“數(shù)級”重要？還是“數(shù)位”重要？

黃錦棠

在人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，四年級上冊“大數(shù)的認(rèn)識”是二年級下冊“萬以內(nèi)數(shù)認(rèn)識”的知識延伸，是自然數(shù)數(shù)域的最后一次擴(kuò)充。在教學(xué)中，教師常常被大數(shù)的改寫和估算的重災(zāi)區(qū)吸引目光，往往忽略學(xué)生在讀寫數(shù)上的認(rèn)識障礙。誠然，學(xué)生在單元后期讀寫數(shù)的正確率有所保障。但在學(xué)習(xí)之初總有一部分學(xué)生被牽絆著腳步，問題出現(xiàn)在哪？筆者以為出在對“數(shù)級”觀念的認(rèn)識。

一、數(shù)的概念教學(xué)的變遷

教師教學(xué)用書中多次強(qiáng)調(diào)“數(shù)概念教學(xué)”。那什么是“數(shù)概念教學(xué)”呢？筆者以為主要包括數(shù)的認(rèn)識、數(shù)感、數(shù)位、位值、數(shù)級等概念教學(xué)。從一年級認(rèn)數(shù)開始到四年級億以上數(shù)的認(rèn)識，對自然數(shù)的概念教學(xué)可以分成三個階段，如表1所示。

在自然數(shù)數(shù)域的認(rèn)識過程中，主要經(jīng)歷了幾個階段：一是從一一對應(yīng)認(rèn)識具體的數(shù)代表的數(shù)值;二是引入數(shù)位概念，結(jié)構(gòu)性認(rèn)識數(shù)的組成，包括讀數(shù)、寫數(shù)和改寫等。三是引入數(shù)級，通過遷移學(xué)習(xí)大數(shù)。可以理解為直觀認(rèn)識、客觀分析、抽象推理三個層次。所以，四年級上冊的“大數(shù)認(rèn)識”的主要任務(wù)是利用已學(xué)的認(rèn)識數(shù)的模型，進(jìn)一步推廣數(shù)域。

二、每個數(shù)級的讀寫方法

大數(shù)的認(rèn)識是自然數(shù)域的最后一個階段，學(xué)生對數(shù)的認(rèn)識也逐漸從直觀的數(shù)量向抽象的數(shù)位逐步轉(zhuǎn)變。然而，大數(shù)的讀寫的關(guān)鍵其實(shí)在于二年級“萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”，在于個級的讀寫。然而該章節(jié)的教學(xué)只提到了“讀數(shù)的順序”以及“有關(guān)0的讀法”，卻從沒對讀法有過具體的指導(dǎo)。不僅如此，甚至不管在哪冊教材都沒有提及。仿佛編者和老師都把萬以內(nèi)數(shù)的讀法默認(rèn)為一種本能，僅需要喚醒即可。本能是建立的知識經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上的，事實(shí)上總存在部分學(xué)生在這方面經(jīng)驗(yàn)不足。就算是會讀寫了，很多學(xué)生和老師也講不清其中的原理，知其然而不知其所以然。這不是我們提倡的“用數(shù)學(xué)的眼光分析世界”該有的樣子。那么具體的讀寫數(shù)的方法又是什么呢？

其實(shí)每個數(shù)級的讀寫方法說來也簡單，就是按“數(shù)字-計(jì)數(shù)單位”的不斷交替。例如，二年級“萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”中的3745，讀作：三千七百四十五。其中3、7、4、5都是數(shù)字，讀完以后加上對應(yīng)的“計(jì)數(shù)單位”。這種結(jié)構(gòu)化思考，看到的是規(guī)律而不是呈現(xiàn)的表象。

三、四位一級的計(jì)數(shù)規(guī)律

（一）從“萬”到“億”的鴻溝

從二年級“萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”到四年級“億以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”，完全是從微觀操作到宏觀思考，從直觀感受到抽象理解的轉(zhuǎn)變，但很多老師甚至都沒覺察到這一點(diǎn)，也就無法理解后進(jìn)生的痛苦。這是由于計(jì)數(shù)單位的量級以及大數(shù)的位數(shù)過多導(dǎo)致的必然結(jié)果。

