數(shù)值優(yōu)化方法在確定張力計(jì)反應(yīng)時(shí)間上的應(yīng)用性

林鴻州, 郭 怡, 白建幫, 彭建兵

長(zhǎng)安大學(xué)地質(zhì)工程與測(cè)繪學(xué)院，西安 710054

0 引言

在自然界與工程實(shí)踐中所遇到的土多為非飽和土，非飽和土的基質(zhì)吸力是影響非飽和土的強(qiáng)度、變形與滲透特性的關(guān)鍵物理量。為了測(cè)量非飽和土的基質(zhì)吸力，學(xué)者們開(kāi)展了大量的試驗(yàn)研究工作，開(kāi)發(fā)出許多吸力的測(cè)量方法，如張力計(jì)、壓力板儀、濾紙法與熱傳導(dǎo)吸力計(jì)等[1-2]。這些方法中，又以張力計(jì)可直接且快速地測(cè)量非飽和土的基質(zhì)吸力，并廣泛應(yīng)用于實(shí)驗(yàn)室、物理模型與現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)中[3-6]；在滑坡、泥石流等地質(zhì)災(zāi)害防災(zāi)減災(zāi)工作中，張力計(jì)也常用來(lái)監(jiān)測(cè)降雨條件下坡體基質(zhì)吸力的變化特征，并作為多參數(shù)監(jiān)測(cè)預(yù)警系統(tǒng)的一環(huán)[7-9]。此外，測(cè)定非飽和土體滲透系數(shù)也需要張力計(jì)準(zhǔn)確地確定土體基質(zhì)吸力[10]。

盡管張力計(jì)較其他方法可較快且較可靠地測(cè)量基質(zhì)吸力，但其仍需一定的時(shí)間，才能使土體的基質(zhì)吸力經(jīng)由張力計(jì)陶土頭傳遞到張力計(jì)內(nèi)的壓力傳感器，這一時(shí)間即為張力計(jì)的反應(yīng)時(shí)間(能合理反映出土體基質(zhì)吸力所需的時(shí)間)，或者稱(chēng)為再平衡時(shí)間。這一時(shí)間與張力計(jì)陶土頭型式及其飽和程度、土壤結(jié)構(gòu)和土的滲透系數(shù)密切相關(guān)[11-13]。因此，也可通過(guò)張力計(jì)的反應(yīng)時(shí)間與測(cè)得土的壓力變化特點(diǎn)，推估非飽和土的滲透系數(shù)[14]。

此外，如果將張力計(jì)應(yīng)用于非飽和土中水的動(dòng)態(tài)不平衡效應(yīng)的研究(如動(dòng)態(tài)土水特征曲線的確定等)上，張力計(jì)反應(yīng)時(shí)間的快慢對(duì)瞬時(shí)基質(zhì)吸力的測(cè)量將會(huì)產(chǎn)生顯著的影響[3, 15]。因此，張力計(jì)的選用如不合適，將不能合理地探討非飽和土中水的動(dòng)態(tài)不平衡效應(yīng)問(wèn)題。

一般而言，張力計(jì)的反應(yīng)時(shí)間可由張力計(jì)所測(cè)量的壓力讀數(shù)曲線依經(jīng)驗(yàn)或半經(jīng)驗(yàn)圖解法近似求得，也可通過(guò)設(shè)定基質(zhì)吸力變化率準(zhǔn)則[12]或理論公式近似計(jì)算出[3, 16-17]。其中，半經(jīng)驗(yàn)圖解法依據(jù)張力計(jì)與土體基質(zhì)吸力平衡后，其壓力響應(yīng)曲線近似為線性的特點(diǎn)，通過(guò)作圖法找出合宜的擬合直線，則該擬合直線的起始點(diǎn)(張力計(jì)記錄的壓力讀數(shù)曲線段與直線段的分段位置)所對(duì)應(yīng)的時(shí)間即為反應(yīng)時(shí)間。顯然，半經(jīng)驗(yàn)圖解法的優(yōu)點(diǎn)是直觀，但通過(guò)目視判斷這一曲線段和直線段之間的分段點(diǎn)，對(duì)于壓力讀數(shù)抖動(dòng)幅值較大的情況(離散性很大的壓力讀數(shù)特征)，不僅不易找出合理的張力計(jì)反應(yīng)時(shí)間且耗時(shí)也較長(zhǎng)。因此，為了避免采用半經(jīng)驗(yàn)圖解法所導(dǎo)致的人為誤差，并減少時(shí)間成本，本文以不同含水量條件下涇陽(yáng)黃土、定邊黃土以及毛烏素砂土為例，先通過(guò)張力計(jì)測(cè)量其壓力響應(yīng)曲線，再利用數(shù)值優(yōu)化方法確定張力計(jì)的反應(yīng)時(shí)間，并以此探討數(shù)值優(yōu)化方法的實(shí)用價(jià)值及其局限性，以期提出標(biāo)準(zhǔn)化的張力計(jì)反應(yīng)時(shí)間判定方法與操作流程。此外，由于反應(yīng)時(shí)間的快慢是選用適宜張力計(jì)的關(guān)鍵所在，因此，也希望通過(guò)研究為張力計(jì)的選用提供科學(xué)合理的依據(jù)，以利相關(guān)試驗(yàn)的開(kāi)展。

