基于局部均值分解的地面核磁共振信號包絡(luò)提取方法

田寶鳳，孫士聰，劉隆昌，蔣川東

1.地球信息探測儀器教育部重點實驗室(吉林大學(xué))，長春 130026 2.吉林大學(xué)儀器科學(xué)與電氣工程學(xué)院，長春 130026

0 引言

地面核磁共振(surface nuclear magnetic resonance, SNMR)又稱為磁共振測深(magnetic resonance sounding, MRS)，是一種先進(jìn)的能夠定量進(jìn)行地下水測量的地球物理勘探方法。與其他的地球物理方法相比，SNMR是一種定量、直接的找水方法，通過對地下水中氫質(zhì)子的響應(yīng)來實現(xiàn)地下水探測，無需鉆孔就能夠反演解釋地下水的含量、位置以及儲水介質(zhì)的孔隙大小等水文地質(zhì)信息[1]。因此，近年來，該方法在水資源探測、評價以及地質(zhì)災(zāi)害隱患監(jiān)測預(yù)警等方面均獲得了廣泛應(yīng)用[2-3]。但在實際的信號采集與包絡(luò)提取過程中，噪聲環(huán)境較為復(fù)雜，往往會淹沒納伏量級的SNMR信號，導(dǎo)致目標(biāo)信號特征無法辨識，嚴(yán)重制約了SNMR信號包絡(luò)的提取[4]。

針對SNMR有效信號檢測的問題，通常的技術(shù)手段是首先進(jìn)行噪聲壓制，然后再通過數(shù)據(jù)擬合方法提取包絡(luò)。普遍采用尖峰建模方法去除尖峰噪聲[5]，采用基于最小二乘法理論的工頻諧波建模等方法消除工頻諧波噪聲[6-7]，采用雙奇異值分解等方法同時抑制工頻諧波和隨機(jī)噪聲干擾[8]，實現(xiàn)參數(shù)提取。此外，田寶鳳[9]等提出了以獨立成分分析為基礎(chǔ)的快速固定點算法實現(xiàn)信噪分離，王琦等[10]對隨機(jī)噪聲背景下多弛豫SNMR信號提出了基于稀疏表示的參數(shù)提取方法。盡管如此，由于噪聲環(huán)境的高復(fù)雜性、不確定性與隨機(jī)性，SNMR信號的包絡(luò)提取問題依然是地面磁共振探測領(lǐng)域的前沿核心技術(shù)難題[11]。

因此，根據(jù)信號特征直接獲得SNMR信號的包絡(luò)提取方法吸引了諸多學(xué)者的目光。Ghanati等[12]基于經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(empirical mode decomposition，EMD)以及完全集合經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解方法對有效SNMR信號衰減趨勢進(jìn)行提取，但只有信噪比較高時才能獲得較好的包絡(luò)提取效果。Liu Lichao等[13]通過對SNMR信號使用譜分析和滑動窗口的方式提取信號包絡(luò)。上述方法雖然在一定前提條件下獲得了一定效果，但依然存在一定的局限性。

為實現(xiàn)SNMR信號與噪聲的有效分離，進(jìn)行多種工況下信號包絡(luò)的高精度提取，本文提出了基于局部均值分解(local mean decomposition, LMD)的SNMR信號包絡(luò)提取方法[14]。LMD算法能夠?qū)⑿盘柗纸獬梢幌盗谐朔e(product function，PF)分量，PF分量由包絡(luò)信號與純調(diào)頻信號相乘獲得，因而瞬時頻率是正的、連續(xù)的、具有物理意義的[15]。相較于常用的EMD算法，LMD算法采用滑動平均法來處理目標(biāo)信號，避免了EMD算法采用三次樣條函數(shù)形成上下包絡(luò)時產(chǎn)生的過包絡(luò)和欠包絡(luò)現(xiàn)象[16]。此外，LMD算法比EMD算法的端點效應(yīng)小且擴(kuò)散較慢[17]。本文首先采用LMD算法將原始含噪SNMR信號逐級分離，得到一系列的PF分量；其次通過PF分量逐一判定去除其他高頻成分；然后通過余量提取SNMR信號的包絡(luò)信息，進(jìn)一步采用非線性擬合方法提取關(guān)鍵參數(shù)，進(jìn)行誤差分析[18]；再通過仿真實驗，論證方法的提取效果與可行性；最后，通過野外實測數(shù)據(jù)進(jìn)一步證明所提LMD算法的有效性和實用性。

