雙端動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)下信息物理系統(tǒng)輸出反饋H∞控制

王志文,陳萬(wàn)杰,孫洪濤

(1.蘭州理工大學(xué) 電氣工程與信息工程學(xué)院,甘肅 蘭州 730050;2.蘭州理工大學(xué) 甘肅省工業(yè)過(guò)程先進(jìn)控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,甘肅 蘭州 730050;3.蘭州理工大學(xué) 電氣與控制工程國(guó)家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心,甘肅 蘭州 730050;4.曲阜師范大學(xué) 工學(xué)院,山東 曲阜 273165)

計(jì)算技術(shù)、通信技術(shù)和控制技術(shù)的快速發(fā)展,引起了人類(lèi)社會(huì)生活的巨大變革[1].基于這一背景需求,信息物理系統(tǒng)(cyber-physical system,CPS)應(yīng)用而生,并迅速成為自動(dòng)化領(lǐng)域的前沿研究方向,其相關(guān)研究工作已取得一定成果.隨著信息物理系統(tǒng)的廣泛應(yīng)用,特別是在一些敏感領(lǐng)域的應(yīng)用,例如：國(guó)防、核能、電網(wǎng)等,網(wǎng)絡(luò)資源利用問(wèn)題成為制約其發(fā)展的一個(gè)關(guān)鍵因素[2].

CPS通過(guò)共享的通信網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行信息交換,但是信道帶寬是有限的[3].在傳統(tǒng)的CPS中,各個(gè)子系統(tǒng)都采用同步均勻的等間距進(jìn)行采樣,當(dāng)確定了采樣周期后,該系統(tǒng)所需要的網(wǎng)絡(luò)帶寬利用率也就相應(yīng)的固定了,具有可預(yù)測(cè)性,且易于實(shí)現(xiàn).20世紀(jì)90年代末,Karl等[5]首次提出了事件觸發(fā)機(jī)制(event-triggered mechanism,ETM)的思想,之后事件觸發(fā)控制引起了越來(lái)越多學(xué)者的關(guān)注.所謂事件觸發(fā)控制,是指控制任務(wù)是否執(zhí)行由事先給定的事件觸發(fā)條件決定,而不是根據(jù)時(shí)間情況決定[4].與時(shí)間觸發(fā)控制機(jī)制相比,事件觸發(fā)控制方案可以減少計(jì)算資源、電池裝置能源和通信資源使用[6-8].事實(shí)上,已經(jīng)通過(guò)實(shí)驗(yàn)表明,事件觸發(fā)控制方法可以有效地減少控制任務(wù)執(zhí)行數(shù)量,從而在保證閉環(huán)系統(tǒng)性能的基礎(chǔ)上,顯著地節(jié)約通信資源[2].

近年來(lái),人們對(duì)ETM的研究大多致力于設(shè)計(jì)事件觸發(fā)條件,通過(guò)將設(shè)計(jì)的ETM 集成到控制回路中,開(kāi)發(fā)了事件觸發(fā)控制(ETC)系統(tǒng).Peng等[9]提出一種雙通道事件觸發(fā)策略,實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的異步事件觸發(fā).Zha等[10-11]在靜態(tài)事件觸發(fā)機(jī)制中引入動(dòng)態(tài)變量,設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)了動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)策略(DETS),經(jīng)過(guò)驗(yàn)證能夠有效地增大事件觸發(fā)間隔.Girard[12]通過(guò)設(shè)計(jì)雙端動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)策略,研究了網(wǎng)絡(luò)化切換控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)輸出反饋控制(DOFC)問(wèn)題,但并未考慮系統(tǒng)存在的網(wǎng)絡(luò)時(shí)延和系統(tǒng)擾動(dòng)等外界因素.Aneel等[13]使用混合系統(tǒng)的方法,首次提出了一個(gè)非線性系統(tǒng)事件觸發(fā)鎮(zhèn)定的系統(tǒng)架構(gòu).Wang和Park等[14-15]分別研究了網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)和動(dòng)態(tài)輸出反饋控制問(wèn)題.Wang等[16]研究了一類(lèi)具有隨機(jī)耦合強(qiáng)度的時(shí)變網(wǎng)絡(luò)的彈性濾波問(wèn)題,引入事件觸發(fā)策略調(diào)度傳感器到濾波器的信號(hào)傳輸.Ge等[17]研究了網(wǎng)絡(luò)化線性系統(tǒng)在拒絕服務(wù)攻擊下基于觀測(cè)器的事件觸發(fā)控制問(wèn)題.Wang等[18]提出自適應(yīng)事件觸發(fā)策略,針對(duì)一類(lèi)具有未知執(zhí)行器故障的非線性系統(tǒng),設(shè)計(jì)了自適應(yīng)容錯(cuò)控制器實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo).在現(xiàn)有的文獻(xiàn)中,對(duì)于ETC系統(tǒng)的研究主要集中在假設(shè)控制器和執(zhí)行器位于同一位置的CPS,大多只考慮利用ETM節(jié)省傳感器到控制器信道中的通信資源.然而,CPS的控制器和執(zhí)行器位于不同的位置,這意味著設(shè)計(jì)傳感器-控制器(S-C)信道和控制器-執(zhí)行器(C-A)信道的事件觸發(fā)機(jī)制顯得尤為必要.

