基于混合整數(shù)規(guī)劃的P型玩具生產(chǎn)線平衡優(yōu)化*

張萃珠，李志滔，余秋萍，趙 瑩，何演銘，龍建宇，洪 穎

（東莞理工學(xué)院機械工程學(xué)院，廣東東莞 523808）

0 引言

隨著改革開放的不斷深入，我國將繼續(xù)加大制造業(yè)的發(fā)展，抓住全球經(jīng)濟一體化的機遇，不斷從國外學(xué)習(xí)和引進先進的生產(chǎn)技術(shù)和生產(chǎn)體系，逐步完善和增強國內(nèi)的制造業(yè)水平[1]。近些年來，隨著電子信息技術(shù)的快速應(yīng)用，在保證質(zhì)量的同時，產(chǎn)品的生產(chǎn)成本隨之升高，導(dǎo)致產(chǎn)品銷售價格過高，以致國內(nèi)市場訂單量過少，所以企業(yè)想要提高國內(nèi)訂單量就必須降低生產(chǎn)成本。生產(chǎn)成本的降低離不開生產(chǎn)線效率的提高，生產(chǎn)線的平衡率、生產(chǎn)線節(jié)拍、瓶頸工序、生產(chǎn)線的生產(chǎn)布局等會影響生產(chǎn)線的效率[2]，因此，對生產(chǎn)線的平衡優(yōu)化是解決生產(chǎn)線問題的重要任務(wù)。

為解決生產(chǎn)線問題，許多學(xué)者對生產(chǎn)線的優(yōu)化改善做了不少研究，葛曉梅等[3]運用以生產(chǎn)線節(jié)拍為準(zhǔn)則的啟發(fā)式算法對家具裝配線進行了平衡與優(yōu)化，提高了裝配線的平衡率。李柯[4]運用0-1整數(shù)規(guī)劃的方法，根據(jù)生產(chǎn)現(xiàn)場狀況建立數(shù)學(xué)模型，通過計算機編程求得最優(yōu)解,對H 公司的生產(chǎn)線平衡率進行了優(yōu)化，得到了最優(yōu)作業(yè)分配方案。程丙警[5]對X公司Z型產(chǎn)品的生產(chǎn)線平衡問題進行優(yōu)化，優(yōu)化后的生產(chǎn)線各項指標(biāo)都得到了一定的改善。王崇果[6]使用啟發(fā)式算法對M 公司服務(wù)器產(chǎn)品生產(chǎn)線平衡問題進行改善優(yōu)化，取得了比較明顯的改善效果。李險峰[7]提出改進遺傳算法，分析汽車裝配生產(chǎn)線平衡問題，克服了傳統(tǒng)遺傳算法的應(yīng)用約束。楊廣強[8]在運用ILOG OPL的基礎(chǔ)上對傳輸網(wǎng)資源使用能效進行優(yōu)化分析，得到了優(yōu)化的業(yè)務(wù)配置路由和規(guī)模。郭繼東等[9]根據(jù)0-1 整數(shù)規(guī)劃模型和Lingo 軟件算出的工序排序，得到最優(yōu)的生產(chǎn)節(jié)拍和平衡率，并重新規(guī)劃了實木A 廠1號車間的布局。上述文獻雖然都是對生產(chǎn)線進行平衡優(yōu)化，但沒有涉及到實際情況下的工序與工作站之間相互約束、半成品物流的約束等，因而在平衡優(yōu)化生產(chǎn)線過程存在一定問題。

本文以W 公司的P 型電子教育智能玩具（簡稱P 型玩具）生產(chǎn)線為研究對象，從P 型玩具生產(chǎn)線實際情況及所遇到的問題出發(fā)，綜合考慮半成品的相互傳遞、工序的優(yōu)先關(guān)系、設(shè)備占用面積以及作業(yè)者的工作習(xí)慣等因素，結(jié)合大多數(shù)工序需依附在面殼上加工的特點，以及運籌學(xué)的相關(guān)優(yōu)化理論知識和生產(chǎn)車間的生產(chǎn)狀況，運用數(shù)學(xué)規(guī)劃法對生產(chǎn)線的作業(yè)分配問題建立以最小化生產(chǎn)線節(jié)拍為目標(biāo)的混合整數(shù)規(guī)劃模型，通過ILOGOPL優(yōu)化軟件對模型進行編程求解，得到有效提高生產(chǎn)線平衡率和均衡分配作業(yè)的解決方案。