在學(xué)習(xí)“萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”時，一般通過數(shù)型結(jié)合，在數(shù)量逐步堆積過程中感受各個數(shù)位所代表的位值。而億以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識卻不吃這一套。因?yàn)橐坏?shù)量超過一萬，學(xué)生是無法通過視聽效果去區(qū)分對萬以上計(jì)數(shù)單位。再組當(dāng)一長串?dāng)?shù)字?jǐn)[在學(xué)生面前，他們腦海里只有一個概念——“都很多”，然后就是無從下手。

（二）結(jié)構(gòu)化分級讀寫數(shù)

那么，我們可能從“萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”的學(xué)習(xí)中遷移什么呢？筆者以為是四位一級的計(jì)數(shù)規(guī)律。它是整個單元的教學(xué)核心，人教版教參的意圖也是如此，教材的每一個小結(jié)也有所體現(xiàn)。

四年級上冊“大數(shù)的認(rèn)識”例2教學(xué)中有關(guān)24960000的讀法，教材中給出了兩個樣例：“二千萬四百萬九十萬六萬”和“二千四百九十六萬”。這兩種讀法應(yīng)該說都是對的，但很多老師都沒能弄明白第一種讀法的由來。在教師用書配套的教學(xué)設(shè)計(jì)中提到，第一種讀法中都有一個“萬”字，所以可以提取出來。這是一種牽強(qiáng)的說法，與教材中數(shù)位表的呈現(xiàn)規(guī)律并不一致。筆者以為兩種讀法都是對“萬以內(nèi)數(shù)讀法”的正向遷移，只不過遷移的方式有所不同。第一種讀法，遷移了“從數(shù)字-計(jì)數(shù)單位”交替讀的規(guī)律，所以每次都讀出完整的計(jì)數(shù)單位，出現(xiàn)4次“萬”。第一種讀法，遷移了整個個級的讀法，只不過萬級的單位是“萬”，所以最后加了一個“萬”字。這就是微觀與宏觀的區(qū)別。

在學(xué)習(xí)大數(shù)的認(rèn)識以后，教材不再鼓勵逐個數(shù)字的讀寫，而是眼中只有數(shù)級。億以上的數(shù)也不再是一長串?dāng)?shù)字，而是把數(shù)級打包，只是三個數(shù)的組合，每個級都按個級的方法讀寫，然后相應(yīng)的加上“億”和“萬”。所以一線教學(xué)特別強(qiáng)調(diào)分級線的重要性。這種結(jié)構(gòu)化思考，看到的零散而不是呈現(xiàn)的表象。

四、教材編寫的取舍糾結(jié)

事實(shí)上，我們可以看到教材編寫的左右為難。在教師用書中，多次強(qiáng)調(diào)要緊緊抓住數(shù)的分級，先看級再看位，從高位起，一級一級的讀寫。但是教材中的體現(xiàn)卻不明顯，一方面在小結(jié)時提到要按數(shù)級來讀數(shù)，另一方面在例題中呈現(xiàn)的是數(shù)位而不是數(shù)級。一方面想培養(yǎng)學(xué)生結(jié)構(gòu)化的讀寫，另一方面又怕后進(jìn)生失去了數(shù)位表就不會獨(dú)立“行走”，結(jié)果兩邊不討好，互相干涉。而北師大版則十分干脆，給出兩種不同的方法，讓學(xué)生各取所需（見圖2）。我們可以提倡分級讀寫，培養(yǎng)學(xué)生結(jié)構(gòu)化的思考的能力，同里也可以讓學(xué)生對照數(shù)位表按“數(shù)字-計(jì)數(shù)單位”交替讀寫，兩者進(jìn)行比較既能體現(xiàn)算法的多樣性，為不同層次的學(xué)生提供不同的需要。而且通過對比，算法優(yōu)化更有助于學(xué)生深度理解分級讀寫的好處，何樂而不為。