環(huán)面黑洞的熱力學(xué)函數(shù)

管韻 王波波

1) (北京交通大學(xué)理學(xué)院,北京 100044)

2) (山東大學(xué)(威海)空間科學(xué)與物理學(xué)院,威海 264209)

1 引言

自Bekenstein[1,2]發(fā)現(xiàn)黑洞動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)與熱力學(xué)系統(tǒng)的相似性、霍金證明黑洞存在熱輻射[3]以來(lái),黑洞熱力學(xué)一直是理論研究的熱點(diǎn)之一.人們研究了史瓦西黑洞、Reissner-Nordstrom (RN)黑洞以及Kerr-Newman 黑洞的熱輻射譜、溫度以及黑洞熵.

求解帶有宇宙學(xué)常數(shù)λ的愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程,可以得到λ＞ 0 的de Sitter 黑洞(如Schwarzschildde Sitter黑洞,Reissner-Nordstrom-de Sitter 黑洞,Kerr-Newman-de Sitter 黑洞等)和相應(yīng)的λ＜ 0的Anti-de Sitter(AdS)黑洞.人們發(fā)現(xiàn)這些黑洞具有不為零的溫度和熵,是真實(shí)的熱力學(xué)系統(tǒng).最初宇宙常數(shù)λ是被當(dāng)作一個(gè)常數(shù)(參數(shù))引入的,它不是一個(gè)動(dòng)力學(xué)變量.但是,越來(lái)越多的研究表明,在黑洞熱力學(xué)中應(yīng)該把λ看成是動(dòng)力學(xué)變量[4-10].主要原因?yàn)閇11]:1) 人們可以考慮“更基本”的理論,其中物理常數(shù)如規(guī)范耦合常數(shù)、牛頓引力常數(shù)或宇宙常數(shù)不是先驗(yàn)固定的,而是作為真空期望值出現(xiàn),因此宇宙學(xué)常數(shù)λ應(yīng)該可以變化;2) 在宇宙常數(shù)存在的情況下,黑洞熱力學(xué)第一定律變得與Smarr 關(guān)系不一致(標(biāo)度論證不再有效),除非在第一定律中包含宇宙常數(shù)λ的變化;3) 一旦將λ的變化包含在第一定律中,黑洞質(zhì)量就被確定為焓而不是內(nèi)能.也就是在一個(gè)擴(kuò)展的相空間中應(yīng)該把宇宙學(xué)常數(shù)λ當(dāng)成熱力學(xué)壓強(qiáng)其中AdS 半徑(這里λ＜0,僅考慮AdS黑洞),與壓強(qiáng)共軛的變量就是黑洞的體積V.引入壓強(qiáng)和體積這兩個(gè)動(dòng)力學(xué)(熱力學(xué))變量后,其相空間增加了兩個(gè)新的維度,通常稱其為擴(kuò)展相空間.例如,帶電的AdS 黑洞的熱力學(xué)第一定律在擴(kuò)展相空間中的形式為[12]

其中,M為黑洞質(zhì)量,T為黑洞溫度,Φ是黑洞表面的電勢(shì),Q是黑洞電荷量,為黑洞的體積,這里r+是該黑洞事件視界的半徑.文獻(xiàn)[12]在擴(kuò)展的相空間中研究了帶電AdS 黑洞的熱力學(xué)性質(zhì),求出了其熱力學(xué)狀態(tài)方程,通過(guò)計(jì)算歐氏作用量得到了吉布斯自由能G,并由此求得熵S、熱容等熱力學(xué)量.

通常人們研究比較多的黑洞,比如史瓦西黑洞、RN 黑洞以及Kerr-Newman 黑洞等,它們的時(shí)間坐標(biāo)t為常數(shù)和徑向坐標(biāo)r為常數(shù)的曲面的拓?fù)錇镾2.而環(huán)面黑洞相應(yīng)的曲面拓?fù)錇镾1×S1(見(jiàn)第2 節(jié)的簡(jiǎn)介).人們研究發(fā)現(xiàn),與通常的黑洞一樣,環(huán)面黑洞也是一個(gè)熱力學(xué)系統(tǒng),具有溫度和熵[13,14].據(jù)我們所知,還沒(méi)有人將宇宙學(xué)常數(shù)當(dāng)成動(dòng)力學(xué)變量來(lái)研究環(huán)面黑洞.也還沒(méi)有人求出環(huán)面黑洞熵和溫度之外的熱力學(xué)函數(shù).本文研究的問(wèn)題是:1) 環(huán)面黑洞是不是與帶電的AdS 黑洞一樣,具有范德瓦耳斯型的相變;2) 求出環(huán)面黑洞的熱力學(xué)狀態(tài)方程、以及其他熱力學(xué)函數(shù).

