基于核心素養(yǎng)的定積分單元教學(xué)設(shè)計(jì)

◎趙晨如 王淑芬 (新疆石河子大學(xué)，新疆 石河子 83000)

2016年呂世虎教授等人發(fā)表的《數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)的內(nèi)涵、特征以及基本操作步驟》一文中強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)必須站在提升學(xué)生核心素養(yǎng)的角度上；2016年鐘啟泉教授在《基于核心素養(yǎng)的課程發(fā)展：挑戰(zhàn)與課題》一文中指出“核心素養(yǎng)—課程標(biāo)準(zhǔn)—單元設(shè)計(jì)—課時(shí)計(jì)劃”是環(huán)環(huán)相扣的教師教育活動(dòng)的基本環(huán)節(jié)；2017年喻平在《發(fā)展學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)目標(biāo)與策略》一文中給出一系列教學(xué)策略；《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》中明確提出要著力發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)具體來說就是以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目標(biāo)，綜合性、深入性地研究教材內(nèi)容，全面性、系統(tǒng)性地分析知識(shí)的關(guān)聯(lián)性，有針對(duì)性地選擇講授主線，將教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行再組織、設(shè)計(jì)、優(yōu)化之后，形成一個(gè)更符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律、數(shù)學(xué)知識(shí)體系的新整體.在單元教學(xué)設(shè)計(jì)中研究主線的精確選擇是保證后續(xù)教學(xué)設(shè)計(jì)及教學(xué)效果的關(guān)鍵，本文以數(shù)學(xué)文化滲透為單元設(shè)計(jì)研究主線，從微積分的實(shí)際問題起源出發(fā)，通過定積分案例開展分析，從中體現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

一、分析單元內(nèi)容，對(duì)標(biāo)核心素養(yǎng)

定積分這一單元是高中數(shù)學(xué)選修2-2中第一章“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”的內(nèi)容，在變化率及導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)之后進(jìn)行學(xué)習(xí)，主要包含曲邊梯形面積求解、變速運(yùn)動(dòng)的路程求解、概念產(chǎn)生、公式運(yùn)用等.這一部分內(nèi)容既包含了問題、概念、應(yīng)用，又涉及數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)美等數(shù)學(xué)文化，可以很好地落實(shí)六大核心素養(yǎng).

要完成本單元的教學(xué)目標(biāo)，教師要系統(tǒng)熟悉微積分發(fā)展史的歷程，并以此為基礎(chǔ)梳理知識(shí)框架，構(gòu)建微積分思維導(dǎo)圖，使其內(nèi)容按照歷史發(fā)展順序整體呈現(xiàn)學(xué)生眼前，這樣可達(dá)到事半功倍的效果.如表1是按照數(shù)學(xué)發(fā)展順序?qū)χR(shí)點(diǎn)的分析.

表1：相關(guān)知識(shí)點(diǎn)分析

這一單元內(nèi)容從整體把握定積分相關(guān)知識(shí)，將數(shù)學(xué)史穿成一條線，這樣有助于學(xué)生理解“微積分從哪來、怎么用、在哪里用”等問題，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

二、分析教學(xué)要素，研究教學(xué)策略

俗話說“磨刀不誤砍柴工”，因此，我們要做好單元教學(xué)設(shè)計(jì)，就必須對(duì)影響教學(xué)效果的各教學(xué)要素的整體性、關(guān)聯(lián)性、發(fā)展性進(jìn)行詳細(xì)分析.本文整體把控了單元內(nèi)容,明晰了課程標(biāo)準(zhǔn)，全方位汲取了各版本教材的優(yōu)點(diǎn)，充分了解了學(xué)生的已有知識(shí)水平、認(rèn)知規(guī)律等，精準(zhǔn)把握了單元內(nèi)容的重難點(diǎn).

(一)教學(xué)要素分析

1.學(xué)科分析

微積分的創(chuàng)立在數(shù)學(xué)發(fā)展史上具有里程碑的意義，牛頓—萊布尼茲公式將看似無關(guān)的導(dǎo)數(shù)與定積分完美地聯(lián)系在一起，架起了數(shù)學(xué)與物理兩大學(xué)科間的橋梁，很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.