1 材料與方法

1.1 試驗(yàn)土性

為了使研究成果更具普適性，試驗(yàn)土樣采用涇陽(yáng)黃土、定邊黃土以及毛烏素砂土3種，這些土性包括了黏土(CL)、粉土(ML)與砂土(SP)。并依據(jù)張力計(jì)測(cè)量基質(zhì)吸力的量程范圍，制備了3種不同含水量的濕土(砂)、中濕土(砂)及干土(砂)，以了解不同土性、不同含水量條件下，張力計(jì)測(cè)量讀數(shù)的變化特點(diǎn)。試驗(yàn)用土的基本物理性質(zhì)如表1所示。

1.2 試驗(yàn)設(shè)備與方法

本文采用土柱試驗(yàn)測(cè)定張力計(jì)的響應(yīng)曲線，即依照所需土柱的制樣含水量與干密度，在側(cè)壁開(kāi)孔(張力計(jì)安裝孔，距底面5 cm)的圓柱管內(nèi)，用落錘將試驗(yàn)用土分層擊實(shí)成高10 cm、直徑8 cm的土柱，分層擊實(shí)過(guò)程中需注意每個(gè)分層界面均需打毛；此外，填土的分層界面不能設(shè)在張力計(jì)安裝孔的高程位置，以防止張力計(jì)與土之間產(chǎn)生界面空隙，影響測(cè)量結(jié)果。土柱制備完成后，用保鮮膜與透明膠帶密封土柱頂面與張力計(jì)安裝孔，并靜置12 h以上，使土中水重新分布，處于新的平衡狀態(tài)。之后，即可開(kāi)始張力計(jì)的測(cè)量工作，在張力計(jì)安裝前，需確保張力計(jì)陶土頭完全飽和，且其內(nèi)注滿(mǎn)除氣水。對(duì)于較硬的干土樣，可在安裝張力計(jì)前，先預(yù)鉆小孔，以避免安裝過(guò)程中損壞陶土頭；而安裝張力計(jì)也需確保陶土頭位于土柱中心點(diǎn)，并一次到位，避免反復(fù)擠壓拉拔，影響陶土頭與土體的接觸。此外，土柱在試驗(yàn)過(guò)程中需保持密封條件，以減少土中水的蒸發(fā)對(duì)張力計(jì)讀數(shù)的影響。

試驗(yàn)采用的張力計(jì)為METER公司生產(chǎn)的微型張力計(jì)T5x，數(shù)據(jù)采集的時(shí)間設(shè)為2 s。由于微型張力計(jì)陶土頭的體積小，具有反應(yīng)時(shí)間快且對(duì)壓力變化響應(yīng)更靈敏的特點(diǎn)；因此倘若設(shè)置較密的數(shù)據(jù)采集時(shí)間，就可捕捉到更細(xì)致的讀數(shù)響應(yīng)特征。此時(shí)測(cè)量讀數(shù)容易受到其他因素干擾而出現(xiàn)抖動(dòng)的現(xiàn)象，亦即測(cè)量數(shù)據(jù)的離散程度有可能很高，但可借此特點(diǎn)來(lái)分析數(shù)值優(yōu)化方法的實(shí)用價(jià)值及其局限性。

