液壓伺服系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)和參數(shù)辨識(shí)的魯棒算法

陳軍章

(1.許昌信息工程技術(shù)研究中心， 河南 許昌 461000；2.許昌職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息工程學(xué)院， 河南 許昌 461000)

引言

液壓伺服系統(tǒng)性能在很大程度上取決于控制閥、閥芯的幾何形狀及其制造公差。一些物理參數(shù)也很難確定，甚至有些參數(shù)完全未知，如某些液壓部件的尺寸、泄漏系數(shù)、摩擦系數(shù)等，再加上系統(tǒng)存在非高斯噪聲，如果沒(méi)有適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，就不可能對(duì)液壓伺服系統(tǒng)性能進(jìn)行精確的非線(xiàn)性分析[1-2]。對(duì)液壓伺服系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行精確的辨識(shí)可以提高模型質(zhì)量，從而提高控制性能。因此，液壓伺服系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)和參數(shù)辨識(shí)成為影響系統(tǒng)性能、穩(wěn)定性和精度的關(guān)鍵因素。

直接測(cè)量液壓伺服系統(tǒng)狀態(tài)和參數(shù)通常比較困難，并且一些系統(tǒng)參數(shù)總是在不斷變化。參數(shù)不變的狀態(tài)估計(jì)過(guò)程在參數(shù)變化時(shí)會(huì)產(chǎn)生較大的誤差。液壓伺服系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為可以由一個(gè)具有時(shí)變參數(shù)的線(xiàn)性隨機(jī)狀態(tài)空間模型來(lái)描述[2-3]。因此，需要同時(shí)獲得狀態(tài)和參數(shù)估計(jì)的方法。

卡爾曼濾波(Kalman Filter, KF)是目前應(yīng)用最為廣泛的濾波方法，許多現(xiàn)代工程應(yīng)用如自主車(chē)輛[4]、疲勞應(yīng)變預(yù)測(cè)[5]、維護(hù)網(wǎng)絡(luò)物理系統(tǒng)的安全[6]或機(jī)器人操作[7]等許多領(lǐng)域，均需要具有線(xiàn)性模型的實(shí)時(shí)卡爾曼濾波框架。國(guó)內(nèi)方面：何常玉等[8]研究了用于液壓系統(tǒng)參數(shù)估計(jì)的擴(kuò)展卡爾曼濾波器(Extended Kalman Filter, EKF)的收斂性分析問(wèn)題；夏玢[9]提出了協(xié)方差修正參數(shù)進(jìn)行聯(lián)合估計(jì)；張靜[10]把改進(jìn)的卡爾曼濾波器應(yīng)用于液壓系統(tǒng)狀態(tài)和參數(shù)估計(jì)。

但是如果存在非高斯噪聲或參數(shù)故障或模型參數(shù)與過(guò)程參數(shù)存在較大偏差時(shí)，卡爾曼濾波的估計(jì)精度會(huì)大大下降甚至發(fā)散[11]。因此，設(shè)計(jì)一種對(duì)非高斯噪聲或參數(shù)故障不太敏感的魯棒算法是非常重要的?？紤]到動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的未知參數(shù)，本研究針對(duì)具有參數(shù)相關(guān)矩陣(參數(shù)故障)的狀態(tài)空間系統(tǒng)，提出一種魯棒算法，從而獲得液壓伺服系統(tǒng)精確的狀態(tài)估計(jì)和參數(shù)辨識(shí)。

1 魯棒算法原理

因?yàn)橐簤核欧到y(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為可以由一個(gè)具有時(shí)變參數(shù)的線(xiàn)性隨機(jī)狀態(tài)空間模型來(lái)描述，為了具有普遍性，本研究先對(duì)含有參數(shù)故障的狀態(tài)空間系統(tǒng)進(jìn)行分析，狀態(tài)空間系統(tǒng)為：

x(k+1)=A(θ(k))x(k)+B(θ(k))u(k)+w(k)

(1)

y(k)=D(θ(k))x(k)+e(k)

(2)

式中，x(k)∈Rn,θ(k)∈Rp分別是未知狀態(tài)向量和參數(shù)向量。在某些情況下，故障fp(k)可以表示為系統(tǒng)參數(shù)的變化，例如矩陣A的第i行和第j列元素的變化，然后可以將系統(tǒng)描述為式(1)、式(2),見(jiàn)圖1。

