由一道習(xí)題引發(fā)的思考

周建 韓丹娜

在教學(xué)中，細心的教師會發(fā)現(xiàn)，教材中的很多習(xí)題具有一定的代表性和探究性，且其解法非常巧妙.對于此類習(xí)題，教師可以將其作為重要的教學(xué)資源，在課堂教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生對其進行深入地探究、挖掘，以便學(xué)生掌握同一類題目的通性通法，幫助他們提升學(xué)習(xí)的效率.本文主要對人教A版選擇性必修第二冊《一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》的一道課后習(xí)題進行了探究.

一、對習(xí)題及其解法的探究

人教A版選擇性必修第二冊第99頁的第12題：利用函數(shù)的單調(diào)性，證明下列不等式，并通過函數(shù)圖象直觀驗證：（1）e>1+x，x≠0;（2）lnx<x<e，x>0.

證明：（1）設(shè)f（x）=e-1-x，∴f′（x）=e-1，

∴f′（x）=e-1=0，∴x=0，

∵f′（x）>0，∴x>0，f′（x）<0，∴x<0，

∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）為單調(diào)遞增，在（-∞，0）為單調(diào)遞減，

∴函數(shù)在x=0處取得最小值，

∴f（x）>f（0）=0，∴f（x）=e-1-x>0，

即e>1+x.

事實上，這個結(jié)論經(jīng)常出現(xiàn)在很多試題中，不少教師在教學(xué)中也將該結(jié)論列為常用結(jié)論，并要求學(xué)生加以記憶.于是，筆者引導(dǎo)學(xué)生對該結(jié)論的背景和幾何意義進行推導(dǎo)和探究.

還可以得到：e≥1+x，x∈R.這就是上述習(xí)題的第一個結(jié)論.

對于習(xí)題的第二個結(jié)論，可根據(jù)e≥1+x≥x，x∈R，用任意函數(shù)f（x）替換x，得到一個通式：e≥1+f（x）≥f（x）.令f（x）=lnx，x>0，即可得到e>lnx，即x>lnx，所以e>x>lnx，（x>0）.

根據(jù)e>1+x，x≠0、lnx<x<e，x>0分別畫出圖1、圖2.由圖象可知，結(jié)論lnx<x<e，x>0的幾何意義：直線y=x+1為函數(shù)y=e在x=0處的切線.

二、結(jié)論的應(yīng)用

教師可引導(dǎo)學(xué)生靈活運用習(xí)題中的兩個結(jié)論來放縮不等式，這樣能有效地提升解題的效率.

證明：由題意可知x為函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上的零點，

設(shè)g（x）=2e-2x-2-x，

則g′（x）=2e-2x-2=2（e-x-1），

由e≥1+x，x∈R，知g′（x）=2e-2x-2=2（e-x-1）>0，

即g（x）=2e-2x-2-x為單調(diào)遞增函數(shù)，

解答本題主要運用了習(xí)題中的第一個結(jié)論：e≥1+x，x∈R，從而判斷出g′（x）>0，這樣便可快速判斷出函數(shù)的單調(diào)性.與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的不等式證明題一般難度較大，尤其是在遇到放縮不等式的問題時，學(xué)生經(jīng)常會出現(xiàn)無從下手的情況.在教學(xué)中，教師可要求學(xué)生對一些常用的結(jié)論進行研究，并將其熟記，這樣不僅能讓他們知其形，還能知其意，在解題時就能做到信手拈來.

例2.已知a，a，a，a成等比數(shù)列，且a+a+a+a=ln（a+a+a），若a>1，則（）.

A.a<a，a<aB.a>a，a<a

C.a<a，a>aD.a>a，a>a

解：由a+a+a+a=ln（a+a+a），

因為a>1，所以q<0，

若q≤-1，則a+a+a+a=a（1+q）（1+q）≤0，

所以ln（a+a+a）>0，這與a+a+a+a≤0相矛盾，

所以-1<q<0，所以a-a=a（1-q）>0，a-a=aq（1-q）<0，故答案為B.

該解法中用到了結(jié)論e≥1+x，x∈R，便能將已知關(guān)系式放縮，從而證明a≤-1.由習(xí)題的第一個結(jié)論，可得到通式：e≥1+f（x）.對于本題，我們令f（x）=ln（x+1），（x>-1），即可得到不等式：e>1+ln（x+1），于是ln（x+1）<x，這樣就能快速求得問題的答案.

在面對不同類型、不同設(shè)問方式的題目時，教師要引導(dǎo)學(xué)生深入探究問題的本質(zhì)，將相關(guān)的題目關(guān)聯(lián)起來，發(fā)現(xiàn)其中千絲萬縷的聯(lián)系，得出相應(yīng)的結(jié)論，并對其進行拓展、延伸，這樣學(xué)生就能熟練掌握這些結(jié)論，并將其靈活地應(yīng)用于解題當(dāng)中.