一類蒙日-安培方程解的微分估計

【摘要】微分方程的凸性研究，是指方程解的凸性研究其及水平集的凸性研究，目前對解的凸性研究方法有多種，比如形變技術和極值原理，凹包絡，利用凸性輔助函數(shù)建立需要的微分不等式.本文旨在通過對一類完全非線性橢圓型蒙日-安培方程detD2u=eu，在有界凸區(qū)域上滿足Dirichlet邊值條件下 ，通過構造與解有關的輔助函數(shù)，在三維歐式空間中進行關于方程嚴格凸解u的微分不等式證明，給出方程解的一個微分估計.

【關鍵詞】 蒙日-安培方程;嚴格凸解;微分不等式

【基金項目】本文系北京電子科技職業(yè)學院校內(nèi)科技一般課題 “黎曼流形上Monge-Ampère方程解的一個估計”研究成果.（項目編號：2020Z0091-KXY）

完全非線性的橢圓形蒙日-安培方程具有一般形式detD2u=f（x），且當Hessian矩陣D2u是正定的時候，方程的解u是嚴格凸的.在2014年，Chen，Ma和Shi[1]通過構造輔助函數(shù)，建立微分不等式，研究了帶有0邊值Dirichlet條件的橢圓型蒙日-安培方程

detD2u=1 in Ω，

u=0onΩ.

的解u的水平集的曲率估計.2015年，文獻[2][3]利用同樣的思路在四維空間形式中對該方程的嚴格凸解進行了研究，得到了相關微分不等式，進而進行了平均曲率估計.本文將這種思路繼續(xù)推廣，在三維歐式空間中，對一類滿足齊次Dirichlet邊值條件的橢圓型蒙日-安培方程

detD2u=eu in Ω，

u=0onΩ.

進行嚴格凸解，在一定條件下，通過構造輔助函數(shù)

φ=∑3k，l=1det（D2u）uklukul和 ψ=∑3k，l=1σ2（D2u）uklukul

得到與解有關的兩個微分不等式估計.

1 基本定義和引理

定義1[4] 對k=1，2，…，n.定義

σk（λ）=∑1≤i1<i2<…<ik≤nλi1λi2…λik，λ=（λ1，λ2，…，λn）∈Rn

為第k階基本初等對稱函數(shù).令W=（wij）是一個n×n階對稱矩陣，λ（W）=（λ1（W），λ2（W），…，λn（W））是W的特征值.定義σk（W）是矩陣W的k階主子式的和.σk（W）=σk（λ（W）），特別地，σn（wij）=detwij.

定義2[5] 設對x∈Ω，|u|≠0.對于x0∈Ω，稱∑u（x0）=x∈Ω|u（x）=u（x0）為u通過x0的水平集.

接下來，記akl=σ3（D2u）ukl=ukldet（D2u），bkl=σ2（D2u）ukl其中（ukl）=（ukl）-1.

定義3 設對x∈Ω，|u|≠0.對于x0∈Ω，稱∑u（x0）=x∈Ω|u（x）=u（x0）為u通過x0的水平集.

有如下關于解u的水平集的平均曲率公式：

H=∑nk，l=1σ2（D2u）uklukulDu-3.

引理1[6] （極值原理）設ΩRn，是有界連通區(qū)域，aij（x），bi（x）為Ω中有界連續(xù)函數(shù)，考慮二階橢圓算子L，令

Lu=∑ni，j=1aij（x）uij+∑ni=1bi（x）ui

且L在Ω中是嚴格橢圓的，假設u∈C2（Ω）∩C（Ω），滿足

Lu≥0，

那么u在Ω中的極大值只能在Ω上達到，否則u是常數(shù)函數(shù).

引理2 （牛頓不等式）設λ1，λ2，…λn為n個正實數(shù)，對k=1，2，…，n，

σk（λ）=∑1≤i1

為它們的k階對稱和，規(guī)定σ0=1，定義Sk=σk[]Ckn，則有不等式

Sλ-1Sλ+1≤S2k，k=1，2，…，n.