1 W公司P型玩具生產(chǎn)線現(xiàn)狀分析

隨著制造技術(shù)的不斷升級更新，在保證質(zhì)量的同時，產(chǎn)品的生產(chǎn)成本也隨之升高。如何降低生產(chǎn)成本、獲得更大利潤和更多訂單量是W 公司迫切需要解決的問題。該廠是典型的制造型企業(yè)，主要生產(chǎn)小批量多品種型的產(chǎn)品，同時存在著工藝路線不合理、作業(yè)分配不均衡、現(xiàn)場各種浪費等問題，導(dǎo)致人員和設(shè)備利用率低、人均產(chǎn)出不高，影響生產(chǎn)線效率的提高。該廠主要生產(chǎn)電子教育智能玩具等產(chǎn)品，本文選擇了具有代表性的P型玩具作為研究對象，該產(chǎn)品的訂單量是W 公司某一生產(chǎn)樓層客戶訂單量最大的訂單之一，代表性高。通過秒表時間研究法對該產(chǎn)品各工序進行測時，得到每道工序的觀測時間，再對每個工作者進行作業(yè)評定，取寬放率為10%，最后得到完成一件產(chǎn)品時每道工序的標(biāo)準(zhǔn)時間，其工序的相關(guān)數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 工序的相關(guān)數(shù)據(jù)

P 型玩具工序繁多，作業(yè)復(fù)雜，所有作業(yè)由人工及部分小型半自動化設(shè)備共同完成。在整個生產(chǎn)工藝中，工序的加工和組裝主要集中在面殼這個材料上，在其它材料上加工的不多。根據(jù)工藝結(jié)構(gòu)及裝配順序，該玩具的工藝程序如圖1所示。

圖1 工藝程序

本文主要研究P 型玩具生產(chǎn)線中的產(chǎn)品組裝、測試到包裝的工藝流程，根據(jù)P 型玩具的生產(chǎn)工藝和現(xiàn)場調(diào)研后繪制該產(chǎn)品優(yōu)化前的生產(chǎn)線工位布局，如圖2所示。從圖中可以看出，該生產(chǎn)線布局呈現(xiàn)“E”字形，整條生產(chǎn)線采用手工傳遞的方式傳遞半成品。產(chǎn)品的組裝、測試到包裝都是在生產(chǎn)線上完成，工作站5為測試產(chǎn)品，工作站6主要為產(chǎn)品的外觀檢查，工作站9、10、11、12為產(chǎn)品的包裝，其余的工作站為產(chǎn)品的組裝。

圖2 優(yōu)化前工位布局

通過表1得知，優(yōu)化前P型玩具的作業(yè)內(nèi)容分配到13個工作站，完成一件產(chǎn)品需要397.34 s。工作時間最長的工作站是工作站3，即是瓶頸工位，作業(yè)內(nèi)容為“組裝筆、畫板、擦除條”，用時44.01 s，因此，生產(chǎn)線節(jié)拍為44.01 s。

生產(chǎn)線平衡率R以及生產(chǎn)線平滑系數(shù)SF的計算方法分別如式（1）和式（2）所示：

式中：Ti為第i個工作站時間；N為生產(chǎn)線工作站總個數(shù)；CTmax為工作時間最長的工作站時間。

根據(jù)現(xiàn)場收集的生產(chǎn)數(shù)據(jù)，計算優(yōu)化前生產(chǎn)線平衡率Rb以及生產(chǎn)線平滑系數(shù)SFb：

根據(jù)數(shù)據(jù)分析，可以發(fā)現(xiàn)問題：（1）P 型玩具的作業(yè)內(nèi)容繁多，不同工作站之間的時間差距較大，生產(chǎn)線中的工序分配不均衡，造成部分人員忙閑不均；（2）有部分小零件物流需要進行無價值的跨工位傳遞的搬運動作，這種搬運方式需要工作者離開座位走動傳遞，不利于工作者持續(xù)作業(yè)；（3） P 型玩具生產(chǎn)線平衡率為69.45%屬于低水平狀態(tài)，生產(chǎn)流程不順暢，作業(yè)內(nèi)容分配不合理，影響生產(chǎn)效率提高。