1 方法原理

1.1 局部均值分解

LMD算法能夠自適應(yīng)地將非平穩(wěn)、非線性的信號分解為一系列包含信號特征的PF分量，凸顯信號不同時間尺度的波動特征，保留原始信號的幅頻特性。

首先，對目標(biāo)信號f(t)進(jìn)行處理，得到第一個PF分量Z1(t)；接著，從原始信號f(t)中分離出Z1(t)，得到余量q1(t)，并將其作為新的待分解信號，循環(huán)分解；然后直至經(jīng)過k次循環(huán)后，分離出全部的PF分量，得到殘余分量qk(t)為一個單調(diào)函數(shù)，LMD算法分解結(jié)束。

(1)

最終，原始信號f(t)分解得到k個PF分量和殘余分量：

(2)

式中，Zi(t)為信號的第i個PF分量。

1.2 PF分量計算

PF分量是包絡(luò)信號與純調(diào)頻函數(shù)的乘積，這些乘積函數(shù)構(gòu)成的有限集合中元素的總和就是復(fù)雜信號的時頻分布，每一個元素稱為一個PF分量。PF分量的本質(zhì)是一個幅度、頻率調(diào)制信號，它的瞬時頻率可以用純頻率調(diào)制信號直接計算得出，反映了每個波動特征對應(yīng)的物理意義。而包絡(luò)信號就是PF分量的幅度調(diào)制函數(shù)。

對于頻率調(diào)制函數(shù)和幅度調(diào)制函數(shù)的計算，則通過以下過程實現(xiàn)。

首先，需要依次比較信號中某一采樣點與跟它相鄰的兩個采樣點的大小關(guān)系，得到信號包絡(luò)局部極值點ni，計算相鄰兩個極值點(包含極大值點和極小值點)的算術(shù)平均值mi為

(3)

計算相鄰兩個極值點的局部包絡(luò)函數(shù)值ai為

(4)

再連接mi序列得到一條折線，對ai采用相同方式得到另一條折線。

隨后，采用滑動平均法分別對2條折線進(jìn)行平滑處理，計算出信號Z1(t)第一次循環(huán)時的局部均值函數(shù)和包絡(luò)估計函數(shù)，記為m11(t)與a11(t)。從信號f(t)中分離出m11(t)得到余量h11(t)為

h11(t)=f(t)-m11(t)。

(5)

利用a11(t)對h11(t)進(jìn)行解調(diào)，計算得頻率調(diào)制信號為

(6)

式中：s11(t)為信號Z1(t)第一次循環(huán)下的頻率調(diào)制信號。

接著，以s11(t)作為新的待分解信號，進(jìn)行多次循環(huán)分解。當(dāng)分解了n次后，得到n個頻率調(diào)制函數(shù)與n個包絡(luò)估計函數(shù)。Z1(t)的分解計算過程如下：

(7)

(8)

當(dāng)Z1(t)的第n個頻率調(diào)制信號s1n(t)的包絡(luò)估計函數(shù)a1n+1(t)滿足式(9)條件時停止迭代，此時，s1n(t)為Z1(t)的純調(diào)頻信號。

1-Δ≤a1n+1(t)≤1+Δ。

(9)

(10)

Z1(t)=s1n(t)a1(t)。

(11)

最后，從信號中分離出得到的PF分量，對剩余信號重復(fù)上述計算過程，循環(huán)迭代，最終得到k個PF分量和單調(diào)的殘余分量qk(t)。

1.3 SNMR信號包絡(luò)提取流程

在分解SNMR信號的過程中，信號頻率與環(huán)境中摻雜噪聲的頻率往往十分接近。為此，首先對采集到SNMR信號采用Hilbert變換，轉(zhuǎn)換成復(fù)包絡(luò)信號，提取信號的實部與虛部；再對信號的實部與虛部分別進(jìn)行局部均值分解處理，得到各自的PF分量與余量。分解后信號f(t)可以表示為

(12)

式中：Re[·]表示實部數(shù)據(jù)；Im[·]表示虛部數(shù)據(jù)。

根據(jù)SNMR信號頻率的特征，分離出原始信號中的高頻成分，可以得到SNMR信號的包絡(luò)曲線：

x(t)=Re[qk(t)]+Im[qk(t)]·i。

(13)

對得到的包絡(luò)曲線進(jìn)行非線性擬合提取特征參數(shù)，以此還原出理想的SNMR信號。

我國國庫集中支付制度起步較晚，從2001年開始確立，緊接著在幾所本科高校實行改革試點，并在幾年內(nèi)在全國高校進(jìn)行推廣。發(fā)展到今天，國庫集中支付制度已經(jīng)得到了很多高校的認(rèn)可，各項工作的開展正有條不紊的進(jìn)行，對高校財務(wù)管理系統(tǒng)產(chǎn)生了較大影響。筆者根據(jù)實際工作和學(xué)習(xí)情況，對國庫集中支付對高校財務(wù)管理體系的構(gòu)建進(jìn)行研究，希望促進(jìn)我國高校財務(wù)管理體系的健康發(fā)展。

