面板數(shù)據(jù)均值變點的累積和比值估計

張婷婷，魏岳嵩，董三英

（淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000）

0 引言

時間序列模型中變點的估計和檢驗已經(jīng)得到廣泛的研究，隨著科技與經(jīng)濟的飛速發(fā)展，單個時間序列的分析與研究已經(jīng)不再滿足人們的需求，而面板數(shù)據(jù)能夠提供更多有關(guān)模型的信息，從而提高估計的效率.因此將數(shù)據(jù)集擴展到面板數(shù)據(jù)上分析是有必要的.

許多專家和學(xué)者研究關(guān)于面板數(shù)據(jù)的變點問題，尤其是在經(jīng)濟學(xué)、社會科學(xué)、質(zhì)量控制等領(lǐng)域做出諸多貢獻.Bai［1］利用最小二乘法和擬極大似然法（QML）分別研究面板數(shù)據(jù)模型中均值和方差變點問題，證明變點估計量的一致性并給出其極限分布，并表明方差存在變點時，QML比最小二乘法有效.Chen等［2］在Bai的基礎(chǔ)上，提出一種累積和法對面板數(shù)據(jù)模型均值變點進行估計，建立變點估計量的一致性并給出相應(yīng)的收斂速度，降低文獻［1］的計算復(fù)雜度.Badi等［3］將Bai的模型推廣到非平穩(wěn)的回歸變量和誤差項的情況，證明普通最小二乘估計量和第一差分（FD）估計量的相合性并得到其漸近分布.Li等［4］利用累積和（CUSUM）統(tǒng)計量檢驗面板數(shù)據(jù)模型中的方差變化.在消除波動性變化的情況下，Shi［5］證明基于平方過程的平方CUSUM 統(tǒng)計量的檢驗功效優(yōu)于Li 的檢驗.Xu 等［6］得到加權(quán)平均差統(tǒng)計量的漸近分布.Horváth等［7］利用CUSUM法得到估計量的一階和二階漸近性質(zhì)，并證明變點估計量的極限分布完全由共同因子決定.Chen 等［8］利用非參數(shù)局部平滑方法證明平滑變化的參數(shù)估計量的一致性.Chan 等［9］得到面板數(shù)據(jù)變點估計統(tǒng)計量的尾近似值.

本文研究面板數(shù)據(jù)模型中均值變點估計量的強相合性.文獻［10］將一維數(shù)據(jù)模型推廣到面板數(shù)據(jù)模型，利用累積和比值法來估計均值變點，得到變點的弱相合估計量，但沒有給出估計量的收斂速度，本文在文獻［10］的基礎(chǔ)上，給出變點估計量的強相合性及其強收斂速度.

1 模型及假設(shè)

本文考慮的面板數(shù)據(jù)均值模型為：

其中，{Xij}j=1,2,…,T是獨立同分布的平穩(wěn)隨機序列，N為序列的個數(shù)，每個序列有T個觀測值.k0是所有序列的共同未知變點，且1 ≤k0＜T，當k0=T時，表示該面板數(shù)據(jù)均值未變化，Zij為面板數(shù)據(jù)，滿足

記變化量的躍度δi=μi1-μi2≠0，δi與Xij相互獨立.

假設(shè)1EXij=EXi=0，，i=1,2,…,N，j=1,2,…,T.

假設(shè)2≥k，這里k0是變點的真實位置，k是變點的檢測位置.

假設(shè)30，0＜α ＜1，即Tα趨向于無窮的速度快于N趨向于無窮的速度.

假設(shè)4 對任意的i=1,2,…,N，有Var(Xij)≤C＜∞，其中C為正數(shù).

2 主要結(jié)論

對模型（1）的變點k0建立一個累積和比值估計量，即

引理1［11］設(shè)Y1,Y2,…,Yn是任意δ階矩有限的隨機變量序列，其中δ≥1，c1,c2,…,cn是任意非負的常數(shù)，則有

推論1若模型（1）中的假設(shè)1~4成立，則T充分大時有

證明先證明式（3）.令Yj=Xij-EXij，m=1，ck=ai1Tγ-1k-γ.

式（3）得證.

式（4）和式（5）同理可證.

定理1若模型（1）的假設(shè)1~4成立，則當T→∞,N→∞有θ?→θ0,a.s.

證明由文獻［10］可知，要證明由于

對于I1：記，由推論1，對任意的ε ＞0，T足夠大時有

同理可證I2→0,a.s.即對任意的ε ＞0，T足夠大時有

對于I3：對任意的ε ＞0，當T充分大時，有，所以有

即I3→0,a.s.得證.于是

定理2若模型（1）的假設(shè)1~4 成立，則有其中T→∞,N→∞時自然數(shù)序列M(NT)↑∞.

證明由文獻［13］知，要證明定理2，只需證對任意的ε ＞0，有

由于θ0∈( )γ1,γ2，其中0＜γ1＜γ2＜1，所以

由定理1可知，當T→∞,N→∞時，，不妨設(shè)Ai ＞0，由文獻［12］知

于是有

所以只需證明T→∞,N→∞時有

下證式（7），注意到

對于J1：

當Ai ＞0，k≤k0,k∈H時有，，又因為

記Vij=Xij-EXij，于是

由定理1 可得，當n→∞，γ=0 時，P1→0，P2→0，由推論1 可得，當n→∞時，P3→0，P4→0，由式（6）和假設(shè)3可得，當n→∞時，P5→0，P6→0.

故N→∞，T→∞時，有J1→0.同理可得，J2→0.從而式（7）成立.式（8）同理可證.

綜上，定理2得證.

3 結(jié)論

本文利用累積和比值法研究面板數(shù)據(jù)模型均值變點估計量的強相合性.當序列數(shù)和觀測值數(shù)都趨向無窮時，定理1和定理2分別給出變點估計量的強相合性和強收斂速度.但這種方法在相依樣本序列下并不適用，下一步可以考慮在相依樣本序列下面板數(shù)據(jù)模型均值變點估計量的統(tǒng)計性質(zhì).