2 主要定理和證明

定理1 設ΩR3為有界凸區(qū)域，若u是蒙日-安培方程

detD2u=eu in Ω，

u=0onΩ.

的嚴格凸解，則對函數(shù)

φ=∑3k，l=1det（D2u）uklukul

有如下微分不等式估計

∑3i，j=1uijφij>0.

推論1 設ΩR3為有界凸區(qū)域，若u是蒙日-安培方程

detD2u=eu in Ω，u=0onΩ.

的嚴格凸解，則函數(shù)

φ=∑3k，l=1det（D2u）uklukul

在邊界Ω上達到它的最大值.

定理2 設ΩR3為有界凸區(qū)域，若u是蒙日-安培方程

detD2u=eu in Ω，u=0onΩ.

的嚴格凸解，則對函數(shù)

ψ=∑3k，l=1σ2（D2u）uklukul

有如下微分不等式估計

∑3i，j=1uijψij>0.

推論2 設ΩR3為有界凸區(qū)域，若u是蒙日-安培方程

detD2u=1u in Ω，u=0onΩ.

的嚴格凸解，則對函數(shù)

ψ=∑3k，l=1σ2（D2u）uklukul

在邊界Ω上達到它的最大值.

定理1 的證明為了證明微分不等式∑3i，j=1uijφij≥0在任意x0∈Ω處均成立.我們不妨在x0處選取光滑的標準正交標架e1，e2，e3使得Hessian矩陣uij（x0）（1≤i，j≤3）是對角的，因為u是嚴格凸的，那么其Hessian矩陣D2u是正定的，D2u>0，接下來的證明均選在固定點x0處進行計算.

對函數(shù)φ求一階導函數(shù)得到

φi=∑3k，l=1euuklukul

=∑3k，l=1（euukliukul+2euuklukiul+euuklukului）

=∑3k，l=1（euukliukul+euuklukului）+2eu∑3k，l=1uklukiul

=∑3k，l=1（euukliukul+euuklukului）+2euui，

繼續(xù)對φ求二階導函數(shù)有

φii=∑3k，l=1（euukliiukul+2euukliukiul+2ukliukului）

+∑3k，l=1（euukliiukulu2i+2euukliiukiului+euukliiukuluii）

+2euu2i+2euuii

=∑3k，l=1euukliiukul+2∑3l=1euuiliuiiul+2∑3l=1euuiliulu2i+

∑3k=1euukkiu2ku2i+5euu2i+2euuii.

因此，

∑3i，j=1uijφij=∑3i=1uiiφii

=∑3k，l，i=1euukliiukuluii+2∑3i，l=1euuiliuiiuluii+

2∑3i，l=1euuiliulu2iuii

+∑3i，k=1euukkiu2ku2iuii+

5∑3i=1euu2iuii+6eu.（1）

因為

ukli=-∑3p，q=1ukquplupqi，（2）

進而

uklii=-∑3p，q=1ukquplupqii

=∑3p，q，m，n=1（uknumqupl+ukqupnuml）upqiumui

-∑3p，q=1ukquplupqii（3）

=2∑3j=1ukkullujjujkiujli-ukkulluklii，

由于方程detD2u=eu，對方程兩邊進行微分，得到

detD2uxk=detD2u∑3i，j=1uijuijk=euuk，

即

∑3i=1uiiuiik=uk.（4）

對方程兩邊再進行微分得到

∑3i，j=1uijuijkl-∑3i，j，p，q=1uiqupjuijkupql=ukl，

即

∑3i=1uiiuiikl=∑3i，j=1uiiujjuijkuijl+ukl.（5）

將（2），（3），（4），（5）代入（1）式可以得到

∑3i，j=1uijφij=∑3i=1uiiφii

=∑3euuiiujj（ukkukuijk）2-∑3[]k，j=1k≠leuukkulluklukul

+∑3i，j=1eu（uiiu2i）（ujju2j）

-2∑3i，j，k=1euuiiujjukkuiujukuijk

+2∑3i=1euu2iuii+6eu.