2 仿真實驗與結(jié)果分析

針對采集SNMR信號時噪聲環(huán)境較為復(fù)雜、隨機(jī)性高的問題，本文基于LMD算法對仿真SNMR信號進(jìn)行包絡(luò)提取，并量化提取結(jié)果的信噪比、初始振幅擬合誤差和平均橫向弛豫時間擬合誤差，來評估方法的有效性與優(yōu)越性。信噪比RSN計算方式為

(14)

式中：fE為理想SNMR信號；fx為含噪信號；PE為理想SNMR信號的功率；PN為噪聲的功率。

對提取到的理想SNMR信號趨勢項進(jìn)行非線性擬合，得特征參數(shù)的初始振幅和平均橫向弛豫時間的擬合誤差分別為：

(15)

(16)

式中：ΔE0為初始振幅擬合誤差；E0′為所提取包絡(luò)結(jié)果的初始振幅；E0為理想SNMR信號的初始振幅；ΔT2*為平均橫向弛豫時間擬合誤差；T2*′為所提取包絡(luò)結(jié)果的平均橫向弛豫時間；T2*為平均橫向弛豫時間。

2.1 迭代精度設(shè)置

在對信號進(jìn)行局部均值分解的過程中，內(nèi)層循環(huán)通過解調(diào)源數(shù)據(jù)與局部均值函數(shù)之差得到調(diào)頻信號，分析調(diào)頻信號的包絡(luò)是否為1來判斷該信號是否為純調(diào)頻信號，進(jìn)而決定是否跳出此次循環(huán)進(jìn)行下一個PF分量的求取。但在實際計算過程中，為了避免迭代次數(shù)過多，造成運(yùn)算量增大、程序運(yùn)行時間過長的問題，采取式(9)進(jìn)行判斷，即純調(diào)頻信號包絡(luò)信號的值域區(qū)間為[1-Δ，1+Δ]。Δ取值為10-7。

同時，在外層循環(huán)中，還需要判斷原始含噪信號分離出所有PF分量后的余量qk(t)是否為一單調(diào)函數(shù)，決定是否繼續(xù)迭代分解下一個PF分量。當(dāng)qk(t)的極值點數(shù)目小于2時，可認(rèn)為分解過程結(jié)束，原始含噪信號表示為所有PF分量與余量之和。

2.2 基于LMD的SNMR信號包絡(luò)提取結(jié)果

理想的全波核磁共振信號表達(dá)式為

(17)

式中：fL為采集地點的拉莫爾頻率；φ0為初始相位。

利用本文方法對目標(biāo)信號進(jìn)行處理。首先，對仿真含噪信號進(jìn)行Hilbert變換，將得到的復(fù)包絡(luò)信號分解為實部與虛部信號(圖2)。然后，采用LMD算法，分別對實部信號和虛部信號進(jìn)行分解，分別得到其各階PF分量(圖3)。以實部和虛部信號的最后2個PF分量作為特征分量合成目標(biāo)信號包絡(luò)(圖4)。在前0.05 s內(nèi)由于端點效應(yīng)導(dǎo)致包絡(luò)信號失真，但是在后續(xù)時間里包絡(luò)信號與理想SNMR信號保持一致的趨勢，包絡(luò)信號在理想包絡(luò)線處上下波動，經(jīng)過算法處理后提取出的信號損失與失真程度很小。

a. 幅值-時間圖；b. 幅值-頻率圖。

圖2 含噪SNMR包絡(luò)信號實部與虛部

對LMD算法處理結(jié)果采用最小二乘法進(jìn)行非線性擬合，目標(biāo)函數(shù)公式為

(18)

式中，fobs為 LMD算法處理后提取的包絡(luò)信號。圖1中也給出了LMD算法提取信號的擬合結(jié)果。由圖1可見，擬合信號SNMR呈現(xiàn)明顯的e指數(shù)衰減趨勢，與理想SNMR信號重合程度較高，能量損失較小。局部均值分解后提取的SNMR信號初始振幅擬合誤差為1.52%，平均橫向弛豫時間擬合誤差為1.93%，信噪比提升了29.0 dB。

為了進(jìn)一步討論LMD算法的適用范圍，分析算法在不同環(huán)境條件下的處理效果，開展了不同工頻諧波幅值、不同噪聲幅度、不同平均橫向弛豫時間的算法實驗，結(jié)果如表1、表2、表3所示。用LMD算法處理SNMR信號，當(dāng)信號初始信噪比大于-18.0 dB時，初始振幅和平均橫向弛豫時間的擬合誤差分別控制在±4.17%和±5.63%范圍內(nèi)，信噪比提升30.3～37.2 dB;當(dāng)初始信噪比低于-18.0 dB時，參數(shù)擬合誤差偏大，如當(dāng)初始信噪比為-21.4 dB時，初始振幅的擬合誤差可達(dá)15.02%，平均橫向弛豫時間的擬合誤差達(dá)到17.41%。