本文利用擴(kuò)展相空間,求得環(huán)面黑洞的狀態(tài)方程、歐氏作用量以及吉布斯自由能.再利用基本熱力學(xué)函數(shù)公式,求得環(huán)面黑洞的自由能、內(nèi)能、焓以及定壓熱容和定容熱容.第2 節(jié)將簡(jiǎn)單介紹環(huán)面黑洞的基本性質(zhì);第3 節(jié)求環(huán)面黑洞的狀態(tài)方程,以及熱力學(xué)第一定律;第4 節(jié)推導(dǎo)環(huán)面黑洞的Smarr 關(guān)系;第5 節(jié)計(jì)算環(huán)面黑洞的歐氏作用量;第6 節(jié)計(jì)算吉布斯自由能等熱力學(xué)函數(shù),以及定壓和定容熱容;最后第7 節(jié)是總結(jié)和討論.

2 環(huán)面黑洞的基本性質(zhì)

帶宇宙常數(shù)λ的愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程有一個(gè)平面對(duì)稱解[15,16],

其中

可以通過(guò)認(rèn)同的方式將(2)式轉(zhuǎn)化為環(huán)面黑洞解[16].分別認(rèn)同以及①文獻(xiàn)[16]是認(rèn)同 θ=0 和 θ=2π 以及?=0和 ?=2π,與本文采用的認(rèn)同方式?jīng)]有本質(zhì)區(qū)別.,得到一個(gè)環(huán)面時(shí)空解[13],其t=常數(shù)和r=常數(shù)的曲面是一個(gè)環(huán)面,拓?fù)錇镾1×S1.利用高斯定理可得b=Q;計(jì)算ADM 質(zhì)量M,得M=a/2 .可以把(2)式和(3)式重新表示為

其中A為規(guī)范勢(shì),

3 環(huán)面黑洞的狀態(tài)方程與黑洞熱力學(xué)第一定律

與球?qū)ΨQ黑洞相同,環(huán)面黑洞的溫度T也正比于黑洞視界的表面引力κ,即黑洞溫度為

表面重力的計(jì)算公式為[17]

于是環(huán)面黑洞的溫度為

計(jì)算(11)式應(yīng)用了f(r+)=0,即

第1 節(jié)提到,人們認(rèn)定AdS 黑洞的熱力學(xué)壓強(qiáng)P與宇宙常數(shù)λ的關(guān)系是

類似地,在研究環(huán)面黑洞熱力學(xué)性質(zhì)時(shí),也應(yīng)該考慮λ的變化,并且壓強(qiáng)與宇宙常數(shù)的關(guān)系依然如(13)式所示.與壓強(qiáng)共軛的熱力學(xué)量是環(huán)面黑洞的體積,即

可將(11)式改寫(xiě)為

其中r+=V是黑洞的熱力學(xué)體積,T是黑洞的溫度,Q是總電量.這里將黑洞的總電量Q視為常數(shù),而非熱力學(xué)變量.

在球?qū)ΨQAdS 黑洞中,研究黑洞相變時(shí)常采用比體積v=2r+,而不是體積V來(lái)表示狀態(tài)方程.改用比體積v,則(15)式可改寫(xiě)為

將比體積v視為自變量,在等溫條件下,壓強(qiáng)P單調(diào)遞減,故不存在相變臨界點(diǎn),環(huán)面黑洞不具有范德瓦耳斯型的相變.環(huán)面黑洞的等溫曲線如圖1所示.可以看到,當(dāng)比體積v增加時(shí),壓強(qiáng)P單調(diào)下降.從上到下3 條曲線對(duì)應(yīng)的溫度分別是T=50,25,1,其中電荷Q=1 .

圖1 環(huán)面黑洞的等溫圖Fig.1.Isotherm of toroidal black hole.