1.3 數(shù)值優(yōu)化方法與計(jì)算方案

如前所述，壓力讀數(shù)曲線段與直線段的分段位置所對(duì)應(yīng)的時(shí)間即為張力計(jì)的反應(yīng)時(shí)間。因此，如要利用數(shù)學(xué)方法求取反應(yīng)時(shí)間，需用合適的非線性擬合函數(shù)擬合曲線段，而用線性函數(shù)擬合直線段；也就是說(shuō)，這一問(wèn)題在數(shù)學(xué)上即為非線性回歸分析的分段擬合問(wèn)題，且由于分段點(diǎn)未知，求解這一問(wèn)題就涉及到全局優(yōu)化(global optimization)問(wèn)題。因此，本文選用七維高科所開(kāi)發(fā)的數(shù)學(xué)優(yōu)化分析軟件1stOpt，通過(guò)其核心算法——通用全局優(yōu)化(universal global optimization, UGO)算法來(lái)求解雙函數(shù)段的分段擬合問(wèn)題的最優(yōu)解[18]。

由于可用于非線性回歸問(wèn)題的全局優(yōu)化算法有很多，依據(jù)算法優(yōu)化利用的數(shù)據(jù)信息可分為兩類(lèi)：一類(lèi)是利用函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值信息進(jìn)行迭代的Levenberg-Marquardt優(yōu)化法(LM+UGO)、BFGS準(zhǔn)牛頓優(yōu)化法(BFGS+UGO)、共軛梯度優(yōu)化法(conjugate gradient method, CGM+UGO)；另一類(lèi)則是直接利用函數(shù)值信息進(jìn)行比較計(jì)算的Powell優(yōu)化法(Powell optimization, PO+UGO)、單純形優(yōu)化法(simplex method, SM+UGO)，以及基于進(jìn)化算法的差分進(jìn)化法(differential evolution, DE)與最大繼承優(yōu)化法(max implementation optimization, MIO)[18-20]。本文將討論上述方法在求取張力計(jì)反應(yīng)時(shí)間的實(shí)用價(jià)值與局限性，包括曲線段的最佳擬合函數(shù)、計(jì)算效率、優(yōu)化解的合理性與穩(wěn)定性等，最后依據(jù)分析結(jié)果，給出了適合求取張力計(jì)反應(yīng)時(shí)間的優(yōu)化方法與建議。此外，為了便于對(duì)比各方法的計(jì)算結(jié)果，優(yōu)化方法所需的計(jì)算參數(shù)，除MIO采用種群數(shù)40、變異率0.01外，其他參數(shù)均采用軟件的默認(rèn)值。

2 結(jié)果與討論

2.1 張力計(jì)讀數(shù)的響應(yīng)特征

通過(guò)土柱試驗(yàn)所測(cè)得的張力計(jì)壓力讀數(shù)與時(shí)間關(guān)系可知：張力計(jì)插入土體，會(huì)使土體受到擠壓擾動(dòng)，導(dǎo)致張力計(jì)讀數(shù)發(fā)生劇烈變化，甚至?xí)霈F(xiàn)正值的超靜孔壓或較高值的基質(zhì)吸力；張力計(jì)受到土中基質(zhì)吸力的作用，會(huì)使陶土頭內(nèi)的水與其周?chē)馏w的水產(chǎn)生流動(dòng)，直至土體的基質(zhì)吸力與張力計(jì)傳感器受到的壓力相互平衡(此過(guò)程即為壓差反應(yīng)，其造成張力計(jì)可合理測(cè)量土的基質(zhì)吸力的時(shí)間相對(duì)滯后)。因此，張力計(jì)讀數(shù)隨時(shí)間的響應(yīng)特征可分為3段：張力計(jì)安裝擾動(dòng)段、壓力反應(yīng)滯后段以及穩(wěn)定平衡段(圖1)。