高中階段定積分單元的內(nèi)容也是后續(xù)高等數(shù)學(xué)要繼續(xù)深入學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容.該單元作為培養(yǎng)學(xué)生從數(shù)學(xué)“初等有限思維”到“高等無限逼近”的入門篇，在學(xué)生整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的螺旋上升過程中起著舉足輕重的作用，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生用動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)眼光“思考問題、分析問題、提出解決方案、抽象數(shù)學(xué)共性、建立數(shù)學(xué)模型”更是意義非凡.這恰好體現(xiàn)了課標(biāo)中要求的“數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理”等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2.課標(biāo)分析

2017版新課標(biāo)對(duì)微積分的教學(xué)提出了更高要求.首先，微積分這一內(nèi)容設(shè)置在選擇性必修模塊，以強(qiáng)調(diào)其重要性.其次，注重與高等數(shù)學(xué)接軌，使課程更具連貫性；對(duì)連續(xù)函數(shù)給出明確的定義，注重對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)語言的培養(yǎng)；強(qiáng)調(diào)借助幾何直觀和物理情境引入微積分思想，對(duì)實(shí)際應(yīng)用能力提出更高的要求；此外，新課標(biāo)明確要求學(xué)生要對(duì)微積分發(fā)展史有清晰的了解.

3.教材分析

不同版本的教材對(duì)“定積分”單元編寫均是按照“具體實(shí)例—抽象概念—實(shí)際應(yīng)用”的模式呈現(xiàn)的，體現(xiàn)了從具體到抽象再到具體的思想方法.但是不同版本在“曲邊梯形的面積”和“汽車行駛的路程”求解過程的呈現(xiàn)方式不同，在應(yīng)用部分的拓展也有一定區(qū)別.

(1)引入部分

人教版教材對(duì)上述兩個(gè)問題進(jìn)行具體分析并提出思考，清晰地呈現(xiàn)“分割、近似、求和、取極限”四個(gè)步驟，更關(guān)注概念形成，突出了“以直代曲”“有限到無限”“逼近”的思想，通過歸納分析得出定積分的概念.

北師大版類似于數(shù)學(xué)解題，直接劃分區(qū)間求和，方法步驟極為簡便，沒有體現(xiàn)微積分思想.

(2)應(yīng)用部分

人教版在“定積分的簡單應(yīng)用”部分介紹了幾何和物理兩個(gè)方面；而北師大版介紹了平面圖形和幾何體體積的應(yīng)用，考查了學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，雖然從二維到三維跨度較大，但是有利于提高學(xué)生思維水平，同時(shí)與高等數(shù)學(xué)銜接得更好.

4.學(xué)情分析

學(xué)生通過學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的相關(guān)內(nèi)容，對(duì)“極限”思想有了一定了解.這一部分內(nèi)容對(duì)學(xué)生的抽象思維水平要求較高，學(xué)生難以將有限延伸到無限，教學(xué)過程中教師要考慮到學(xué)生的思維水平和認(rèn)知規(guī)律，不斷引導(dǎo)學(xué)生在類比、歸納和總結(jié)過程中掌握定積分這一單元的知識(shí)點(diǎn).

5.重難點(diǎn)分析

本單元是一個(gè)全新的起點(diǎn)，運(yùn)用“分割、近似、求和、取極限”思想解決曲邊梯形的面積及變速運(yùn)動(dòng)的路程問題,較難理解，同時(shí)定積分的概念具有抽象性，既是重點(diǎn)也是難點(diǎn).重點(diǎn)是理解定積分的幾何意義，能夠運(yùn)用牛頓—萊布尼茨公式進(jìn)行簡單的定積分計(jì)算，其中蘊(yùn)含的“極限”“以直代曲”“有限到無限”等思想是一大難點(diǎn).

(二)選擇教學(xué)策略

1.工具化策略

借助多媒體輔助教學(xué)，幾何畫板演示劉徽的割圓術(shù)，有限到無限分割讓學(xué)生直觀觀察，通過已有知識(shí)并借助幾何圖形直觀想象感知事物的形態(tài)與變化.

2.問題探究策略

問題探究是通過一系列的問題思考、分析、探究等方式發(fā)現(xiàn)知識(shí)，通過不斷提出問題引導(dǎo)學(xué)生思考，發(fā)散學(xué)生的思維.

3.縱向?qū)Ρ炔呗?/p>

縱向?qū)Ρ仁菍?duì)不同歷史階段的定積分符號(hào)對(duì)比分析，通過比較各種符號(hào)的特點(diǎn)，體會(huì)數(shù)學(xué)美，并理解定積分的幾何意義.