將黑洞質(zhì)量M看成是黑洞視界面積A、壓強(qiáng)P和電量Q的函數(shù),(12)式可以改寫(xiě)為

質(zhì)量M的全微分可以表示為

即

其中

(19)式就是環(huán)面黑洞的熱力學(xué)第一定律.

4 環(huán)面黑洞的Smarr 關(guān)系

利用齊次函數(shù)的歐拉定理,可以方便地得到環(huán)面黑洞的Smarr 關(guān)系.加權(quán)齊次函數(shù)的歐拉定理(Euler’s theorem on weighted homogeneous functions),即若多元函數(shù)f(x,y,z) 滿足標(biāo)度關(guān)系(scaling relation):

則該函數(shù)及其偏微分滿足

(24)式的證明參見(jiàn)附錄A.

為了利用歐拉公式確定Smarr 關(guān)系,需要用到標(biāo)度論證方法[5,18,19].環(huán)面黑洞的度規(guī)表達(dá)式(5)式采用的是自然單位制,把長(zhǎng)度的量綱記為L(zhǎng),可以看出:宇宙學(xué)常數(shù)λ的量綱是L-2,質(zhì)量M和電量Q的量綱均是L.另外,黑洞事件視界面積A=的量綱是L2.也就是對(duì)于一個(gè)長(zhǎng)度標(biāo)度l,有

把質(zhì)量M看成是事件視界面積A、壓強(qiáng)P以及電量Q的函數(shù),M=M(A,P,Q),利用上述歐拉定理,得

將(20)式—(22)式中的3 個(gè)偏導(dǎo)數(shù)代入,得到環(huán)面黑洞的Smarr 關(guān)系

5 環(huán)面黑洞的歐氏作用量

歐氏作用量能給出不同系綜的熱力學(xué)勢(shì),而不同的系綜與邊界條件的選取有關(guān)[11].計(jì)算歐氏作用量通常會(huì)得到一個(gè)發(fā)散的結(jié)果,為了消除這個(gè)發(fā)散,可以減去一個(gè)適當(dāng)?shù)谋尘皶r(shí)空的歐氏作用量.有不同的選取背景時(shí)空的方法,不同的選擇會(huì)導(dǎo)致不同的結(jié)果.我們采用Caldarelli 等[4]的方法計(jì)算歐氏作用量.

對(duì)環(huán)面時(shí)空線元(4)式的時(shí)間坐標(biāo)做變換t →iτ,得其歐氏度規(guī)的線元,

其中函數(shù)f(r) 依然為(5)式表示.

歐氏作用量由三部分組成:

其中,Ibulk為bulk 作用量;Is為作用量的表面項(xiàng),是在一個(gè)超曲面上積分;Ict稱為歐氏作用量的補(bǔ)償項(xiàng),又稱背景時(shí)空項(xiàng),是為了消除作用量的發(fā)散而引入的.作用量的bulk 項(xiàng)為[4]

(30)式采用了G=1 的單位制,其中二形式(2-form)的電磁張量為

這里

由此可得電磁張量的非零分量為

直接計(jì)算得

將(34)式代入(30)式,坐標(biāo)τ的積分從 0→β(β為溫度的倒數(shù));坐標(biāo)r的積分從事件視界表面r+→∞(由于積分發(fā)散,暫時(shí)記積分上限為r,最后取極限r(nóng) →∞),而兩個(gè)角度積分均從具體計(jì)算得

作用量的表面項(xiàng)為[4]

其中標(biāo)量外曲率

這里Kab是r=常數(shù)的超曲面的外曲率.hab為該超曲面的度規(guī),可具體表示為

由此得

超曲面度規(guī)的逆變分量為

外曲率定義為

其中超曲面的法余矢

這里

是該超曲面的法矢量.直接計(jì)算得到:

另外,由(32)式、(33)式,以及(43)式可得

將(44)式和(45)式代入(36)式,得

當(dāng)r →∞時(shí),分別從(35)式和(46)式可以看到,Ibulk和Is均發(fā)散.采用Caldarelli 等[4]的方案來(lái)消除發(fā)散,即采用下面的補(bǔ)償項(xiàng):

其中Rab為該超曲面的里奇張量,R=habRab為里奇標(biāo)量曲率.對(duì)于(28)式的度規(guī),R=0,Rab=0 .計(jì)算(47)式,得