a. 涇陽(yáng)濕土(Ⅰ型)；b. 定邊中濕土(Ⅱ型)；c. Ⅰ型和Ⅱ型響應(yīng)曲線特征。

試驗(yàn)結(jié)果表明，穩(wěn)定平衡段的壓力-時(shí)間關(guān)系曲線可近似為直線，并可依其斜率分為3種不同的情況：一是所測(cè)得的壓力隨時(shí)間緩慢減少(基質(zhì)吸力緩慢增加，斜率為負(fù))，這可能是土柱環(huán)境處于微量蒸發(fā)情況(陶土頭周?chē)馏w水分緩慢減少)所導(dǎo)致；二是測(cè)得的壓力基本保持不變(斜率較小，接近于0)，亦即陶土頭周?chē)馏w的水分基本沒(méi)有變化；三是壓力讀數(shù)隨時(shí)間緩慢增加(斜率為正)，造成這一現(xiàn)象的原因可能是土體受到張力計(jì)陶土頭及其有機(jī)玻璃管表面附著水的影響，使土的含水量微增，導(dǎo)致所測(cè)量的孔壓也緩慢增加。

此外，也可依據(jù)壓力反應(yīng)滯后段是否產(chǎn)生明顯的極值現(xiàn)象將響應(yīng)曲線分為2種類(lèi)型：一類(lèi)是所測(cè)得的孔壓響應(yīng)先逐漸減少，再趨于穩(wěn)定(Ⅰ型，響應(yīng)曲線可近似為單調(diào)遞減型，即穩(wěn)定平衡段的斜率為負(fù)或斜率較小接近于0)(圖1a、c)；另一類(lèi)則是孔壓先減后增，再趨于穩(wěn)定(Ⅱ型，存在明顯的局部極值點(diǎn)，即穩(wěn)定平衡段的斜率為正)(圖1b、c)。其中，張力計(jì)插入土體那一瞬間的時(shí)刻設(shè)為0點(diǎn)。依據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，涇陽(yáng)濕土、涇陽(yáng)中濕土、涇陽(yáng)干土、定邊濕土、定邊干土、毛烏素中濕砂與毛烏素干砂的張力計(jì)讀數(shù)響應(yīng)特征為Ⅰ型；定邊中濕土和毛烏素濕砂為Ⅱ型。

試驗(yàn)結(jié)果表明，基質(zhì)吸力較大的情況通常為Ⅰ型，而基質(zhì)吸力較小的情況則多為Ⅱ型。值得一提的是，定邊中濕土的基質(zhì)吸力較涇陽(yáng)濕土高，但其壓力響應(yīng)特征為Ⅱ型，這可能是由前述陶土頭及其有機(jī)玻璃管表面的附著水所導(dǎo)致。

此外，從張力計(jì)測(cè)量的壓力響應(yīng)特征(圖1c)可看出，壓力反應(yīng)滯后段與穩(wěn)定平衡段具有不同的函數(shù)特征，如果我們將壓力反應(yīng)滯后段用非線性函數(shù)表示，穩(wěn)定平衡段用線性函數(shù)表示，則可通過(guò)非線性分段擬合的數(shù)值優(yōu)化算法來(lái)求出張力計(jì)的反應(yīng)時(shí)間?？梢灶A(yù)見(jiàn)，對(duì)于Ⅰ型響應(yīng)曲線(ABC)，除了數(shù)據(jù)點(diǎn)出現(xiàn)突然抖動(dòng)現(xiàn)象(如在數(shù)采過(guò)程中，誤觸試驗(yàn)設(shè)備)外，數(shù)值優(yōu)化算法一般不會(huì)遇到局部最優(yōu)解問(wèn)題；但對(duì)于Ⅱ型響應(yīng)曲線(ADEF)，則可能會(huì)搜索到局部最優(yōu)解D點(diǎn)，而非全局最優(yōu)解E點(diǎn)。