2 P型玩具平衡優(yōu)化數(shù)學(xué)規(guī)劃模型建立

P 型玩具生產(chǎn)線屬于單元化生產(chǎn)[10]，并且工位之間的半成品可以相互傳遞。因此，綜合考慮半成品的相互傳遞、工序的優(yōu)先關(guān)系、設(shè)備占用面積以及作業(yè)者的工作習(xí)慣等因素，結(jié)合大多數(shù)工序在面殼上加工的特點，建立混合整數(shù)規(guī)劃模型的思路如下：以最小化生產(chǎn)線節(jié)拍為目標(biāo)，先對工序進行基本約束，然后對不可獨立加工的工序（即必須依附在面殼上加工的工序）進行優(yōu)先關(guān)系約束，剩下可獨立加工的工序（即不須依附在面殼上加工的工序）通過建立工序之間相互關(guān)系等方面的約束被安排到其緊后工序同一個或相鄰的工作站上，最后再對所有工序進行工作地和設(shè)備等方面的約束，從而使得面殼的傳遞成為生產(chǎn)線主物流的方向。

2.1 問題描述

本文將建立針對P 型玩具的第二類生產(chǎn)線平衡問題的混合整數(shù)規(guī)劃模型，即在工作站數(shù)量確定的情況下，將作業(yè)內(nèi)容重新分配，使得生產(chǎn)線節(jié)拍最小。生產(chǎn)線占地面積、布局形狀、所使用的設(shè)備等不變，在規(guī)劃過程中需要考慮設(shè)備的占用面積、半成品傳遞的便捷性、使用工具的沖突性等因素。在這種單元化的生產(chǎn)線中[11]，半成品可以在相鄰工位傳遞，但盡量取消跨工位傳遞。

2.2 參數(shù)定義

模型建立過程中相關(guān)參數(shù)的定義：Ti為第i道工序的標(biāo)準(zhǔn)作業(yè)時間；N為工序的數(shù)量；J為工作站的數(shù)量；SMi為第i道工序需用到自動螺絲機的數(shù)量；SDi為第i道工序需用到電批的數(shù)量；SIi為第i道工序需用到烙鐵的數(shù)量；M為一個很大的數(shù)；Precedences為工序的優(yōu)先關(guān)系集合，Precedences=(a，b)表示工序a不能安排在工序b所在工作站的后面來完成；Locations為某工序必須安排在某工作站的集合，Locations=(a，b)表示工序a必須安排在工作站b；Togethers為兩道工序必須在同一個工作站的集合，Togethers=(a，b)表示工序a和工序b必須在同一個工作站；Nearbys為兩道工序必須在同一個或者相鄰工作站的集合，Nearbys=(a，b)表示工序a和工序b在同一個或者相鄰工作站；Nearbysindexs為Nearbys中的兩道工序與工作站的集合，Nearbysindexs=(a，b，j)表示工序a、b是否分配在工作站j內(nèi)或相鄰的工作站的集合。

2.3 建立混合整數(shù)規(guī)劃模型

混合整數(shù)規(guī)劃模型（Mixed Integer Programming，MIP）是指在線性規(guī)劃問題中要求決策變量有部分必須取整數(shù)值，另一部分可以不取整數(shù)值的整數(shù)最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，具有3 個要素：決策變量、約束條件、目標(biāo)函數(shù)[10]。

2.3.1 定義決策變量

CTmax為非負實數(shù)，表示生產(chǎn)線節(jié)拍，xij為0-1 變量則有：

yabj為0-1變量(a,b,j∈Nearbysindexs)，則有：

2.3.2 定義目標(biāo)函數(shù)MinimizeCTmax

目標(biāo)函數(shù)使得生產(chǎn)線的節(jié)拍最小化，即該生產(chǎn)線瓶頸工位的標(biāo)準(zhǔn)作業(yè)時間盡可能小，最終使得生產(chǎn)線平衡率最大。

2.3.3 約束條件

（1）工序基本分配約束

每個工作站所有工序的標(biāo)準(zhǔn)時間的累加不能大于生產(chǎn)線節(jié)拍：

每道工序必須且只能被分配到一個工作站：

每個工作站必須分配有工序：

（2）不可獨立加工工序約束

工序優(yōu)先關(guān)系的約束。即如果工序a被分配到工作站j，那么工序a的緊前工序不能被安排到工作站j后面的工作站，工序a的緊后工序不能被安排到工作站j前面的工作站，約束如下：

（3）可獨立加工工序約束

某些工序必須在同一個工作站中?？紤]到某些特殊的工序需要特殊處理，例如，像“印水印”等包裝工段需要走動作業(yè)，不固定在某些位置，這類工序安排在同一個工作站能減少其他人員的走動，提高整體作業(yè)環(huán)境。

某兩個工序必須在同一個或相鄰的工作站。這些是組裝一些小零件的工序，并且不需要依附在面殼上也能作業(yè)。例如，“貼海綿到喇叭”這道工序不需要依附在喇叭上也能作業(yè)，它的緊后工序是“裝喇叭到面殼”，那么，它可以與緊后工序在同一個工作站，也可以在緊后工序前面或后面的工作站。

