分段函數(shù)應(yīng)用于線狀GNSS高程擬合的可行性研究

黎 劍，程 功，陳 占,聶俊堂

(昆明冶金高等專科學(xué)校測繪學(xué)院,云南 昆明 650033)

0 引 言

GNSS高程是基于WGS-84橢球面的大地高H，而實(shí)際測量工程則采用以似大地水準(zhǔn)面為基準(zhǔn)面的正常高Hr，兩者間的差距(即高程異常ξ)導(dǎo)致了GNSS高程在應(yīng)用上的問題。因此，如何高效、精確地實(shí)現(xiàn)從大地高H向正常高Hr的轉(zhuǎn)換成為許多測量工作者亟待解決的問題。

GNSS高程擬合模型大體分兩類：線狀擬合模型和面狀擬合模型。面狀擬合模型種類多，各有優(yōu)缺點(diǎn)，曾有同行進(jìn)行過綜合模型以及分區(qū)擬合的實(shí)驗(yàn)研究，均取得理想效果；線狀模型種類相對較少，最常用的是多項(xiàng)式曲線擬合模型和三次樣條曲線擬合模型,其原理是根據(jù)高程控制點(diǎn)的平面坐標(biāo)X或Y及其高程異常值ξ，通過構(gòu)造一個(gè)插值函數(shù)來擬合線狀工程沿線方向上的似大地水準(zhǔn)面曲線，然后據(jù)此內(nèi)插其它點(diǎn)的高程異常。

本文將從三次樣條函數(shù)及其插值的定義入手，根據(jù)其性質(zhì)和嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程構(gòu)造出分段高程異常函數(shù)的表達(dá)式，并將其運(yùn)用到GNSS高程的線性擬合中。

1 分段高程異常函數(shù)的構(gòu)造

1.1 三次樣條函數(shù)的定義

若函數(shù)S(x)∈C2(a,b)， 且在每個(gè)小區(qū)間[xi,xi+1]上是三次多項(xiàng)式，其中a=x0

據(jù)此，可構(gòu)造出分段高程異常函數(shù)ξ(x)。 具體做法是在高程異常擬合中，將三次樣條函數(shù)S(x)用高程異常函數(shù)ξ(x)代替，并以xi(或yi)表示控制點(diǎn)的縱坐標(biāo)(或橫坐標(biāo))，則可將三次樣條函數(shù)的思想應(yīng)用于線狀的高程異常擬合中。

1.2 構(gòu)造分段高程異常函數(shù)ξ(x)

因?yàn)棣?x)在區(qū)間[xi,xi+1]上是三次多項(xiàng)式，故ξ″(x)在[xi,xi+1]上是線性函數(shù)，設(shè)其二階導(dǎo)數(shù)值為ξ″(xi)=Mi(i=0,1,…,n)，則

(1)

式(1)中，hi=xi+1-xi。

對ξ″(x)積分兩次，并根據(jù)三次樣條插值函數(shù)的定義定出積分常數(shù)，得到高程異常函數(shù)的表達(dá)式為：

(2)

1.3 確定未知量Mi

為確定未知量Mi，對ξ(x)求導(dǎo)得:

(3)

根據(jù)ξ(x)在[a,b]上二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，在節(jié)點(diǎn)處滿足連續(xù)性條件S′(xi-0)=S′(xi+0)，將(3)式代入該條件中得：

μiMi-1+2Mi+λiMi+1=di

(4)

(5)

要求出ξ(x)，需要在每個(gè)小區(qū)間上確定4個(gè)待定系數(shù)，通?？稍趨^(qū)間的端點(diǎn)上各加一個(gè)條件，稱為邊界條件，分別用m1和mn表示。m1和mn為樣條曲線邊界的一階導(dǎo)數(shù)，即邊界的斜率，可以利用邊界的4個(gè)已知點(diǎn)求出邊界的斜率[4]。

常見邊界條件有3種：

3)當(dāng)f(x)是以xn-x0為周期的函數(shù)時(shí)，則ξ(x)也是周期函數(shù)，此時(shí)：

ξ(x0+0)=ξ(x0-0)，ξ′(x0+0)=ξ′(x0-0)，ξ″(x0+0)=ξ″(x0-0)。

(6)

(7)

線性方程組(7)式是關(guān)于Mi的三對角線性方程組，此方程組中的系數(shù)矩陣元素λi，μi已完全確定，并且滿足λi≥0，μi≥0，λi+μi=1。因此系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，從而方程組(8)有唯一解[4]。