2.2 壓力反應(yīng)滯后段擬合函數(shù)的確定

如前所述，張力計(jì)的壓力響應(yīng)曲線可分為兩種不同的類(lèi)型，顯然地，采用多項(xiàng)式函數(shù)可同時(shí)滿(mǎn)足這兩類(lèi)壓力反應(yīng)滯后段的擬合需求，且高次多項(xiàng)式的R2要高于低次多項(xiàng)式。為了確定用于擬合壓力反應(yīng)滯后段的多項(xiàng)式函數(shù)的合適次數(shù)，本文將前述的涇陽(yáng)濕土和定邊中濕土作為典型案例，對(duì)其開(kāi)展3～8次多項(xiàng)式反應(yīng)時(shí)間估算的非線性回歸分析工作；其中，數(shù)值優(yōu)化法采用BFGS+UGO計(jì)算，結(jié)果如表2所示。此外，計(jì)算結(jié)果表明，對(duì)于涇陽(yáng)濕土(Ⅰ)，各多項(xiàng)式擬合的R2為0.996 5～0.998 8，而定邊中濕土(Ⅱ)擬合的R2為0.998 2～0.999 3，從R2值來(lái)看，各多項(xiàng)式均有較高的擬合度。

表2 典型案例中多項(xiàng)式次數(shù)對(duì)張力計(jì)反應(yīng)時(shí)間估算的回歸分析結(jié)果與圖解法的對(duì)比

盡管高次多項(xiàng)式的擬合結(jié)果也很好，但不一定可以得出與圖解法相近的結(jié)果，兩者的差異有時(shí)非常明顯，導(dǎo)致這一結(jié)果的原因是采用高次多項(xiàng)式會(huì)將部分穩(wěn)定平衡段一并擬合，使所得的反應(yīng)時(shí)間較圖解法大許多。計(jì)算結(jié)果表明，壓力反應(yīng)滯后段需采用4次多項(xiàng)式擬合才能有效求取張力計(jì)的反應(yīng)時(shí)間，而較低次的多項(xiàng)式或較高次的多項(xiàng)式都不適合作為壓力反應(yīng)滯后段的擬合函數(shù)。

2.3 數(shù)值優(yōu)化方法的計(jì)算效率

由于涉及非線性回歸的數(shù)值優(yōu)化算法非常多，要在這些方法中進(jìn)行優(yōu)選，除了要考慮計(jì)算結(jié)果的合理性外，還需考慮計(jì)算效率。因此采用同一臺(tái)電腦針對(duì)典型案例開(kāi)展各算法的計(jì)算工作，并統(tǒng)計(jì)各算法所需的計(jì)算時(shí)間，以分析這些方法的計(jì)算效率，作為方法比選的依據(jù)。各方法的計(jì)算時(shí)間整理于表3。

由表3可知，兩種類(lèi)型中，除了CGM+UGO與PO+UGO外，其他方法所需的計(jì)算時(shí)間均較短，而PO+UGO耗時(shí)最久，其所需時(shí)間甚至是CGM+UGO的1.74倍以上。因此，如果考慮計(jì)算效率，不建議采用PO+UGO分析。

表3 各數(shù)值優(yōu)化方法計(jì)算典型案例所需的計(jì)算時(shí)間

2.4 數(shù)值優(yōu)化解與半經(jīng)驗(yàn)圖解法的對(duì)比分析

為了衡量各數(shù)值優(yōu)化方法是否適合求取張力計(jì)的反應(yīng)時(shí)間，本文先從典型案例計(jì)算，并與圖解法的結(jié)果(表2)對(duì)比，各方法的計(jì)算結(jié)果整理于表4。對(duì)于涇陽(yáng)濕土(Ⅰ)，各方法擬合的R2為0.998 0～0.998 1，而對(duì)定邊中濕土(Ⅱ)擬合的R2為0.998 4～0.998 5。

表4 各數(shù)值優(yōu)化方法計(jì)算典型案例的反應(yīng)時(shí)間

計(jì)算結(jié)果表明，對(duì)于沒(méi)有明顯局部極值的Ⅰ型響應(yīng)曲線，各數(shù)值優(yōu)化方法所計(jì)算的結(jié)果與圖解法所得結(jié)果差異不大。對(duì)于有明顯局部極值點(diǎn)的Ⅱ型響應(yīng)曲線，LM+UGO、BFGS+UGO、CGM+UGO與PO+UGO等法與圖解法的結(jié)果相近；然而，SM+UGO、DE和MIO等方法卻得出局部極值附近的解，而非全局最優(yōu)解，且這一解的值稍小于試驗(yàn)得出的局部極值(約在5.00 min，圖1b)。