在現(xiàn)有研究成果中,還沒(méi)有同時(shí)考慮含有雙邊時(shí)延和系統(tǒng)擾動(dòng)的CPS動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)和動(dòng)態(tài)輸出反饋控制問(wèn)題的文獻(xiàn).基于此,上述問(wèn)題激發(fā)了對(duì)本課題的研究,本文的貢獻(xiàn)主要體現(xiàn)在以下三個(gè)方面:

1) 建立一個(gè)基于事件觸發(fā)通信的具有兩個(gè)區(qū)間時(shí)變延遲的線性系統(tǒng),在統(tǒng)一框架下同時(shí)考慮通信和控制問(wèn)題.

2) 在S-C信道和C-A信道引入DETS,建立具有雙端時(shí)延和異步動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)的控制系統(tǒng).

3) 提出一種雙端DETS和DOFC的協(xié)同設(shè)計(jì)方法,并證明了事件觸發(fā)間隔的正下界,消除了Zone現(xiàn)象.

1 問(wèn)題描述

CPS最基本的控制單元包括受控對(duì)象和控制器.考慮受控對(duì)象為如下線性時(shí)不變系統(tǒng):

(1)

其中:x(t)∈Rn,u(t)∈Rp,y(t)∈Rq分別是系統(tǒng)的狀態(tài)變量、控制輸入和測(cè)量輸出;z(t)∈Rz是系統(tǒng)被調(diào)輸出；ω(t)∈l2[t0,∞)是系統(tǒng)擾動(dòng);A、B、C和Bω是適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣.

如圖1所示,在S-C信道中,傳感器以恒定采樣周期采樣設(shè)備的測(cè)量輸出.ETM1確定是否應(yīng)傳輸系統(tǒng)的采樣輸出,系統(tǒng)輸出通過(guò)具有通信延遲的網(wǎng)絡(luò)到達(dá)數(shù)據(jù)處理單元(DPU),DPU使用特定的時(shí)序?qū)⑨尫诺脑O(shè)備輸出傳輸?shù)搅汶A保持器(ZOH),ZOH立即將釋放的設(shè)備輸出發(fā)送給DOFC.根據(jù)ZOH的性質(zhì),ZOH將保持系統(tǒng)被觸發(fā)的輸出信號(hào),直到下一個(gè)觸發(fā)量到來(lái).

圖1 CPS系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Diagram of CPS system structure

定義測(cè)量輸出誤差和控制輸入誤差：

ey=y(bkh+jh)-y(bkh)

(2)

eu=u(dkh+jh)-u(dkh)

(3)

基于上述傳輸特性,S-C信道和C-A信道的下一觸發(fā)時(shí)刻分別設(shè)計(jì)為

其中：y表示當(dāng)前觸發(fā)時(shí)刻的測(cè)量輸出y(tkh)；u表示當(dāng)前觸發(fā)時(shí)刻的控制輸入u(tkh)；β1,β2∈R;0<δ1<1,0<δ2<1是觸發(fā)條件的自由度；定義動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)條件的內(nèi)部動(dòng)態(tài)變量η1和η2為

其中λ∈R+.