2.3 方法對比

為了更加全面、具象地說明算法的處理效果，通過仿真實驗將LMD算法與經(jīng)典的EMD算法和工頻諧波建模方法進(jìn)行對比，結(jié)果如圖5所示。從圖5中可以看出，對于3種方法的處理結(jié)果，LMD算法提取的SNMR信號包絡(luò)可以更好地逼近理想SNMR信號，而且受到端點效應(yīng)和模態(tài)混疊的影響更小。

經(jīng)過3種方法處理前所得后的參數(shù)提取誤差如

a. 實部；b. 虛部。

圖4 LMD算法提取SNMR信號包絡(luò)

表4所示，相比之下，LMD算法的初始振幅擬合誤差、平均橫向弛豫時間擬合誤差均為最小，信噪比提升程度最大，證明了LMD算法的處理效果更加準(zhǔn)確，提取的包絡(luò)與理想SNMR信號包絡(luò)趨勢最為接近。

3 實測數(shù)據(jù)處理結(jié)果

為驗證LMD算法對于實際復(fù)雜噪聲環(huán)境中SNMR信號包絡(luò)的提取效果，于長春市文化廣場實地采集信號源產(chǎn)生的SNMR信號和環(huán)境噪聲的合成數(shù)據(jù)開展算法實測數(shù)據(jù)實驗驗證。采用吉林大學(xué)自主研發(fā)全波磁共振探測儀器系統(tǒng)采集了4組不同參數(shù)的實測數(shù)據(jù)，采集線圈尺寸為25 m×25 m，采樣率為25 kHz，采樣時長為0.5 s，數(shù)據(jù)1、數(shù)據(jù)2與數(shù)據(jù)4的拉莫爾頻率為2 355 Hz，數(shù)據(jù)3的拉莫爾頻率為2 360 Hz。從圖6中可以看出，含噪信號中都存在較大工頻和隨機(jī)噪聲，且在拉莫爾頻率點附近有噪聲的密集分布。經(jīng)過LMD算法處理后，由擬合后SNMR信號與含噪SNMR信號的對比可以發(fā)現(xiàn)，本文方法可以有效去除噪聲，提取目標(biāo)信號包

表1 不同工頻諧波幅值下LMD算法處理結(jié)果的信噪比與參數(shù)擬合誤差

表2 不同隨機(jī)白噪聲幅值下LMD算法處理結(jié)果的信噪比與參數(shù)擬合誤差

表3 不同平均橫向弛豫時間下LMD算法處理結(jié)果的信噪比與參數(shù)擬合誤差

圖5 LMD算法、EMD算法和工頻諧波建模方法處理結(jié)果對比

表4 LMD、EMD與工頻諧波建模參數(shù)擬合誤差與信噪比提升程度

絡(luò)。4組數(shù)據(jù)處理后平均橫向弛豫時間擬合誤差分別為1.53%、4.80%、3.65%、2.30%，可見，基于LMD的SNMR信號包絡(luò)提取方法有著很好應(yīng)用性與精確性，可以有效地從復(fù)雜噪聲中提取目標(biāo)的SNMR信號，反映水體特征。

a. 數(shù)據(jù)1；b. 數(shù)據(jù)2；c. 數(shù)據(jù)3；d. 數(shù)據(jù)4。

4 結(jié)論

1) 基于LMD算法實現(xiàn)了對不同信噪比下含噪信號復(fù)包絡(luò)的實部與虛部的分解，基于余量組合實現(xiàn)了對SNMR信號包絡(luò)的有效提取。算法仿真結(jié)果表明，該方法能夠有效去除隨機(jī)噪聲、工頻諧波等環(huán)境噪聲，初始振幅的擬合誤差在±4.17%之內(nèi)，平均橫向弛豫時間的擬合誤差在±5.63%之內(nèi)，信噪比提高了30.3～37.2 dB。

2) 對比分析了LMD算法與經(jīng)典EMD包絡(luò)提取算法和諧波建模方法的性能，表明LMD算法有著較好的優(yōu)越性與準(zhǔn)確程度，提取的包絡(luò)與理想信號包絡(luò)更加吻合。實測數(shù)據(jù)處理結(jié)果進(jìn)一步驗證了方法的有效性。該方法可以顯著提升參數(shù)提取精度，降低運(yùn)算時間，減少環(huán)境噪聲對勘查結(jié)果的影響。 對于拓展磁共振探測儀器的應(yīng)用范圍具有借鑒意義。