導(dǎo)致這一結(jié)果的原因可從算法原理來(lái)分析。對(duì)于SM+UGO，其是通過(guò)不斷對(duì)比、篩選、替換相鄰個(gè)體直至選出其中的最優(yōu)解，由于這一過(guò)程是對(duì)鄰近的點(diǎn)作比較，故常收斂到離初始位置較近的局部最優(yōu)解上，因此對(duì)于存在多局部最優(yōu)解或相鄰局部最優(yōu)解距離較遠(yuǎn)的問(wèn)題時(shí)，則不易得出全局最優(yōu)解[19]。而DE和MIO均為演化算法，其是通過(guò)對(duì)全數(shù)據(jù)點(diǎn)組成的群體進(jìn)行變異、雜交和選擇操作，并可借此提高計(jì)算效率(表3)。但這也會(huì)降低原有群體的多樣性，不利于求得全局最優(yōu)解，甚至?xí)?dǎo)致搜索停滯的問(wèn)題[20]；這使得這兩種方法在處理有局部極值的Ⅱ型張力計(jì)響應(yīng)曲線時(shí)，易陷入局部最優(yōu)解。因此，對(duì)于DE和MIO往往需通過(guò)測(cè)試才能確定出合適的參數(shù)設(shè)置來(lái)避免這一問(wèn)題，而這無(wú)疑會(huì)降低這兩種方法的實(shí)用價(jià)值。綜合上述分析，不建議采用SM+UGO、DE和MIO等數(shù)值優(yōu)化方法來(lái)求取張力計(jì)的反應(yīng)時(shí)間。

此外，為了進(jìn)一步驗(yàn)證LM+UGO、BFGS+ UGO、CGM+UGO與PO+UGO等法的實(shí)用性，本文針對(duì)其他土性進(jìn)行驗(yàn)算工作，并與圖解法的估算結(jié)果相比較，其結(jié)果如表5所示。各方法對(duì)于涇陽(yáng)中濕土(Ⅰ)、涇陽(yáng)干土(Ⅰ)、定邊干土(Ⅰ)、毛烏素中濕砂(Ⅰ)、毛烏素干砂(Ⅰ)與毛烏素濕砂(Ⅱ)的R2依次為0.996 2、0.999 2、0.999 2、0.994 4、0.994 3與0.940 2；而定邊濕土(Ⅰ)的R2在0.982 1～0.982 2之間。從R2值來(lái)看，毛烏素濕砂(Ⅱ)的擬合效果稍不如其他土性，這是由于在濕砂中張力計(jì)讀數(shù)的抖動(dòng)較其他土性明顯偏多(圖2)。導(dǎo)致這一現(xiàn)象的原因主要有二，一是安裝在砂土的張力計(jì)容易受到外力而晃動(dòng)，二是砂土的基質(zhì)吸力較小，讀數(shù)抖動(dòng)的幅值對(duì)擬合效果的影響較大。

由表5可知，對(duì)于除典型案例以外的7種土，數(shù)值優(yōu)化方法所計(jì)算的結(jié)果與圖解法差異同樣不大，即使對(duì)于R2值相對(duì)較小的毛烏素濕砂(Ⅱ)，其計(jì)算結(jié)果仍在可接受的范圍。以圖2所示的毛烏素濕砂的張力計(jì)實(shí)測(cè)讀數(shù)與BFGS+UGO的計(jì)算結(jié)果來(lái)說(shuō)明，由于所記錄的壓力讀數(shù)呈現(xiàn)一定的數(shù)據(jù)抖動(dòng)現(xiàn)象，使得半經(jīng)驗(yàn)圖解法不易較快且合理地求得張力計(jì)的反應(yīng)時(shí)間；但如能輔以數(shù)值優(yōu)化法所預(yù)測(cè)的穩(wěn)定平衡段的擬合直線，則有助于張力計(jì)反應(yīng)時(shí)間的合理確定，并可縮短張力計(jì)反應(yīng)時(shí)間判定所需的時(shí)間。此外，可以預(yù)見(jiàn)，倘若數(shù)據(jù)抖動(dòng)出現(xiàn)在張力計(jì)反應(yīng)時(shí)間點(diǎn)附近或存在突變型張力計(jì)響應(yīng)曲線特征，數(shù)值優(yōu)化方法將不易得出較為合宜的張力計(jì)反應(yīng)時(shí)間。

