正切非線性包裝系統(tǒng)跌落沖擊的MSLP解

霍銀磊， 劉彥亨， 陳無忌

(河南科技大學 包裝工程系， 河南 洛陽 471000)

包裝中的很多緩沖材料壓縮時體現(xiàn)為明顯的正切型彈性特性，例如緩沖氣柱、泡沫橡膠、預壓后的泡沫塑料等。此類材料組成的包裝系統(tǒng)具有較強的非線性，基于小參數(shù)的傳統(tǒng)Lindstedt-Poincare攝動法(L-P)對此類問題的求解一般不再有效。

由于初始條件的差別，上述針對非線性系統(tǒng)振動響應的求解結(jié)果并不能直接應用于跌落沖擊問題。目前，針對正切型非線性系統(tǒng)的求解的研究還比較少，而且主要針對于無阻尼系統(tǒng)：宋浩等[12]基于何氏PEM法分析了無阻尼正切型非線性包裝系統(tǒng)跌落沖擊響應，利用沖擊過程中的能量關系修正了何氏PEM法的解析表達，得到較高精度的近似解析解；郭蓓蓓等[13-14]分別基于同倫攝動法和Li-He氏修正同倫攝動法分析了正切型非線性包裝系統(tǒng)跌落沖擊響應并對所得解析解基于能量關系進行了修正；Song[15]還利用修正的同倫攝動法分析了雙曲正切型無阻尼非線性包裝系統(tǒng)的跌落沖擊響應，得到了系統(tǒng)響應的級數(shù)解；趙曉兵等[16]基于牛頓諧波平衡法(NHB)分析了正切型緩沖系統(tǒng)跌落沖擊響應。最近，仲晨等[17]也基于NHB法分析了包含線性阻尼的正切型包裝系統(tǒng)跌落沖擊響應。

上述沖擊響應求解方法大多需要基于沖擊過程中的能量變化對所得解析解的幅值和頻率進行修正以提高沖擊響應的計算精度。對于有阻尼的包裝系統(tǒng)，能量修正會變得困難。因此，考慮到跌落沖擊的瞬時特性，本文嘗試將結(jié)合多尺度法和改進的L-P攝動法來討論正切型含有線型阻尼的非線性包裝系統(tǒng)在發(fā)生跌落沖擊時的響應問題。

1 系統(tǒng)模型及運動方程

圖1 包裝系統(tǒng)跌落動力學模型Fig.1 The dropping dynamics model of packaging system

由牛頓第二定律可知系統(tǒng)的運動方程

(1)

由于變形過程中總有x

(2)

利用式(2)，式(1)寫為

(3)

其中：

對于跌落沖擊，系統(tǒng)運動的初始條件為

(4)

2 基于MSLP方法的近似解

對于α,β不為小量的非線性系統(tǒng)，借鑒改進的L-P法，令τ=ωt，對式(3)進行時間變換得

(5)

式中，“′” 表示為對新時間變量τ的微分。

利用多尺度法，分別定義快、慢時間尺度

T0=τ，T1=ετ，T2=ε2τ

(6)

變換后的時間導數(shù)和因變量的多尺度展開分別為

x=x0(T0,T1,T2)+εx1(T0,T1,T2)+ε2x2(T0,T1,

T2)+…

(7)

定義系統(tǒng)基頻ω，有：

(8)

ε2x2)+ε2μω[D0+εD1+ε2D2](x0+εx1+ε2x2)+(ω2-εω1-ε2ω2)(x0+εx1+ε2x2)+εα(x0+εx1+ε2x2)3+ε2β(x0+εx1+ε2x2)5=0

(9)

分離參數(shù)ε各階，得到：

(10)

(11)

(12)

系統(tǒng)運動的初始條件

(13)

由式(10)可方便得到系統(tǒng)的0次近似解

x0=AeiT0+cc

(14)

式中：A為復振幅，包含振幅與相位信息；cc表示前面各項的復共軛。

將式(14)代入式(11)得

(15)

令D1A=0，根據(jù)消除久期項條件可得

(16)

考慮初始條件，式(11)有如下形式解

(17)

式中：B為復振幅；cc表示前面各項的復共軛。

進一步地，將式(14)和(17)代入式(12)得

(18)

令D2A=0可知ω2為復數(shù)，方程的解不可得[18]。因此，根據(jù)消除久期項條件，令ω2=0，得

(19)

考慮初始條件，式(12)有如下形式的解

(20)

(21)

整理可得式(5)的一次漸進解

3 sin(ωt+θ)]

(22)

及二次漸進解

(23)

其中：

由式(8)及(16)可得

(24)

(25)