4.主體啟發(fā)策略

引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生，激發(fā)學(xué)生的思維，從平面面積到立體體積的拓展，讓學(xué)生的思維從二維空間上升到三維空間，從而培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象的核心素養(yǎng).

三、確定教學(xué)目標(biāo)，選擇教學(xué)方式

教學(xué)目標(biāo)是教學(xué)的方向，教學(xué)設(shè)計(jì)的核心工作，引領(lǐng)著整個(gè)教學(xué).教師通過分析課程標(biāo)準(zhǔn)并結(jié)合微積分史，以“歷史發(fā)展”的視角構(gòu)建“定積分”單元，整體把握單元目標(biāo)及章節(jié)目標(biāo)，并通過這些目標(biāo)選擇合適的教學(xué)方式.教學(xué)目標(biāo)及方式如表2：

表2 教學(xué)目標(biāo)及方式

四、順承知識(shí)邏輯，設(shè)計(jì)教學(xué)片段

通過上述對(duì)教材、內(nèi)容、目標(biāo)等分析，教師對(duì)部分教學(xué)片段進(jìn)行設(shè)計(jì)，分別從數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)拓展幾個(gè)方面探究.

(一)“溯源式”案例(教師為主)：

1.教學(xué)目標(biāo)：通過“割圓術(shù)”“曲邊梯形面積求解”“變速直線運(yùn)動(dòng)的路程求解”等例子的分析，使學(xué)生掌握定積分的思想.

2.教學(xué)策略及手段：①借助幾何畫板的直觀性演示劉徽的“割圓術(shù)”，使學(xué)生直觀感受無限逼近的過程，感受數(shù)學(xué)的魅力與數(shù)學(xué)家的智慧.②追溯微積分的發(fā)展源頭，讓學(xué)生明白抽象數(shù)學(xué)概念的來源是離不開實(shí)際應(yīng)用的，不是“無源之水”.

3.教學(xué)方式：直觀演示、啟發(fā)引導(dǎo)、問題講解

4.教學(xué)過程

師：同學(xué)們，你們聽過“割圓術(shù)”嗎？

生回答.

師：“割之彌細(xì)，所失彌少；割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣.”這句話有誰知道是什么意思？

生5秒思考.

師：下面我們一起通過幾何畫板來直觀感受一下這句話的本質(zhì).

活動(dòng)：展示幾何畫板.

n-1=5.00

n-1=11.00

師：如果邊數(shù)n不斷變大，會(huì)是什么情況呢？

生5秒思考，師提問1-2人.

師(拓展)：偉大的數(shù)學(xué)家劉徽算到圓的正3072邊形時(shí)，正多邊形的面積已經(jīng)非常接近圓的面積了，當(dāng)邊數(shù)繼續(xù)增大時(shí)，兩者的差距就會(huì)繼續(xù)縮小，越來越接近零.

師(凝練)：這個(gè)例子中的用已知正多邊形來逼近圓的思想非常重要.

師(總結(jié))：“割圓術(shù)”中蘊(yùn)含的用已知多邊形來逼近圓的數(shù)學(xué)思想就是我們這節(jié)課重點(diǎn)來探討的核心思想.

師(追溯)：17世紀(jì)偉大數(shù)學(xué)家牛頓解決物理上的運(yùn)動(dòng)問題及萊布尼茲在解決“微分三角形”的問題時(shí)都揭示了積分思想的萌芽.

師(回歸)：當(dāng)跳出物理和幾何背景后發(fā)展成熟的定積分思想在社會(huì)發(fā)展中起著重要的作用，更是為物理和幾何的應(yīng)用提供了強(qiáng)有力的支撐.

(二)“探究式”案例(學(xué)生為主)：定積分概念的講解

1.教學(xué)目標(biāo)：引導(dǎo)學(xué)生探究歸納不同問題的共有屬性，深入分析后，教師給出抽象的定積分概念，另通過直觀幾何意義使學(xué)生加深對(duì)概念的理解.

2.教學(xué)策略及手段：設(shè)置一系列遞進(jìn)問題，創(chuàng)設(shè)問題情境，用類比的方法培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，培養(yǎng)創(chuàng)新思維.

3.教學(xué)方式：問題探究、小組討論、啟發(fā)引導(dǎo)

4.教學(xué)過程

知識(shí)前提：師生已經(jīng)完成曲邊梯形面積和變速直線運(yùn)動(dòng)路程的求解過程分析.