對(duì)于S-C信道和C-A信道,η1和η2分別表示兩個(gè)信道事件觸發(fā)條件的靈活性.η1和η2越小,滿足觸發(fā)條件的可能性越大,則意味著觸發(fā)次數(shù)會(huì)增加,觸發(fā)時(shí)間間隔會(huì)減小.λ可被視為內(nèi)部動(dòng)態(tài)變量η的變化系數(shù),λ越小,表示η的變化越緩慢.為得到更大的觸發(fā)間隔,通常選擇更小的λ值,確保η的變化率比誤差的變化率小.η的取值大小決定η在事件觸發(fā)條件中扮演的角色的重要程度.隨著η值的增大,η對(duì)觸發(fā)條件的影響將變小,同時(shí)意味著觸發(fā)時(shí)間間隔變小.當(dāng)η→+∞時(shí),可將η對(duì)觸發(fā)條件的影響忽略不計(jì),此時(shí)動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)變?yōu)殪o態(tài)事件觸發(fā)策略(SETS).

(8)

對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)行時(shí)間進(jìn)行區(qū)間劃分,定義

ρk=min{l|tk+lh≤tk+1,l=0,1,2,…}

(9)

由tk

(10)

控制器側(cè)ZOH保持時(shí)間的劃分與傳感器側(cè)類(lèi)似,系統(tǒng)的全部運(yùn)行時(shí)間表示為各個(gè)保持子區(qū)間的集合:

(11)

θ(t)=t-bkh-(ρk-1)h

(12)

易知,θ(t)是一個(gè)分段線性函數(shù),且滿足:

(13)

定義測(cè)量輸出的誤差函數(shù)ey(t)為

ey(t)=y(bkh)-y(bkh+(ρk-1)h)ey(t)

(14)

(15)

基于此,設(shè)計(jì)如下形式的動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器:

(16)

控制器側(cè)DPU中的緩沖器接收并存儲(chǔ)ETM2的最新傳輸數(shù)據(jù),在每一時(shí)刻kh+τ(k∈N)如果緩沖區(qū)被更新,它的存儲(chǔ)將被發(fā)送到ZOH.式(1)中的控制輸入u(t)可以描述為

(17)

(18)

同時(shí),式(17)可被表示為

(19)

將式(19)帶入式(1),并結(jié)合式(16),可得閉環(huán)系統(tǒng)模型:

(20)

其中:

(21)

引理2假設(shè)f1,f2,…,fn∶Rm|→R在Rm的開(kāi)子集D中有正值,存在如下不等式:

(22)

引理3對(duì)于矩陣和任意標(biāo)量R≥0、X和任意標(biāo)量σ,下面不等式成立:

-XR-1X≤σ2R-2σ

(23)

2 穩(wěn)定性分析

本節(jié)在閉環(huán)系統(tǒng)模型(18)的基礎(chǔ)上,通過(guò)構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii函數(shù)(LKF)的方法,對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行分析.設(shè)θ0=0,θ1=τ,θ2=(θ1+θ3)/2,θ3=h+τ,θ4=(θ2-θ1)/2,ξ(t)=col{ξ(t-θ1)，ξ(t-θ2)},式(4)和式(5)的和η=η1+η2,則有

(24)

其中:

定理1對(duì)于給定的標(biāo)量γ>0,在DETM條件(4,5)下,如果存在適當(dāng)維數(shù)的實(shí)矩陣P>0,U>0,Q>0 (i=1,2,3),S1,S2時(shí),且滿足下列條件:

(25)

系統(tǒng)(20)漸近穩(wěn)定，且具有H∞性能指標(biāo)γ.

證明構(gòu)造一個(gè)LKF如下:

(26)

取P≥0，U≥0，Q≥0，Rc≥0(c=1,2,3).其中:

(27)

(28)

可得η=η1+η2≥0，因此V(t)是正定的.

定義

χ(t)=col{ξ(t),ξ(t-θ1),ξ(t-θ(t)),

ξ(t-θ2),ξ(t-θ3),ey(t),eu(t),ω(t)}

定義相關(guān)單位矩陣如下：

對(duì)V(t)進(jìn)行求導(dǎo):

ζT(t)Qζ(t)-ζT(t-θ4)Qζ(t-θ4)=

χT(t){[e2e4]Q[e2e4]T-

[e4e5]Q[e4e5]T}χ(t)

由式(12,14,18)的定義可得:

(29)

對(duì)動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)條件的內(nèi)部動(dòng)態(tài)變量η(t)求導(dǎo)數(shù):

(30)

χT(t){[e1-e2]R1[e1-e2]T}χ(t)