數(shù)值優(yōu)化計(jì)算結(jié)果表明：對(duì)于張力計(jì)響應(yīng)曲線較為平滑的情況，LM+UGO、BFGS+UGO、CGM+UGO、PO+UGO等數(shù)值優(yōu)化方法可用來(lái)確定張力計(jì)的反應(yīng)時(shí)間；但對(duì)于數(shù)據(jù)抖動(dòng)幅度較大或存在突變型曲線特征的情況下，仍需借由經(jīng)驗(yàn)判斷才能確定合宜的反應(yīng)時(shí)間。

2.5 數(shù)值優(yōu)化解的穩(wěn)定性分析

需說(shuō)明的是，由于數(shù)值優(yōu)化法所得的解并非唯一解，因此本文針對(duì)前述的典型案例，將LM+UGO、BFGS+UGO、CGM+UGO、PO+UGO等方法重復(fù)計(jì)算10次，探討所得解的穩(wěn)定性，計(jì)算結(jié)果如表6所示。

數(shù)值穩(wěn)定性分析結(jié)果表明：PO+UGO在計(jì)算Ⅱ型的定邊中濕土，10次中就有1次陷入局部最優(yōu)解，而得不到全局最優(yōu)解；而LM+UGO、BFGS+UGO、CGM+UGO等法盡管每次計(jì)算都有些微差異，但整體來(lái)看，這3種方法均能合理估算張力計(jì)的反應(yīng)時(shí)間，其中又以BFGS+UGO的標(biāo)準(zhǔn)差與變異系數(shù)最小。

表5 各數(shù)值優(yōu)化方法計(jì)算的反應(yīng)時(shí)間與圖解法的比較

圖2 毛烏素濕砂的張力計(jì)壓力響應(yīng)曲線與BFGS+UGO的預(yù)測(cè)結(jié)果的對(duì)比

同樣地，也可從PO的算法原理來(lái)分析PO+ UGO陷入局部最優(yōu)解的原因。PO在本質(zhì)上也是一種共軛梯度法，但與CGM不同的是，其是通過(guò)直線搜索技術(shù)尋找一組共軛方向，因此僅需計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值而不必求出導(dǎo)數(shù)值。由于PO+UGO的搜索起點(diǎn)系由1stOpt軟件隨機(jī)給出，這使得僅利用函數(shù)值信息的優(yōu)化算法易因某一搜索起點(diǎn)不當(dāng)，而在某一循環(huán)方向組中的矢量系出現(xiàn)線性相關(guān)的情況，導(dǎo)致所得出的解是局部最優(yōu)解而非全局最優(yōu)解，甚至?xí)斐蔁o(wú)法收斂的結(jié)果[18]，這也是造成PO+UGO計(jì)算時(shí)間偏長(zhǎng)的原因(表3)。因此，盡管本文所計(jì)算的案例中，10次僅有1次得出局部最優(yōu)解，仍不建議采用PO+UGO來(lái)確定張力計(jì)的反應(yīng)時(shí)間。

表6 各數(shù)值優(yōu)化方法計(jì)算典型案例解的穩(wěn)定性分析結(jié)果

3 方法建議與操作流程

綜上所述，利用數(shù)值優(yōu)化算法確定張力計(jì)反應(yīng)時(shí)間的方法與流程可總結(jié)如圖3所示，其步驟簡(jiǎn)述如下：

1)利用標(biāo)準(zhǔn)化的土柱試驗(yàn)型式(控制土體的均勻性、密封性，并靜置使土中水的分布再平衡)，測(cè)定張力計(jì)響應(yīng)曲線，并剔除張力計(jì)安裝擾動(dòng)段的數(shù)據(jù)點(diǎn)，得出張力計(jì)壓力反應(yīng)滯后段與穩(wěn)定平衡段的響應(yīng)曲線(圖1c)。

2)采用全局優(yōu)化算法的數(shù)值優(yōu)化法求解非線性回歸分析的分段擬合問(wèn)題。其中，數(shù)值優(yōu)化算法建議選用LM+UGO、BFGS+UGO或CGM+UGO。