1.4 確定分段高程異常函數(shù)ξ(x)

式(7)求解方法為追趕法，將解得結(jié)果代入式(2)即可確定分段高程異常函數(shù)ξ(x)。

(8)

式(8)即為所構(gòu)造的分段高程異常函數(shù)與控制點(diǎn)的x坐標(biāo)(或y坐標(biāo))相關(guān)的函數(shù)，這一函數(shù)為分段函數(shù)，對應(yīng)每個(gè)區(qū)間有相應(yīng)的表達(dá)式，代入?yún)^(qū)間內(nèi)的任一x坐標(biāo)(或y坐標(biāo))，即可求出該點(diǎn)的高程異常。

2 實(shí)例計(jì)算

2.1 實(shí)例數(shù)據(jù)

表1為某新修高速公路的GNSS控制網(wǎng)數(shù)據(jù)，公路全長約 35 km，控制點(diǎn)全部實(shí)測了四等水準(zhǔn)(由于篇幅原因，只給出部分?jǐn)?shù)據(jù))。

表1 控制點(diǎn)數(shù)據(jù)Tab.1 Data of the control point

2.2 擬合方案

為驗(yàn)證所述方法的可行性，分別利用5個(gè)已知點(diǎn)和10個(gè)已知點(diǎn)2種方法進(jìn)行擬合計(jì)算，并運(yùn)用Matlab軟件按上節(jié)所述方法分別進(jìn)行擬合計(jì)算，擬合曲線見圖1，擬合殘差曲線見圖2。

圖1 Matlab擬合曲線圖 圖2 2種方案精度對比圖Fig.1 Fitting curve of Matlab Fig.2 Precision comparison of the two schemes

圖1中紅色點(diǎn)表示已知點(diǎn)，其余點(diǎn)表示擬合點(diǎn)。將擬合結(jié)果與已知高程異常值進(jìn)行比較，并求出差值及中誤差，結(jié)果見表2。由圖1可以看出，擬合曲線實(shí)際上是由分段的三次多項(xiàng)式曲線拼接而成的連續(xù)曲線，在連接點(diǎn)處，不僅函數(shù)自身連續(xù)，其一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)也是連續(xù)的。

2.3 擬合精度

1)由圖2可知,將2種方法對相同點(diǎn)擬合的精度進(jìn)行對比，用10個(gè)已知點(diǎn)擬合的殘差曲線相較于5個(gè)已知點(diǎn)來說相對平穩(wěn)，證明穩(wěn)定性較高；2種方案體現(xiàn)出相同的變化趨勢，證明方法可靠。

2)分別計(jì)算用5個(gè)已知點(diǎn)和10個(gè)已知點(diǎn)2種方法擬合的內(nèi)符合精度和外符合精度，結(jié)果由表2、3可知，增加擬合點(diǎn)數(shù)量后，內(nèi)符合精度變化不明顯，說明擬合點(diǎn)數(shù)量增加，可以提高擬合精度。

3)由表3可知，利用構(gòu)造的分段函數(shù)擬合高程異常值與已知的高程異常值差值較小，最大殘差不超過 3 mm，在工程應(yīng)用中，可替代四等水準(zhǔn)測量。

表2 不同已知點(diǎn)的擬合精度對比Tab.2 Comparison of fitting accuracy of different known points mm

表3 高程異常值擬合結(jié)果Tab.3 The height anomaly value fitting results mm

3 結(jié) 語

本文引入分段函數(shù)的思想，構(gòu)造分段高程異常擬合函數(shù)，經(jīng)過實(shí)驗(yàn)計(jì)算可以看出：利用分段高程異常函數(shù)擬合線狀GNSS高程，確定函數(shù)表達(dá)式后只需將坐標(biāo)值代入對應(yīng)的分段函數(shù)表達(dá)式內(nèi)，即可求任一點(diǎn)的高程異常，過程準(zhǔn)確嚴(yán)密，實(shí)驗(yàn)結(jié)果準(zhǔn)確可靠，證明了利用分段函數(shù)擬合線狀GNSS高程的可行性。

此外，筆者同時(shí)也用Y坐標(biāo)進(jìn)行了擬合實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明:利用X進(jìn)行擬合的精度高于利用Y的擬合精度，原因有待于進(jìn)一步研究。為得到良好的擬合結(jié)果，擬合前有必要對異常數(shù)據(jù)進(jìn)行判定和剔除。