圖1 含有參數(shù)故障的狀態(tài)空間系統(tǒng)Fig.1 State space system with parameter faults

此方法基于這樣一個(gè)假設(shè)：故障反映在物理系統(tǒng)參數(shù)上，如摩擦、質(zhì)量、黏度、電阻、電感、電容等。線(xiàn)性狀態(tài)空間模型通常被指定為一些參數(shù)θ(k)的值。由于矩陣A(θ(k))、B(θ(k))和D(θ(k))依賴(lài)于參數(shù)θ(k)，并且由于與狀態(tài)向量x(k)相乘，系統(tǒng)式(1)、式(2)具有非線(xiàn)性。因此，為了遞歸地獲得參數(shù)估計(jì)，面臨的是一個(gè)一般的非線(xiàn)性濾波問(wèn)題。魯棒卡爾曼濾波器可用于估計(jì)狀態(tài)和線(xiàn)性隨機(jī)系統(tǒng)的參數(shù)[12]，聯(lián)合狀態(tài)參數(shù)公式為：

(3)

更為緊湊的擴(kuò)展系統(tǒng)為：

z(k)=qk-1[z(k-1),u(k-1),

θ(k-1)]+ξ(k-1)

(4)

y(k)=hk[z(k),θ(k)]+e(k)

(5)

式中， 擴(kuò)展擾動(dòng)矢量：

ξ(k-1)=[wT(k-1)ηT(k-1)]T

其中：

(6)

u(k-1),θ(k-1),0]-

(7)

(8)

假如u(k-1)和c(k)定義為：

(9)

(10)

線(xiàn)性狀態(tài)式(7)和線(xiàn)性測(cè)量式(8)更簡(jiǎn)潔表示方式為：

z(k)=F(k-1)z(k-1)+u(k-1)+ξ(k-1)

(11)

y(k)=H(k)z(k)+c(k)+e(k)

(12)

式(11)、式(12)魯棒算法具有以下形式[13]：

(13)

P(k|k-1)=F(k-1)P(k-1|k-1)×

FT(k-1)+ξ(k-1)

(14)

k(k)=PT(k|k-1)HT(k)TT(k)

(15)

(16)

(17)

P(k|k)=P(k|k-1)-k(k)ψ′(v(k))kT(k)

(18)

(19)

為了滿(mǎn)足ε污染概率分布，預(yù)測(cè)誤差的非線(xiàn)性變換ψ(·)(Huber函數(shù))是利用統(tǒng)計(jì)學(xué)中的博弈論得到的[14-15]。

ψ(v(k))=min{|v(k),kε|}sgn(v(k))

(20)

其導(dǎo)數(shù)：

(21)

式中，kε為Huber函數(shù)定義參數(shù)，如圖2所示。

圖2 Huber函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)Fig.2 Huber function and its derivative

下式確定了污染度ε與Huber函數(shù)參數(shù)kε之間的關(guān)系[14]：

(22)

式中，ΦN表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)累積分布函數(shù)。

E(v(k))=T(k)E(ε(k))=0

(23)

E(v2(k))=T2(k)[H(k)P(k|k-1)×

HT(k)+R1(k)]-1/2

(24)

因此T(k)轉(zhuǎn)換為：

T(k)=[H(k)P(k|k-1)HT(k)+R1(k)]-1/2

(25)

式中：

(26)

(27)

初始條件為：

(28)

增益矩陣K(k)的矩陣元素[16]為：

(29)

(30)

先驗(yàn)協(xié)方差矩陣P(k|k-1)的矩陣元素是：

(31)

后驗(yàn)協(xié)方差矩陣P(k|k)的矩陣元素公式為：

(32)

考慮到上述公式，先驗(yàn)和后驗(yàn)擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)向量式(13)和式(17)的估計(jì)通過(guò)以下關(guān)系給出：

1|k-1)

(33)

(34)

因此可以很容易地表示出狀態(tài)向量和參數(shù)向量的估計(jì)：

N(k)ψ(v(k))

(35)

(36)

最后，用這種方法導(dǎo)出含有參數(shù)故障的狀態(tài)空間系統(tǒng)式(1)～式(2)的魯棒算法。

2 魯棒算法在液壓伺服系統(tǒng)中的應(yīng)用

為了驗(yàn)證所提出魯棒算法的有效性，將其應(yīng)用于液壓伺服系統(tǒng)中進(jìn)行仿真。液壓伺服系統(tǒng)[17]原理如圖3所示，xv為伺服閥閥芯位移；pa，pb分別為液壓缸無(wú)桿腔和有桿腔壓力；qa，qb分別為流向液壓缸無(wú)桿腔和有桿腔的流量；y為活塞位移；Ke為彈簧載荷；ps為泵出口壓力；Fext為擾動(dòng)力。如果狀態(tài)變量和輸入變量定義為：

(38)

因此，液壓系統(tǒng)的完全非線(xiàn)性模型，可用狀態(tài)空間的形式表示為：

(39)