3)張力計(jì)響應(yīng)曲線的壓力滯后段建議采用4次多項(xiàng)式函數(shù)擬合，而穩(wěn)定平衡段則用線性函數(shù)擬合。

4)審視數(shù)值優(yōu)化方法所得的雙函數(shù)段分段點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的時(shí)間是否為合宜的張力計(jì)反應(yīng)時(shí)間。

5)若數(shù)值優(yōu)化方法得出合理的張力計(jì)反應(yīng)時(shí)間，則建議計(jì)算5～10次，再求取其平均值，以作為張力計(jì)的反應(yīng)時(shí)間；若所得結(jié)果陷入局部最優(yōu)解或因數(shù)據(jù)大幅抖動(dòng)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果不理想，再通過(guò)經(jīng)驗(yàn)判斷修正。

通過(guò)上述步驟可求得較為標(biāo)準(zhǔn)化的張力計(jì)反應(yīng)時(shí)間，以減少過(guò)多的人為干預(yù)和誤差等問(wèn)題，并縮短判定所需的時(shí)間。所得的張力計(jì)反應(yīng)時(shí)間，可用以估算非飽和土的滲透系數(shù)或應(yīng)用于不同張力計(jì)型式的比選上(如：可通過(guò)上述方法，求得不同型式張力計(jì)的反應(yīng)時(shí)間，對(duì)于基質(zhì)吸力變化速率較快的環(huán)境，需選用反應(yīng)時(shí)間短的張力計(jì))。此外，也可借由本文所介紹的張力計(jì)反應(yīng)時(shí)間的確定方法，來(lái)評(píng)估所研制的新型張力計(jì)的實(shí)用價(jià)值。

圖3 張力計(jì)反應(yīng)時(shí)間測(cè)定流程圖

4 結(jié)論

1)土柱試驗(yàn)結(jié)果表明，張力計(jì)的響應(yīng)曲線可分為張力計(jì)安裝擾動(dòng)段、壓力反應(yīng)滯后段以及穩(wěn)定平衡段。并可依其在壓力反應(yīng)滯后段內(nèi)是否出現(xiàn)明顯的極值現(xiàn)象，區(qū)分為兩種類(lèi)型：一類(lèi)是所測(cè)得的孔壓響應(yīng)先逐漸減少，再趨于穩(wěn)定(Ⅰ型，響應(yīng)曲線可近似為單調(diào)遞減型)；另一類(lèi)則是孔壓先減后增，再趨于穩(wěn)定(Ⅱ型，存在明顯的局部極值點(diǎn))。

2)從張力計(jì)的響應(yīng)曲線來(lái)看，壓力反應(yīng)滯后段與穩(wěn)定平衡段具有不同的函數(shù)特征，兩者的分界點(diǎn)即為反應(yīng)時(shí)間，因此可用非線性回歸分析的數(shù)值優(yōu)化方法結(jié)合全局優(yōu)化算法求取張力計(jì)的反應(yīng)時(shí)間。研究結(jié)果表明，壓力反應(yīng)滯后段可采用4次多項(xiàng)式函數(shù)擬合，而穩(wěn)定平衡段則用線性函數(shù)擬合。

3)對(duì)于沒(méi)有明顯局部極值的Ⅰ型響應(yīng)曲線，各數(shù)值優(yōu)化方法所計(jì)算的結(jié)果與圖解法所得結(jié)果差異不大；但對(duì)于有明顯局部極值點(diǎn)的Ⅱ型響應(yīng)曲線，PO+UGO、SM+UGO、DE和MIO等方法會(huì)陷入局部最優(yōu)解的問(wèn)題。

4)在一般情況下，LM+UGO、BFGS+UGO、CGM+UGO等方法可合理估算張力計(jì)的反應(yīng)時(shí)間。但對(duì)于數(shù)據(jù)抖動(dòng)幅度較大或存在突變型曲線特征等復(fù)雜形式的張力計(jì)響應(yīng)曲線，數(shù)值優(yōu)化算法仍不易獲得較理想的結(jié)果，此時(shí)需借由經(jīng)驗(yàn)判斷，以合理確定張力計(jì)的反應(yīng)時(shí)間。