χT(t){[e9(θ2-θ1)2R3e9T-

χT(t){[e4-e5]R2[e4-e5]T}χ(t)

[θ4-θ3]S3[θ3-θ5]T+

[θ4-θ3]R3[θ4-θ3]T-

[θ3-θ5]R3[θ3-θ5]T}χ(t)

綜合上述兩種結(jié)論:

γ2ωT(t)ω(t)+γ2ωT(t)ω(t)

其中:

[e2e4]Q[e2e4]T-

[e4e5]Q[e4e5]T+

[e1-e2]R1[e1-e2]T-

(3-i)[e4-e5]R3[e4-e5]T-

(3-i)[e2-e3]R2[e2-e3]T-

(3-i)[e3-e4]R3[e3-e4]T+

(3-i)sym{[e3-e4]S2[e3-e4]T}-

(i-2)[e2-e4]R2[e2-e4]T-

(i-2)[e4-e3]R3[e4-e3]T-

(i-2)[e3-e5]R3[e3-e5]T+

(i-2)sym{[e3-e5]S2[e3-e5]T}+

δ1[CE1e3+e6][CE1e3+e6]T+

δ2[CcE2e3+e7][CE1e3+e7]T+

[e6e7][e6e7]T

建立系統(tǒng)的H∞性能，構(gòu)造函數(shù)J(t)如下:

(31)

假設(shè)定理1成立，可得:

(32)

(33)

δ1[CE1e3+e6][CE1e3+e6]T-

δ2[CcE2e3+e7][CE1e3+e7]T+

Ψ21=col{Ω1,Ω2,θ1e9,(θ2-θ1)e9,(θ3-θ2)e9,Ω3}

將J(t)從t=[t0,+∞)積分:

(34)

由于V(t0)=0，V(t)>0，所以可得

(35)

由上述結(jié)論，閉環(huán)系統(tǒng)滿足H∞性能，證畢.

3 控制器設(shè)計(jì)

3.1 動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器設(shè)計(jì)

定理1中得到了閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件.然而，定理1中的控制器增益矩陣(Ac、Acd、Bc、Cc)都與未知矩陣變量P耦合，因此控制器的增益矩陣不能直接通過(guò)計(jì)算式(25)得到.基于此，定理2給出了控制器增益增益矩陣的一般形式，以便利用LMI 技術(shù)獲得所需的控制器參數(shù).

(36)

則系統(tǒng)(20)漸近穩(wěn)定，其具有性能指標(biāo)H∞.

證明假設(shè)存在實(shí)矩陣P>0滿足式(25)，定義正定分塊矩陣P如下:

(37)

其中：Y、N、Y1∈Rn×n是正定矩陣；矩陣N是非奇異矩陣.設(shè)定Y1=NT(Y-X-1)N，由X>0，Y1>0和N是非奇異矩陣可知Y-X-1>0，對(duì)其使用Schur補(bǔ)定理，可得：

(38)

分別定義矩陣J1和J2為

(39)

定義矩陣H1和H2，對(duì)定理1條件進(jìn)行合同變換：

采用變量替換法，可得：

(43)

其中:

Φ6=[CXC],Φ7=[W10]

由式(43)可得，控制器增益矩陣可以表示為

(44)

(45)

且控制器增益矩陣在式(45)中給出，證畢.

3.2 動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)最小時(shí)間間隔

對(duì)于事件觸發(fā)控制系統(tǒng)，事件觸發(fā)器的最小事件觸發(fā)間隔必須是正的，以避免Zeno現(xiàn)象.定理3給出動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)的最小時(shí)間間隔.

定理3對(duì)于基于動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)策略的閉環(huán)系統(tǒng)(18)，動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)機(jī)制(4)和(5)的最小時(shí)間間隔可以分別表示為τ1和τ2：

其中:

a1=|λmaxA|，a2=|λmaxAc|

δ1‖y(bkh)‖

δ2‖u(dkh)‖

b1=|λmaxA|‖y(bkh)‖+‖C‖‖B‖‖y(bkh)‖

b2=|λmaxAc|‖u(dkh)‖+‖Cc‖‖Bc‖‖u(dkh)‖

證明與文獻(xiàn)[14]中的證明過(guò)程類(lèi)似，由于篇幅限制，此處省略該證明.

由0<δ1<1，0<δ2<1，可知式(46，47)中τ1>0，τ2>0，從而保證S-C信道和C-A信道的最小觸發(fā)間隔是正的，進(jìn)而消除了Zeno現(xiàn)象.