（4）其他約束

工作位置的約束。由于某些工序加工設(shè)備大小的限制，需要被安排到特定的位置，才不會對半成品的傳遞等方面產(chǎn)生不利的影響。

設(shè)備數(shù)量的約束。在這種布局下主要考慮自動螺絲機的影響，因為自動螺絲機的體積較大，通常一個工作站內(nèi)容不下兩臺，因此，同一工作站內(nèi)自動螺絲機的數(shù)量不能超過1臺。其約束如下：

工具操作限制。經(jīng)過動作分析，電批與烙鐵不能再同一個工作站，電批與烙鐵都是使用右手操作，而將這兩個工具一起放在右側(cè)，容易造成繞線的麻煩甚至被燙傷的危險。其約束如下：

3 實驗結(jié)果分析

使用ILOG OPL 軟件求解以上數(shù)學(xué)模型，得到優(yōu)化后的工序分配表，如表2所示。

表2 優(yōu)化后工序分配表

根據(jù)式（1）和式（2）計算出優(yōu)化后的生產(chǎn)線平衡率Ra以及生產(chǎn)線平滑系數(shù)SFa分別為91.16%和14.24。

根據(jù)以上各項指標(biāo)，列出優(yōu)化前后生產(chǎn)線評價指標(biāo)進行對比，如表3 所示。根據(jù)優(yōu)化前后工作站的時間分布繪制優(yōu)化前后生產(chǎn)線平衡對比圖，如圖3所示。

表3 優(yōu)化前后生產(chǎn)線評價指標(biāo)對比

圖3 優(yōu)化前后生產(chǎn)線平衡對比

優(yōu)化后的生產(chǎn)線工位布局如圖4 所示，布局形狀不變，仍然呈“E”字形，但需要跨工位傳遞半成品的小零件物流由原來5個減少為1個，這個物流是把組裝完成的PCB 板從工作站1 傳遞到工作站3，此過程每次傳遞10個PCB板，重量輕，對與整體的工作影響不大。

圖4 優(yōu)化后工位布局

綜合以上分析，通過混合整數(shù)規(guī)劃優(yōu)化后，生產(chǎn)線的節(jié)拍由原來44.01 s減少為33.53 s，減少23.81%，生產(chǎn)線平衡率由原來的69.45%提高到91.16%，屬于持續(xù)高水平狀態(tài)，生產(chǎn)系統(tǒng)穩(wěn)定；生產(chǎn)平滑系數(shù)由原來14.24減少為3.61，減少74.63%，同時結(jié)合圖3 分析可知，優(yōu)化后，生產(chǎn)線每個工作站的標(biāo)準(zhǔn)作業(yè)時間較為均衡，不存在工作站的標(biāo)準(zhǔn)作業(yè)時間過高或過低的現(xiàn)象。在所有工作站中，作業(yè)時間最短的工作站與瓶頸工作站之間的時間差值低于7 s，因此，生產(chǎn)線內(nèi)不會出現(xiàn)明顯忙閑不均的現(xiàn)象。由圖4 可知，優(yōu)化后的工位布局在物流上更加的順暢，減少了生產(chǎn)線內(nèi)人員不必要的流動。

4 結(jié)束語

本文通過分析生產(chǎn)線的現(xiàn)狀和收集生產(chǎn)現(xiàn)場的相關(guān)數(shù)據(jù)，結(jié)合其結(jié)構(gòu)特點，指出工序分配不均衡、跨工位傳遞、生產(chǎn)線平衡率低是導(dǎo)致生產(chǎn)線效率低的主要原因。本文應(yīng)用數(shù)學(xué)規(guī)劃法構(gòu)建了以最小化生產(chǎn)線節(jié)拍為目標(biāo)的混合整數(shù)規(guī)劃模型來對生產(chǎn)線進行平衡優(yōu)化，并運用ILOG OPL 軟件對模型進行編程求解。結(jié)果表明，P 型玩具生產(chǎn)線節(jié)拍減少23.81%，平衡率由69.45%提高至91.16%，生產(chǎn)線平滑系數(shù)減少74.63%。與優(yōu)化前相比，優(yōu)化后的生產(chǎn)線內(nèi)物流更加順暢，作業(yè)分配更加科學(xué)合理，工作站之間的作業(yè)負荷也更加均衡，實現(xiàn)了生產(chǎn)線平衡率的提高和作業(yè)的均衡分配，提高了生產(chǎn)效率。