注意到當(dāng)r →∞時(shí),

所以

最后,將作用量的bulk 項(xiàng)(35)式、表面項(xiàng)(46)式以及補(bǔ)償項(xiàng)(50)式代入(29)式,得環(huán)面黑洞的歐氏作用量

將質(zhì)量表示式(12)式代入(51)式,得

6 環(huán)面黑洞的熱力學(xué)函數(shù)

第5 節(jié)計(jì)算歐氏作用量所取的邊界條件相當(dāng)于采用了正則系綜,故系統(tǒng)的吉布斯自由能[4]為G=IE/β.將(52)式代入(51)式,得環(huán)面黑洞的吉布斯自由能為

這里,r+應(yīng)該理解為壓強(qiáng)和溫度的函數(shù),即r+=r+(P,T),正如(15)式所示.吉布斯自由能與溫度T、壓強(qiáng)P的關(guān)系如圖2 所示,圖中沒(méi)有范德瓦耳斯型的燕尾形狀(swallowtail behaviour),這也說(shuō)明環(huán)面黑洞沒(méi)有范德瓦耳斯形式的相變.

圖2 環(huán)面黑洞吉布斯函數(shù)Fig.2.Gibbs function of toroidal black hole.

吉布斯自由能的微分可表示為

其中,熵為

體積為

將吉布斯函數(shù)(53)式代入(55)式,并利用狀態(tài)方程(15)式,可以得到

這個(gè)結(jié)果與其他方法得到的熵的表示式相同.

環(huán)面黑洞的定壓熱容為

由此可見(jiàn),環(huán)面黑洞是一個(gè)穩(wěn)定的熱力學(xué)系統(tǒng).

有了吉布斯函數(shù),其他熱力學(xué)函數(shù)也可以容易地求得.例如,自由能

由此可見(jiàn),內(nèi)能是r+(或體積V)的單值函數(shù).環(huán)面黑洞的焓為

7 結(jié)論

本文將宇宙學(xué)常數(shù)視作變量,在擴(kuò)展的相空間中研究了環(huán)面黑洞的熱力學(xué)性質(zhì).這個(gè)擴(kuò)展的相空間是在原有的相空間上增加了壓強(qiáng)P和體積V這一對(duì)熱力學(xué)共軛量.壓強(qiáng)體積這里r+是環(huán)面黑洞的事件視界半徑.本文求得環(huán)面黑洞的狀態(tài)方程、Smarr 關(guān)系,以及環(huán)面黑洞的歐氏作用量、吉布斯自由能(吉布斯函數(shù))G、自由能F、內(nèi)能U和焓H、定壓熱容和定容熱容.我們注意到環(huán)面黑洞的Smarr 關(guān)系(27)式與帶電AdS 黑洞的Smarr 關(guān)系相同[12].

從狀態(tài)方程(16)式以及吉布斯函數(shù)(53)式可以看出,環(huán)面黑洞沒(méi)有范德瓦耳斯型的相變.如圖1的等溫線所示,壓強(qiáng)P隨比體積v單調(diào)下降,沒(méi)有范德瓦耳斯等溫線那樣的一個(gè)極小值和一個(gè)極大值,所以不會(huì)有范德瓦耳斯型的相變發(fā)生.另外,圖2 繪制的吉布斯函數(shù)曲面,也沒(méi)有范德瓦耳斯相變的燕尾形狀,也說(shuō)明沒(méi)有范德瓦耳斯型形變.

有必要把環(huán)面黑洞與帶電AdS 黑洞做個(gè)比較.它們的熱力學(xué)第一定律以及Smarr 關(guān)系相同,但其狀態(tài)方程不一樣.另外,二者除了熵函數(shù)的形式(S=)相同外,其他熱力學(xué)函數(shù)形式都不一樣.這說(shuō)明時(shí)空拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)影響黑洞的熱力學(xué)性質(zhì).

附錄A 加權(quán)齊次函數(shù)歐拉定理的證明

若f(x,y,z) 滿足

則稱f(x,y,z) 為加權(quán)齊次函數(shù).令x′=tpx,y′=tqy,z′=trz.(A1)式兩邊對(duì)t求導(dǎo)數(shù),得

(A2)式中令t=1,則得到

這正是加權(quán)齊次函數(shù)歐拉定理.證畢.