3 算例分析與討論

為了檢驗模型的準確性，不考慮阻尼的影響，利用文獻[13-14]中的系統(tǒng)參數(shù)：m=10 kg,H=0.6 m,k0=600 N/cm,μ=0,εα=72 N/cm3,ε2β=0.000 1N /cm5，對比MSLP法(c=1×10-10N·s/m)與同倫攝動解 (HPM)、修正的同倫攝動解(CHPM)、Li-He修正同倫解(LHHPM)及修正的Li-He同倫解(MLHHPM)的計算結(jié)果見表1。可以看出：對于無阻尼系統(tǒng)，考慮未修正的沖擊響應，同倫攝動法(HPM)的對應誤差分別為6.14%和11.8%；同樣，未修正的Li-He同倫解(LHHPM)誤差也較大，分別為5.1%和8.5%。相比之下，修正的同倫攝動法(CHPM)和修正Li-He同倫解(MLHHPM)的最大位移及加速度的相對誤差都降低了很多，精度有了很大的提高，顯示了能量修正的優(yōu)越性。本文MSLP計算的最大位移和加速度響應的一階近似解與R-K數(shù)值結(jié)果對比的相對誤差分別為1.35%和3.28%，二次近似階的相對誤差分別為0.62%和1.84%。雖然相對于修正的同倫攝動解精度稍低，考慮到阻尼系統(tǒng)能量修正的復雜性，本文方法具有更大的實用價值。與期望的一樣，相比于一次近似，取MSLP的二次近似解有助于提高系統(tǒng)響應的計算精度。

表1 不同方法計算的近似解與數(shù)值解的對比Tab.1 Comparison of solutions obtained by different methods for the cubic-nonlinear system

考慮到文獻[13-14]中針對式(3)進行的參數(shù)選擇，其中參數(shù)的取值并不嚴格滿足正切型彈性關系。為更嚴格的考察正切非線性MSLP解的準確性, 若不做特殊說明，以下分析均基于文獻[17]的系統(tǒng)參數(shù)：m=20 kg,g=9.8 m/s2，H=0.6 m,c=1 200 N·s/m,k0=2.5×105N/m,db=0.05 m。系統(tǒng)沖擊響應與文獻[17]結(jié)果對比見圖2。可以看出：本文MSLP法計算的系統(tǒng)位移響應與數(shù)值法得到的結(jié)果吻合很好，在其峰值處誤差最大，其一、二次位移響應最大值分別為0.020 55 m和0.020 62 m，較數(shù)值解0.020 76 m相對誤差僅分別為1.0%和0.67%，較NHB法所得結(jié)果的5.58%的平均誤差精確度更高；同樣，本文方法計算的系統(tǒng)加速度響應與數(shù)值法得到的結(jié)果吻合也較好，在其峰值處誤差最大，其一、二次加速度響應最大值分別為-346 m/s2、-344 m/s2，較數(shù)值解-334.2 m/s2的相對誤差僅有3.53%和2.96%，較NHB法所得結(jié)果的5.61%的平均誤差精確度更高，證明了本文方法對阻尼正切型非線性系統(tǒng)的有效性。二次MSLP解較一次解精度有所提高，但總體差別不大，考慮計算的簡便性和工程實際，認為一次MSLP近似解即可滿足實際計算要求。后續(xù)的討論將基于一次MSLP近似解進行。

圖2 不同方法得到的系統(tǒng)跌落沖擊響應結(jié)果對比Fig.2 Comparison of dropping shock responses of the packaging system based on different methods

圖3 不同阻尼系統(tǒng)跌落沖擊響應(k0=2.5×105 N/m)Fig.3 Dropping shock responses of the damped packaging system for different damping c. (k0=2.5×105 N/m)

對于小阻尼(c=500 N·s/m)正切型非線性系統(tǒng)，不同初始彈性系數(shù)k0對系統(tǒng)響應的影響見圖4。結(jié)果表明：隨著初始彈性系數(shù)逐漸增大，響應幅值逐漸減小，響應周期逐漸減小。這也與線性系統(tǒng)的結(jié)論一致，較大的初始彈性系數(shù)意味著較大的系統(tǒng)剛度和較大的響應頻率；另外，隨著k0的逐漸增大，系統(tǒng)的最大位移響應與最大加速度響應的相對誤差也逐漸減小。

圖4 不同初始彈性系數(shù)的系統(tǒng)跌落沖擊響應(c=500 N·s/m)Fig.4 Dropping shock responses of the damped packaging system for different initial elastic constant k0.(c=500 N·s/m)

4 結(jié) 論

本文基于MSLP法分析了含有阻尼的正切型非線性包裝系統(tǒng)的跌落沖擊響應的一、二次近似表達，并與數(shù)值解進行對比，主要結(jié)論如下：

(1) MSLP方法可有效用于含有阻尼的正切型非線性包裝系統(tǒng)的跌落沖擊響應的近似解析求解，其一、二次近似解都具有較高的精度并且無需額外的基于能量關系的幅值與頻率修正，二次近似解的精度相對于一次近似解有所提高，但其形式也更復雜。

(2) 隨著系統(tǒng)阻尼的增大，一次MSLP近似解的誤差逐漸增大。對于實際的小阻尼緩沖材料系統(tǒng)，一次MSLP近似解具有較高的精度。

(3) 隨著系統(tǒng)初始彈性系數(shù)的增大，基于MSLP方法的一次近似解的誤差逐漸減小，解析解的精度提高。

(4) 考慮到雙曲正切彈性材料力-變形關系有類似式(2)形式的泰勒展開式，本文方法可方便的應用于雙曲正切系統(tǒng)的求解。