根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，求解抽象函數(shù)問題

鄧超群

抽象函數(shù)一般沒有具體的函數(shù)表達式，因而抽象函數(shù)問題具有較強的抽象性.在解答抽象函數(shù)問題時，我們無法從函數(shù)的解析式入手，需要深入地挖掘抽象函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性、對稱性來解題.而為了明確函數(shù)的性質(zhì)，我們通常要采用一些手段來挖掘函數(shù)的基本性質(zhì).

例1.已知定義在R上的函數(shù)f（x）（x≠0），對任意不等于零的實數(shù)m，n都有f（m·n）=f（m）+f（n）成立，且f（4）=2，試判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并求f（-2）的值.

解：令m=-1，n=1得f（-1）=f（-1）+f（1），所以f（1）=0;又令m=n=-1得f（1）=f（-1）+f（-1），所以f（-1）=0;再令m=x，n=-1得f（-x）=f（-1）+f（x），即f（-x）=f（x）.又f（x）為非零函數(shù)，則f（x）為偶函數(shù).又f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=2f（2）=2，所以f（2）=1，則f（-2）=f⑵=1.

賦值法是探求抽象函數(shù)基本性質(zhì)的重要手段.在判斷函數(shù)的奇偶性時，要通過賦值，判斷出f（-x）與f（x）之間的關(guān)系，這樣才能根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進行判斷.解答本題，需通過三次賦值，得到f（-x）=f（x），這樣便可根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判定函數(shù)f（x）為偶函數(shù).

例2.已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f（x+2）+f（x）=a，f（1）=0，其中a為常數(shù)，試判斷方程f（x）=0在（-3，7）內(nèi)至少有幾個根？

解：在f（x+2）+f（x）=a中，將x用x+2來代替，得f（x+4）+f（x+2）=a，將上述兩式相減得f（x）=f（x+4），因此f（x）的周期為4，又f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，于是f（5）=f（1）=0，f（3）=f（-1）=-f（1）=0，f（4）=f（0）=0，所以方程f（x）=0在（-3，7）內(nèi)有6個根：-1， 0，1，3，4，5;另一方面，f（-2）=f（-2+4）=f（2）=-f（-2），則f（-2）=0，f（2）=0.又f（6）=f（2）=0，所以-2，2，6也是方程f（x）=0在（-3，7）內(nèi)的根，因此方程f（x）=0在（-3，7）內(nèi)至少有9個根.

在探求函數(shù)的周期性時，要通過賦值以及等量代換，得到f（x）=f（x+1），這樣就可以根據(jù)函數(shù)周期的定義，判定t就是函數(shù)的周期.解答本題，需抓住“f（x）是定義在R上的奇函數(shù)”這一關(guān)鍵點，然后通過賦值、等量變換，得到f（x）=f（x+4），從而挖掘出函數(shù)的周期性，再利用函數(shù)的周期性，在定義域內(nèi)找到f（x）=0的根.

證明：因為對任意x∈R，都有f（2+x）=f（2-x）成

一般地，對于任意實數(shù)x，若函數(shù)f（x）滿足f（a+x）=f（a-x），則函數(shù)f（x）的圖象是關(guān)于直線x=a成軸對稱的圖形.偶函數(shù)是一個特例，其圖象關(guān)于y軸對稱.若滿足f（a+x）=-f（a-x），則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（a，0）成中心對稱圖形.對于本題，由f（2+x）=f（2-x），可以判定函數(shù)y=f（x）關(guān)于x=2對稱，這樣便挖掘出函數(shù)的對稱性.

例4.已知定義在（0，+8）上的函數(shù)f（x），對任意m，n∈（0，+∞）都有f（m·n）=f（m）+f（n）成立，且當(dāng)x>1時，f（x）>0.又f（2）=1，問方程f（x）=3cosx有幾個解.

判斷函數(shù)的單調(diào)性的依據(jù)就是其定義，只需在區(qū)間D內(nèi)找到任意x₁、x₂，然后令x₁2，再通過恒等變形，比較出f（x₁）與f（x₂）的大小關(guān)系，即可判斷出函數(shù)的單調(diào)性.在本題中，我們通過賦值和恒等變換，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷出函數(shù)的單調(diào)性，就能快速明確函數(shù)圖象的變化趨勢，求得問題的答案.

可見，函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性、對稱性是解答抽象函數(shù)問題的重要依據(jù).因此在解題時，我們要學(xué)會根據(jù)問題的特點和解題需求，通過賦值、等量代換、等價變形等方式，利用奇偶性、周期性、單調(diào)性、對稱性的定義以及相關(guān)結(jié)論，挖掘出函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性、對稱性，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求解.6FC864DB-124F-45C5-9BCB-FABE938FF634