牛頓的數(shù)學成就

宋麗飛

艾薩克·牛頓（Isaac Newton，1643-1727）是英國著名的物理學家、數(shù)學家，曾擔任英國皇家學會會長. 牛頓在科學上的主要成就有三個：發(fā)明微積分、建立經(jīng)典力學體系、提出光的性質(zhì)的理論.下面簡要介紹一下牛頓的一些數(shù)學成就.

一、《流數(shù)簡論》

由于牛頓首次引入“流數(shù)”和“變化率”的概念，明確提出一般性的微積分算法，特別是微積分基本定理，所以說他“發(fā)明”了微積分.不過，他當時只是觀察到這一重要定理，至于定理的證明則是在他的第二本微積分著作中才給出.

二、《運用無窮多項方程的分析學》（下簡稱《分析學》）

在《分析學》中，牛頓假定曲線下的面積為z=ax，其中m是有理數(shù).他把x的無窮小增量叫x的瞬，用o表示.由曲線、x軸、y軸及x+o處縱坐標所圍成的面積用z+oy表示（圖3），其中oy是面積的瞬，于是有z+oy=a（x+o）.

牛頓還給出下面的法則：函數(shù)之和的積分等于各函數(shù)的積分的和，即∫[f（x）+f（x）+…+f（x）]dx=∫f（x）dx+∫f（x）dx+…+∫f（x）dx.

牛頓把曲線下的面積看作無窮多個無限小面積之和，這種觀念與現(xiàn)代的觀念是比較接近的.為了求某一個區(qū)間的面積，即定積分，牛頓提出如下方法：先求

到此為止，牛頓已經(jīng)建立起比較系統(tǒng)的微積分理論及算法.不過他在概念上仍有不清楚的地方.第一，他的無窮小增量o是不是0？牛頓認為不是.既然這樣，運算中為什么可以略去含o的項呢？牛頓沒有給出合乎邏輯的論證.第二，牛頓雖然提出變化率的概念，但沒有提出一個普遍適用的定義，只是把它想象成“流動的”速度.牛頓自己也認為，他的工作主要是建立有效的計算方法，而不是澄清概念.他對這些方法僅僅作了“簡略的說明而不是準確的論證.”牛頓的態(tài)度是實事求是的.

三、《流數(shù)法和無窮級數(shù)》（下簡稱《流數(shù)法》）

這是一部內(nèi)容廣泛的微積分專著，是牛頓在數(shù)學方面的代表作.在前兩部書的基礎(chǔ)上，牛頓提出了更加完整的理論.

牛頓在提出的“連續(xù)”思想以及使一個量小到“比任何一個指定的量都小”的思想是極其深刻的，他正是在這種思想的主導下解決了以下兩類基本問題.

第二類：已知一個含流數(shù)的方程，求流量，即積分. 牛頓在書中引入了代換積分法（采用現(xiàn)代符號）：設(shè)u=φ（x），則∫f（（x））φ′（x）dx=∫f（u）du（1）.這個公式表明，只要所求的積分可表為（1）左邊的形式，則令u=φ（x），即可化為f（u）對u的積分，積分后再用φ（x）代u就行了.《流數(shù)簡論》中，牛頓在具體積分中已經(jīng)采用了這種方法，只是到這時才總結(jié)出具體的公式.從《簡論》及《流數(shù)法》兩書來看，他推導此式的思路大致如下：

設(shè)y=∫f（φ（x））φ′（x）dx，

則y=∫f（φ（x））φ′（x）.（2）

由微積分基本定理，得y=∫f（u）du，所以∫f（φ（x））φ′（x）dx=∫f（u）du.

牛頓還推出分不定積分公式，即∫uv′-dx=uv- ∫vu′dx.其中u和v都是x的函數(shù).若求∫uv′-dx有困難而求∫vu′dx比較容易時，就可利用分不定積分公式求積分.

至此，牛頓已建立起比較完整的微分和積分算法，他當時將其統(tǒng)稱為流數(shù)法.他充分認識到這種方法的意義，說流數(shù)法（即微積分）是一種“普遍方法”，它“不僅可以用來畫出任何曲線的切線……而且還可以用來解決其他關(guān)于曲度、面積、曲線的長度、重心的各種深奧問題.”《流數(shù)法》一書中對微積分的用途作了詳細介紹，下面略舉幾例.

例1.求方程x-ax+axy-y=0中x的最大值.

牛頓先求出x和y的流數(shù)之比，

即3y=ax.把上式代入原方程后，就很容易求得相應(yīng)的x值和y值了.

牛頓給出了通過解方程f′（x）=0來求f（x）極值的方法.他寫道：“當一個量取極大值或極小值時，它的流數(shù)既不增加也不減少，因為如果增加，就說明它的流數(shù)還是較小的，并且即將變大;反之，如果減少，則情況恰好相反.所以求出它的流數(shù)，并且令這個流數(shù)等于0.”他用這種方法解出了九個問題.其他問題，則需采用上述方法求解.

例2.已知曲線方程為x-ax+axyy=0，AB和BD分別為曲線上D點的橫、縱坐標，求作過D點的切線（圖4）.

牛頓說：“給定D點后，便可得出DB和AB，即y和x，BT的長度也就確定了，由此可確定切線TD.”

相比較《分析學》《流數(shù)法》在數(shù)學思想上有了創(chuàng)新，而且提供了更加有效的計算方法.但牛頓的基本方法仍是舍去無窮小，因而同《分析學》一樣出現(xiàn)了邏輯問題.他嘗試建立沒有無窮小的微積分，于是就有了《曲線求積術(shù)》.

四、牛頓的極限理論

牛頓的四部微積分專著中，《曲線求積術(shù)》（下簡稱《求積術(shù)》）是最后寫成（1693）的，但卻是最早出版（1704）的一部.在書中，牛頓給出了導數(shù)概念，而且把考察對象由兩個變量構(gòu)成的方程轉(zhuǎn)向關(guān)于一個變量的函數(shù).牛頓的流數(shù)演算已相當熟練了，他算出許多復雜圖形的面積.

實際上，早在《自然哲學的數(shù)學原理》（下簡稱《原理》）一書中，牛頓就明確地定義了極限思想.他說：“嚴格地說，消失量的最后比并不是最后量的比，而是這些量無限減小時它們的比所趨近的極限.它們與這個極限之差雖然可以比任何給定的差更小，但這些量在無限縮小之前既不能超過也不能達到它.”在這部最早發(fā)表的包含微積分成果的書（當然不是最早寫成的）中，牛頓已經(jīng)把微積分的大廈建筑在極限的基礎(chǔ)之上，他用極限觀點解釋了微積分中的許多概念.牛頓在《原理》中闡發(fā)的極限思想，成為他撰寫《求積術(shù)》的理論基礎(chǔ).當然，他還沒有提出如同我們現(xiàn)在使用的嚴格的極限定義.