沿電樞發(fā)射方向——軸向的互感梯度矩陣，是n×m維矩陣。

運動方程為：

(4)

式中：m是發(fā)射體質(zhì)量；v是電樞速度；z是電樞位置。

1.2 電容驅動型電流絲法

電容通過高功率充電機恒流充電模式[21]，連接晶閘管、二極管以及負載組成脈沖形成網(wǎng)絡[22]。電容驅動型線圈炮電路如圖2所示，當晶閘管觸發(fā)時，電容向線圈釋放電壓，當電容電壓釋放至0，線圈電流再通過二極管支路續(xù)流，二極管支路串聯(lián)電阻可以減小續(xù)流時間，降低晶閘管和二極管損耗。

圖2 電容驅動型線圈炮電路圖

由于晶閘管和二極管的存在，造成供電回路的非線性，使得電流絲法建立的線圈回路方程復雜，分晶閘管觸發(fā)前和觸發(fā)后兩種情況。

根據(jù)式(1)和式(2)，晶閘管觸發(fā)前第i級線圈的回路方程為：

(5)

式中：usi和isi是第i級線圈電壓和電流；Mi1，Mi2,…,Mim是互感矩陣第i行。

晶閘管觸發(fā)后，第i級線圈的回路方程為

(6)

式中rs是線圈電阻。

電樞電流方程為

(7)

晶閘管觸發(fā)后，電容放電分兩個階段，第一階段通過電容向線圈放電，如圖3所示。

圖3 電容放電電路圖

電容放電回路方程為：

(8)

式中：C是電容值；uci和ici是第i級電容電壓和電流；idi是二極管支路電流。

當電容電壓降為0后，電容放電轉入第二階段二級管續(xù)流階段，如圖4所示。

圖4 二極管續(xù)流電路圖

續(xù)流回路方程為：

(9)

式中rd是二極管支路電阻。

一般來說，多級線圈炮是按順序逐級觸發(fā)供電的，設第1～k級線圈已觸發(fā)供電，第k+1～n級線圈未供電，匯總前面的分析，此時線圈炮回路方程用矩陣形式表示為：

(10)

(11)

式中：v是電樞運動速度；下標1_k表示向量或矩陣取對應元素1,2,3,…,k；下標k+1_n表示向量或矩陣取對應元素k+1,k+2,…,n，例如Mk+1_n是(n-k)×m矩陣，形式為

2 改進型電流絲法

2.1 等效電阻法

原有電流絲法應用在電容驅動型線圈炮時，由于半控器件引入非線性，增加了分析困難。由式(9)所描述的回路方程可知，需要根據(jù)觸發(fā)情況，對n級線圈進行分段處理，已觸發(fā)的k級線圈和未觸發(fā)的n-k級線圈要采用不同的微分方程組。

為了解決這種情況，在線圈回路引入虛擬大電阻，如圖5所示。若晶閘管未觸發(fā)，則線圈支路串入大電阻；觸發(fā)后，大電阻變?yōu)?。

圖5 等效電阻放電電路

加入虛擬大電阻后，式(10)可以寫為

(12)

式中Req1_k是k×k對角矩陣，元素是req。當req足夠大時，Is近似相等為0，式(12)和式(11)具有相同形式，因此，將觸發(fā)與未觸發(fā)狀態(tài)線圈回路方程整合列寫為

(reqS+Rs)Is。

(13)

式中：req是虛擬大電阻，根據(jù)正常工況，電容儲存電壓值為6 000 V，若要使虛擬大電阻等效關斷時的晶閘管，需要考慮使其留過電流與該工況下的漏電流近似相等，已知晶閘管的漏電流一般小于10 mA，那么根據(jù)計算，虛擬大電阻的阻值可以是1 MΩ；S是開關對角矩陣，S=diag[0,0,…,0,1,1,…,1]，前k個對角元素是0，后n-k個對角元素是1，表示前k級線圈觸發(fā)，而后n-k級線圈未觸發(fā)。這樣，結合電樞方程，整個線圈炮改進電流絲法回路方程可以寫為

(14)