式中，mt—— 活塞質(zhì)量

mp—— 包括活塞桿質(zhì)量

m—— 負(fù)載質(zhì)量

Ff—— 系統(tǒng)黏性、靜態(tài)和庫(kù)侖摩擦力總和

βe—— 流體體積模量

L—— 活塞行程

Va0，Vb0—— 初始腔室容積

cLi—— 內(nèi)漏流量系數(shù)

圖3 液壓伺服系統(tǒng)示意圖Fig.3 Hydraulic servo system schematic

眾所周知，在液壓伺服系統(tǒng)的非線(xiàn)性狀態(tài)空間模型中存在具有隨機(jī)特性的系數(shù)?？紤]到某些參數(shù)變化具有隨機(jī)性，以及具有時(shí)變參數(shù)模型的模型非線(xiàn)性近似的可能性[18]，本研究提出了具有時(shí)變參數(shù)的線(xiàn)性隨機(jī)模型。

x(k+1)=A(θ(k))x(k)+B(θ(k))u(k)+

fC(θ(k))+w(k)

(40)

y(k)=x(k)+fC(θ(k))+e(k)

(41)

阻尼比Th：

(42)

實(shí)驗(yàn)裝置輸入采用偽隨機(jī)二進(jìn)制序列電壓信號(hào)，系統(tǒng)輸出由檢測(cè)氣缸的位置得出。圖5為狀態(tài)向量[x1x2x3]T輸出曲線(xiàn)，其中k為迭代次數(shù)，x1,x2,x3為系統(tǒng)狀態(tài)，無(wú)綱量。圖5中實(shí)線(xiàn)表示迭代次數(shù)為k和k-1時(shí)氣缸位置的差值，氣缸位置由系統(tǒng)傳感器實(shí)時(shí)測(cè)得；RA，EKF和KF分別表示當(dāng)系統(tǒng)加入噪聲信號(hào)時(shí)魯棒算法、擴(kuò)展卡爾曼濾波器算法和卡爾曼濾波器算法在迭代次數(shù)為k和k-1時(shí)對(duì)氣缸活塞位移的追蹤差值。從圖5中可以看出，在一定的迭代次數(shù)下，相比其他兩種算法，魯棒算法能很好地追蹤系統(tǒng)狀態(tài)，從而得到其近似無(wú)偏估計(jì)值。圖6為系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)輸出曲線(xiàn)，實(shí)線(xiàn)為系統(tǒng)參數(shù)p1和p2參考曲線(xiàn)，由系統(tǒng)隨機(jī)產(chǎn)生，RA，EKF和KF分別表示魯棒算法、擴(kuò)展卡爾曼濾波器算法和卡爾曼濾波器算法對(duì)系統(tǒng)參數(shù)p1和p2的辨識(shí)曲線(xiàn)，其中k為迭代次數(shù)，p1，p2為系統(tǒng)參數(shù)，無(wú)綱量。從圖中可知，魯棒算法能很好地對(duì)系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行精準(zhǔn)辨識(shí)。這說(shuō)明本研究所提出的魯棒算法對(duì)非高斯噪聲和系統(tǒng)參數(shù)故障的存在敏感性較低，說(shuō)明算法魯棒性和容錯(cuò)性能較強(qiáng)。

圖4 實(shí)驗(yàn)裝置Fig.4 Experimental device

圖5 RA，EKF和KF狀態(tài)估計(jì)結(jié)果Fig.5 State estimation results of RA, EKF and KF

圖6 RA，EKF和KF參數(shù)辨識(shí)結(jié)果Fig.6 Parameters identification results of RA, EKF and KF

圖7 均方誤差對(duì)數(shù)比較圖Fig.7 Comparison chart of logarithmof mean square error

3 結(jié)論

液壓伺服系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為可以由一個(gè)具有時(shí)變參數(shù)的線(xiàn)性隨機(jī)狀態(tài)空間模型來(lái)描述，本研究針對(duì)含有參數(shù)故障的狀態(tài)空間系統(tǒng)，提出了存在非高斯噪聲時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)和參數(shù)辨識(shí)的魯棒算法。所提出的算法既考慮了對(duì)非高斯噪聲的魯棒性，又考慮了對(duì)所有可能的參數(shù)故障的敏感性。通過(guò)液壓伺服系統(tǒng)的仿真，驗(yàn)證了所提出的魯棒算法辨識(shí)得到的狀態(tài)空間模型參數(shù)的效果。仿真結(jié)果證明了本研究所提出的這種魯棒算法能很好地對(duì)液壓伺服系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)和參數(shù)辨識(shí)，并且當(dāng)非高斯噪聲出現(xiàn)時(shí)，該算法保持了較低的靈敏度，從而證明了該算法在存在參數(shù)故障值的狀態(tài)空間系統(tǒng)中優(yōu)于其他如卡爾曼濾波、擴(kuò)展卡爾曼濾波等其他算法，因而具有廣闊的應(yīng)用前景。