Clifford分析中帶有精確常數(shù)的Schwarz引理

王海燕，孫寧馨，邊小麗

(天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 理學(xué)院，天津 300222)

§1 引言

Schwarz引理是復(fù)分析中最基本的定理之一，它揭示了解析函數(shù)的幾何特性.Ahlfors第一次將幾何概念引入了Schwarz引理[1-2]，Yau于1978年將其推廣到K?hler流形[3].近幾年來(lái)，Schwarz引理逐步推廣到非交換空間.文獻(xiàn)[4]給出了一般歐氏空間中的Schwarz引理，張忠祥在文獻(xiàn)[5-6]基于Poisson積分公式建立了Clifford分析中Dirac算子對(duì)應(yīng)的Schwarz引理，并通過(guò)M?bius變換給出了Clifford分析中的Schwarz-Pick引理，為在Clifford分析中研究正則函數(shù)的幾何特性奠定了基礎(chǔ).文獻(xiàn)[7]將該結(jié)果推廣到非交換，非結(jié)合空間中，文獻(xiàn)[8]基于Cauchy積分公式給出了低維空間中與Helmholtz算子相關(guān)的Schwarz引理，文獻(xiàn)[9]將Schwarz引理推廣到Slice Clifford分析.

基于以上結(jié)果，本文首先從Poisson積分公式出發(fā)，給出了文獻(xiàn)[6]中Schwarz引理的推廣形式，然后利用Cauchy積分公式和Hile引理，建立了Clifford分析中帶有精確常數(shù)的Schwarz引理(如下)，對(duì)低維通過(guò)畫(huà)圖直觀地展示了該方法得到的常數(shù)優(yōu)于基于Poisson積分公式得到的結(jié)果，對(duì)一般情況進(jìn)行了詳細(xì)的證明.

主要結(jié)果設(shè)B(0，R1)?Rn+1，函數(shù)1(B(0，R1)，Cl(n))滿足f(0)0，Df(x)0，|f(x)|≤R2，(0，R1)，則對(duì)任意的(0，R1)，有

§2 預(yù)備知識(shí)

設(shè)e1，e2，···，en是n-維實(shí)向量空間Rn上的標(biāo)準(zhǔn)正交基.引入乘法運(yùn)算，滿足

在該乘法下它們生成了非交換可結(jié)合的Clifford代數(shù)，記為Cl(n)[10-15].

通常e0等同于實(shí)數(shù)1，實(shí)數(shù)空間R可以視為Clifford代數(shù)Cl(n)的子空間，Rn+1中的元素可以看成一個(gè)Clifford數(shù)x(x0，x1，...，xn)定義共軛運(yùn)算，其滿足

對(duì)任意元素Rn+1其共軛為

由于

則對(duì)任意Rn+1{0}具有逆元素

Clifford分析中，一般研究Dirac算子

對(duì)于任意Clifford值函數(shù)f:Rn+1-→Cl(n)，將其表示為

其中

且1≤α1＜α2＜αh ≤n，當(dāng)A?時(shí)，eA1，fA(x)是實(shí)值函數(shù).Dirac算子作用到函數(shù)上按照如下規(guī)則

Dirac算子的共軛算子定義為

滿足

其中Δ是Rn+1中Laplace 算子.Dirac 算子D的基本解(稱(chēng)為Cauchy 核)具有顯示表達(dá)式

其中

是Rn+1中單位球面的面積.在Rn+1中，體積測(cè)度記為

表示從dvy中去掉dyi.Clifford值的面積微元和經(jīng)典的面積微元dS之間滿足

定義2.1在開(kāi)集U ?Rn+1中，若連續(xù)可微函數(shù)f在U中滿足

則稱(chēng)f是U中左(右)正則函數(shù).

§3 Schwarz引理

本節(jié)給出Clifford分析中Dirac算子對(duì)應(yīng)的Schwarz引理.定理3.1實(shí)際上是文獻(xiàn)[6]中定理3.1的推廣形式，證明方法也如文獻(xiàn)所示從Poisson積分公式出發(fā);定理3.2是本文的主要結(jié)果，從Dirac算子對(duì)應(yīng)的Cauchy積分公式出發(fā)并利用Hile引理，給出了Schwarz引理的精確估計(jì)，該定理中出現(xiàn)的常數(shù)優(yōu)于定理3.1的相應(yīng)常數(shù).

為下文方便地比較兩常數(shù)，給出文獻(xiàn)[6]中定理3.1的推廣形式及完整的證明過(guò)程.符號(hào)B(0，R1) 是Rn+1中，中心在原點(diǎn)，半徑是R1的開(kāi)球，?B(0，R1)是B(0，R1)的球面.

定理3.1設(shè)B(0，R1)?Rn+1，1(B(0，R1)，Cl(n))滿足

則對(duì)任意(0，R1)，有

再利用假設(shè)對(duì)任意(0，R1)，有|f(x)|≤R2，對(duì)其變形得到

為方便比較(1)和(2)，令

進(jìn)一步

因此，對(duì)任意(0，R1)，有

引理3.1對(duì)任意(0，r)和(0，r)，Cauchy核滿足

證由Cauchy核的定義，可知

利用Hile引理(見(jiàn)文獻(xiàn)[17]，p178)，得到

所以對(duì)任意(0，r)

注該引理建立了Cauchy核和Poisson核之間的關(guān)系，為下文運(yùn)用Cauchy積分公式建立帶有精確常數(shù)的Schwarz引理做了鋪墊.

定理3.2(Schwarz引理推廣形式) 設(shè)B(0，R1)?Rn+1，函數(shù)1(B(0，R1)，Cl(n))滿足

則對(duì)任意的(0，R1)，有

證第一步:證明存在(0，1)，使得對(duì)任意的(0，R1)，有

對(duì)任意左正則函數(shù)f(x)，其中(0，r)， 0＜r ＜R1，由Cauchy積分公式[10]，得

特別地，當(dāng)x0時(shí)，有

由已知f(0)0，可以推出

利用引理3.1中Cauchy核和Poisson核之間如下關(guān)系式

和文獻(xiàn)[16]中公式

及本文中函數(shù)f(y)所滿足的條件對(duì)任意(0，R1)，有|f(y)|≤R2，可以得到

令r →則對(duì)任意0＜|x|＜R1，有

另外，可以將已知條件|f(x)|≤R2變形為

為分析(3)和(4)，令函數(shù)

的分子g(t)(1+t)n -(2-t)在[0，1]連續(xù)，由零點(diǎn)定理及g(t)在(0，1)上為單射知存在唯一的(0，1)使得(1+t)n-(2-t)0，不妨記為t則

因而

這意味著

因此，對(duì)任意的(0，R1)，有

例為了直觀地揭示定理3.2，首先從圖上觀察n2情形下，函數(shù)ψ(t)的大小關(guān)系.從圖上可以看到

圖3 和ψ

這意味著

另外，從圖2可以看到

圖2 和ψ

這意味著

n3的情形如圖4-6所示，不再過(guò)多解釋.

圖4 和ψ

圖5 和ψ

圖6 和ψ

注從圖1到6可以直觀地看出，

圖1 和ψ

即基于Cauchy積分公式和Hile引理得到的常數(shù)要精確于基于Poisson積分公式得到的常數(shù)[6]，并該常數(shù)與R3中Helmholtz算子對(duì)應(yīng)的結(jié)果相吻合[8].

作為一個(gè)特列，有以下結(jié)論

定理3.3(Schwarz引理) 設(shè)B(0，1)?Rn+1，函數(shù)1(B(0，1)，Cl(n))滿足

則對(duì)任意(0，1)，有