引入虛擬大電阻后，線圈炮路方程不必采用分段微分方程組形式，可采用統(tǒng)一形式，大大簡化分析計算。

相應地，電容放電回路也可以處理更簡單，不需要考慮本級是否觸發(fā)導通，直接采用式(8)和式(9)計算電容電壓，當回路存在大電阻時，計算出的放電電流近似為0，可以等效認為本級未觸發(fā)。

2.2 系數(shù)分析

分析式(13)，由于各線圈之間相對位置不變，電樞電流絲之間相對位置也不變，因此，Ls、Lr是定常矩陣，Rs、Rr也是定常矩陣。而M、dM/dz是變系數(shù)矩陣，是線圈和電樞之間相對距離的函數(shù)，電流絲與線圈的互感關系如圖6所示。

圖6 電流絲自感互感矩陣示意圖

由于M、dM/dz矩陣是隨電樞位置z變化的系數(shù)，使得式(14)是變系數(shù)微分方程，對其求解比較費時。對式(14)進行變換，令：

傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)植保工作的開展，以大型機械、人工操作為主導，前者具有作業(yè)效率高的特點，但卻存在設備成本高的缺陷；后者呈現(xiàn)耗時長、人力資源多的問題［2］。而在無人機技術的衍生下，植保無人機的使用改變了傳統(tǒng)植保模式，使植保工作更具快速性、高效性。植保無人機的優(yōu)點具體如下。

(15)

則式(13)可以寫為

(16)

2.3 觸發(fā)控制

電容驅動的線圈在晶閘管觸發(fā)后，由于線圈時間常數(shù)較大，電流上升存在一定時間，當電樞速度較高時，上升時間內(nèi)電樞會運動較長距離，而線圈和電樞耦合出力范圍較短，因此，需要考慮電流上升時間和電樞運動速度。

該觸發(fā)方式是在電樞運動至耦合出力點較大位置前，提前觸發(fā)線圈，當線圈電流達到最大時，電樞恰好運動到耦合出力點，使電樞推力達到最大。

觸發(fā)方式示意圖如圖7所示，觸發(fā)時刻電樞位置是z，第i級線圈和電樞最佳耦合位置是Zsi，電樞速度是v，線圈電流上升時間是Tr。則第i級線圈觸發(fā)在滿足下式關系時，可獲得較優(yōu)觸發(fā)效果，有

圖7 觸發(fā)方式示意圖

(17)

式中Si是第i級線圈的晶閘管觸發(fā)信號。在模型中，當某級線圈滿足式(17)的觸發(fā)條件，S矩陣中相對應的一位由1變?yōu)?，即從大電阻變成0。

3 仿真分析

采用前面分析方法，在MATLAB/Simulink中搭建電容驅動型多級感應線圈炮仿真程序，模型框圖如圖8所示。模型將脈沖回路中的晶閘管等效替換為大電阻Req，使用SFUNCITON模塊建立其數(shù)學模型，計算出電樞運動的電磁推力，使用Simulink中的積分函數(shù)得到電樞的速度與位移量，經(jīng)過觸發(fā)策略單元，輸出虛擬電阻的S矩陣，構成了完整的系統(tǒng)仿真模型。

圖8 線圈炮仿真模型

線圈炮系統(tǒng)的參數(shù)如表1所示。

表1 線圈炮系統(tǒng)參數(shù)

采用有限元法提取電流絲法仿真所需的靜態(tài)參數(shù)，按表1參數(shù)，n=5、m=72,Ls是5×5矩陣，采用Ansys計算線圈自感和線圈之間互感，線圈自感為220 μH，相鄰線圈之間互感為75 μH，隔1個線圈之間互感為31 μH，隔2個線圈之間互感為15 μH，隔3個線圈之間互感為8.9 μH。