4 仿真算例

本節(jié)利用文獻(xiàn)[19]中的衛(wèi)星系統(tǒng)驗(yàn)證所提方法的有效性，其狀態(tài)空間表達(dá)式為

其中：選擇J1=J2=1，k=0.09，d=0.021 9.通過(guò)求解分析系統(tǒng)矩陣的特征值，可知開(kāi)環(huán)衛(wèi)星系統(tǒng)是不穩(wěn)定的.假定衛(wèi)星系統(tǒng)的初始狀態(tài)x0=col[0.2,-0.3,0.3,-0.2]，選擇其他參數(shù)C1=[0 0 0 1]，系統(tǒng)擾動(dòng)ω(t)=0.1sin(2πt)，γ=30.

根據(jù)定理2，利用Matlab的LMI工具箱求得系統(tǒng)的控制器增益矩陣如下：

系統(tǒng)的采樣周期和時(shí)延分別為h=0.1 s和τ=10 ms，仿真時(shí)間為100 s.因此，在仿真時(shí)間內(nèi)傳感器共采集1 000個(gè)數(shù)據(jù)包.圖2為雙端DETM下閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡，雙端DETM下的衛(wèi)星系統(tǒng)趨于穩(wěn)定并實(shí)現(xiàn)了H∞控制性能.

圖2 系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線Fig.2 System state response status

如表1所示，在式(4，5)中，分別選擇動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)傳輸自由度δ1=δ2=0.1，內(nèi)部動(dòng)態(tài)變量參數(shù)β1=β2=2.0，在S-C信道有183個(gè)數(shù)據(jù)包被成功發(fā)送，平均觸發(fā)間隔為0.546 s；C-A信道有226個(gè)數(shù)據(jù)包被發(fā)送，平均觸發(fā)間隔為0.443 s，其事件觸發(fā)通信瞬間如圖3所示.

表1 S-C信道和C-A信道的觸發(fā)次數(shù)Tab.1 Trigger times of S-C channel and C-A channel

圖3 動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)通信間隔Fig.3 Dynamic event triggered communication interval

當(dāng)β1=β2→+∞時(shí)，δ(t)對(duì)事件觸發(fā)條件的影響可以忽略不計(jì)，DETM可以近似為SETM.圖4為動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)自由度δ1=δ2=0.1，事件觸發(fā)內(nèi)部動(dòng)態(tài)變量參數(shù)β1=β2=99 999時(shí)的事件觸發(fā)時(shí)間間隔.可以看出，相比靜態(tài)事件觸發(fā)策略，動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)策略下能夠傳輸更少的數(shù)據(jù)包，具有更大的傳輸間隔，在動(dòng)態(tài)輸出反饋控制系統(tǒng)中使用雙邊DETM能夠保證滿意的控制性能，可以有效節(jié)省S-C和C-A信道的帶寬.

圖4 靜態(tài)事件觸發(fā)通信間隔Fig.4 Static event triggered communication interval

為了定量說(shuō)明該方法的有效性，選取不同的觸發(fā)自由度δi和內(nèi)部動(dòng)態(tài)變量參數(shù)βi.事件觸發(fā)條件下觸發(fā)次數(shù)與各參數(shù)的關(guān)系見(jiàn)表2和表3.

表2 不同δi下的觸發(fā)次數(shù)Tab.2 Trigger times under different δi

表3 不同βi下的觸發(fā)次數(shù)Tab.3 Trigger times under different βi

5 結(jié)論

針對(duì)傳感器和控制器不在同一位置的CPS通信控制問(wèn)題，構(gòu)建基于雙邊動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)策略的時(shí)滯系統(tǒng)模型框架.在提出的DETM下，動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器能夠保持系統(tǒng)穩(wěn)定.通過(guò)引入一個(gè)內(nèi)部動(dòng)態(tài)變量來(lái)擴(kuò)大事件觸發(fā)間隔,減少數(shù)據(jù)傳輸次數(shù)，有效地降低S-C信道和C-A信道的通信負(fù)擔(dān).此外，還證明了雙邊動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)的事件間隔存在一個(gè)正下界，避免了Zeno 行為.最后，通過(guò)衛(wèi)星系統(tǒng)仿真實(shí)例說(shuō)明了該方法的有效性.