問題1：對(duì)比曲邊梯形面積和變速直線運(yùn)動(dòng)路程的求解過程你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

問題2：對(duì)于更一般的曲邊圖形的面積能不能用“四部曲”(如圖1所示)？

圖1 曲邊圖形

問題3：類比區(qū)間[0，1]的分割完成區(qū)間[a，b]的n個(gè)小區(qū)間分割，寫出小區(qū)間長度的表示，思考是否必須等分.

問題4：類比例題的取值完成每個(gè)小區(qū)間上的取值，思考取值中的點(diǎn)ξi的任意性.

問題5:小組探討f(ξi)Δxi在具體問題中的意義.

問題7：通過極限體現(xiàn)無限逼近的過程.

問題8：總結(jié)“分割、近似、求和、取極限”這一過程的分析.

探究總結(jié)：通過抽象概念的分步分層拆解及問題思考探究，幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)概念.

(三)“賞析式”案例：定積分符號(hào)的講解

1.教學(xué)目標(biāo)：讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)符號(hào)產(chǎn)生背后精彩的歷史，感受數(shù)學(xué)美；培養(yǎng)學(xué)生感受美、欣賞美、創(chuàng)造美的能力.

2.教學(xué)策略及手段：創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)符號(hào)史情境，讓學(xué)生置身于此情境經(jīng)歷數(shù)學(xué)符號(hào)的演變歷程；通過趣味翻譯，感受不一樣的符號(hào)美.

3.教學(xué)方式：情境教學(xué)、對(duì)比分析

4.教學(xué)過程：

師：在了解積分符號(hào)的國外演變過程后，大家一定很好奇我們國家是什么情況，數(shù)學(xué)家李善蘭在1859年翻譯了第一本微積分教科書《代微積拾級(jí)》,下表是數(shù)學(xué)符號(hào)在當(dāng)時(shí)的表示形式.

xy+-∫dx天地⊥T禾ㄔ

生1：“禾二天ㄔ”.

生2：“禾天二ㄔ”.

師：同學(xué)們翻譯得很棒，這樣的表示體現(xiàn)了我國當(dāng)時(shí)微積分的發(fā)展特色，但顯然這樣的書寫煩瑣難懂，具有一定的局限性.

(四)“拓展式”案例：(開放作業(yè))平面圖形面積到旋轉(zhuǎn)體體積的拓展

教學(xué)目標(biāo)：在已學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上延伸新的知識(shí)，將二維拓展到三維，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

我們已經(jīng)會(huì)用定積分解決面積問題，那么三維空間求體積能不能用定積分來解決？下面是一個(gè)圓錐體積的問題，課后思考探索.

題目：給定一條直角邊為1的等腰直角三角形(如圖3)，繞一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)圓錐體，求其體積.如何利用“分割、近似、求和、取極限”這一過程計(jì)算？

圖3 等腰直角三角形

五、結(jié) 語

定積分單元教學(xué)內(nèi)容雖是高中數(shù)學(xué)的選修內(nèi)容，但作為數(shù)學(xué)大廈中至關(guān)重要的部分，對(duì)于培養(yǎng)高中生螺旋上升的數(shù)學(xué)知識(shí)非常關(guān)鍵，可很好地滿足個(gè)人數(shù)學(xué)能力發(fā)展及社會(huì)進(jìn)步.但本單元講授內(nèi)容涉及面廣泛、教學(xué)課時(shí)相對(duì)偏少、與前期知識(shí)關(guān)聯(lián)度較低，因此，學(xué)生學(xué)習(xí)效果往往不盡如人意.在大力推進(jìn)新課改、著力培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、聚焦學(xué)生為課堂主人的教育大背景下，教師就需要在教學(xué)過程中積極探索新模式、新策略、新技術(shù)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性，輔以自己系統(tǒng)性、引導(dǎo)性、探究性的教學(xué)設(shè)計(jì)，真正意義上實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)中師生一體化協(xié)同學(xué)習(xí)模式.單元教學(xué)設(shè)計(jì)是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的一個(gè)重要途徑，新教材和課標(biāo)都體現(xiàn)了單元教學(xué)設(shè)計(jì).從數(shù)學(xué)史出發(fā)進(jìn)行設(shè)計(jì)，可以讓學(xué)生了解微積分的來龍去脈.教師通過各類教學(xué)方式加以適當(dāng)教學(xué)策略完成多元化案例設(shè)計(jì)，開展單元教學(xué)，整體把控定積分模塊教學(xué)，這樣使數(shù)學(xué)知識(shí)更具系統(tǒng)性、連貫性.