同理，Lr是72×72矩陣，由于參數(shù)較多，這里不再寫出，電流環(huán)軸向互感曲線如圖9所示。

圖9 電樞互感曲線

計算單個電流環(huán)與單個線圈之間的互感和互感梯度曲線如圖10所示，其中，將線圈徑向從外到內(nèi)劃分為4層計算。

圖10 電樞電流環(huán)與線圈的互感與互感梯度曲線

當電樞電流環(huán)和線圈之間軸向距離超過200 mm后，互感和互感梯度可以忽略不計。

5級線圈總長度是400 mm，線圈長度80 mm，單個線圈耦合范圍在(-300,300)mm，因此線圈和電樞的互感和互感梯度矩陣只需考慮相對距離值(-380,430)mm時對應的互感及互感梯度值，將有限元中的互感結果導入到MATLAB數(shù)學模型中，直接利用矩陣進行計算，大幅減少了計算量，提升了計算速度。對整個發(fā)射過程進行仿真，并在MAXWELL有限元仿真軟件中建立同樣的場路耦合模型進行比較。采用式(15)改進電流絲法進行計算，觸發(fā)控制策略采用式(16)，根據(jù)現(xiàn)有裝置的轉換效率，預期出口速度在70 m/s。最終得到的仿真結果如圖11和圖12所示。

圖11 各級線圈電流曲線

圖12 電樞速度曲線

對有限元仿真模型與Simulink模型進行比較，設置相同的目標時間，Simulink模型比有限元模型仿真速度快50%。且通過仿真可以看出，脈沖回路放電過程按照逐級放電的順序正常放電，有限元模型與Simulink模型的各級放電曲線的上升沿吻合度高，3、4、5級觸發(fā)時刻有細微差別，說明兩個模型中的電樞運動不是完全一致的，從圖12中也可以看出，兩個模型的速度曲線存在3%的誤差，經(jīng)分析，由于在Simulink中的電樞環(huán)以及線圈參數(shù)都是固定的，其中電樞的電阻不能像有限元精細剖分，趨膚效應考慮得并不充分，所以電流曲線在下降階段會出現(xiàn)較大誤差。最終仿真的出口速度達到了71 m/s，仿真結果達到了預期分析的速度。

4 實 驗

通過圖13所示的五級線圈發(fā)射裝置實驗平臺對仿真模型進行驗證。

圖13 五級線圈發(fā)射裝置實驗平臺

在額定電壓下的各級放電電流曲線如圖14所示，并與有限元放電結果進行比較?？梢钥闯?，實際放電曲線與仿真相比，上升沿出現(xiàn)較大誤差，經(jīng)分析是由于模型中的線圈參數(shù)是根據(jù)有限元中仿真計算得到，與實際線圈存在偏差，下降沿吻合度相較于兩個模型之間的吻合度較好。這說明有限元模型中的模型具有更好的參考意義，Simulink模型中存在誤差。

圖14 實驗平臺五級電流放電曲線

采用光電傳感器在出口測算速度，最終的速度為65 m/s，與仿真結果相差7%，存在一定誤差，是由于電流曲線決定了電樞運動受力，相對于仿真模型，實際電樞受力較小。

5 結 論

通過對多級感應線圈炮的電路方程以及運動方程進行分析，對模型進行了簡化，并在Simulink中搭建模型驗證簡化方法，結合實驗進行比較，得到以下結論：

1)探討了電容驅動型多級感應線圈炮的電流絲模型。引入等效大電阻使其合并為一個方程組，簡化了模型，優(yōu)化了模型計算中的非線性過程，使其利于分析和仿真計算。同時將模型中互感矩陣部分做成查表形式，避免了整體計算求逆出錯的問題。與有限元計算方法相比提升了計算速度。

2)將Simulink模型與有限元模型進行比較。其中，放電電流的吻合度不高，經(jīng)分析原因為兩種模型剖分方法不一致，導致電流曲線出現(xiàn)誤差，但是在連續(xù)脈沖形成的電樞受力曲線中，主要的影響因素是電流上升沿，所以兩個模型的運動曲線存在較小誤差。

3)通過五級線圈發(fā)射實驗平臺驗證了模型的正確性，結果存在一定誤差，但該模型對于電樞的運動分析具有一定的參考性，為之后系統(tǒng)提高性能、尋找最優(yōu)觸發(fā)策略提供了新的模型參考。