整理后得

∑3i，j=1uijφij=∑3i=1uiiφii

=eu∑3i，j=1uiiujj∑3k=1ukkukuijk-uiuj2

+2eu∑3i=1u2iuii+6eu

因為eu>0，所以

∑3i，j=1uijφij>0.

定理1證畢.

推論1的證明由于u是嚴格凸的，那么其Hessian矩陣D2u是正定的，D2u>0.由定理1中微分不等式和引理1可知函數(shù)

φ=∑3k，l=1det（D2u）uklukul

在邊界Ω上達到它的最大值.

推論1證畢.

定理2的證明我們?nèi)栽趚0處選取光滑的標準正交標架e1，e2，e3使得Hessian矩陣uij（x0）（1≤i，j≤3）是對角的，接下來的證明均選在固定點x0處進行計算.

對函數(shù)ψ求一階導函數(shù)，直接計算得到

ψi=∑3k，l=1bklukuli

=∑3k，l=1bkliukul+∑3k，l=1bklukiul+∑3k，l=1bklukuli

=∑3k，l=1bkliukul+2∑3k，l=1bklukiul，

繼續(xù)對ψ求二階導函數(shù)有

ψii=∑3k，l=1（bkliiukul+2bkliukiul）

+∑3k，l=1（2bkliukiul+2bklukiiul+2bklukiuli）

=∑3k，l=1bkliiukul+4∑3k，l=1bkliukiul+2∑3k，l=1bklukiiul

+2∑3k，l=1bklukiuli

=∑3k，l=1bkliiukul+4∑3l=1biliuiiul+2∑3k=1bkkukiiuk+2biiu2ii.

因此，

∑3i，j=1uijψij=∑3i=1uiiψii

=∑3k，l，i=1bkliiukuluii+4∑3i，l=1biliuiiuluii

+2∑3i，k=1bkkukiiukuii+2∑3i=1biiuii

結合∑3i=1bili=0，∑3i=1biiuii=2σ2（D2u）與（4）式，可以得到

∑3i，j=1uijψij=∑3i=1uiiψii

=∑3k，l，i=1bkliiukuluii+2∑3i，k=1bkku2k+4σ2（D2u）.

又因為

bkl=∑3[]j=1j≠kujj k=l

-ukl k≠l，bklii=∑3[]j=1j≠k，j≠k k=l

-uklii k≠l

得到

∑3k，l，i=1bkliiukuluii=∑3[]k，j，i=1k≠1uiiuiijju2l-∑3i，k，l=1k≠luiiuiiklukul，

再應用（5）式可得

∑3k，l，i=1bkliiukuluii=∑3[]i，j，k，l=1k≠luiiujju2ijku2l+∑3[]k，l=1k≠luklukul

-∑3[]i，j，k=1k≠luiiujjuijkuijlukul-∑3[]i，k，l=1k≠lukku2l

=∑3[]i，j，k=1k≠l（uiiujju2ijku2l-uiiujjuijkuijlukul）

-∑3[]i，k，l=1k≠lukku2l，

所以

∑3i，j=1uijψij=∑3i=1uiiψii

=∑3i，j=1[uiiujj∑3k，l=1（u2ijku2l-uijkuijlukul）]

+∑3[]i，k，l=1k≠lukku2l+4σ2（D2u）.

其中

∑3[]i，l=1k≠lukku2l=∑3k=1bkku2k>0，

由牛頓不等式知

σ2（D2u）≥3（eu）23>0，

由柯西施瓦茨不等式知

∑3k，l=1（u2ijku2l-uijkuijlukul）≥0，

所以有

∑3i，j=1uijψij>0.

定理2證畢.

推論2的證明由于u是嚴格凸的，所以其Hessian矩陣D2u是正定的，D2u>0.由定理2中微分不等式和引理1可知，函數(shù)

ψ=∑3k，l=1σ2（D2u）uklukul

在邊界Ω上達到它的最大值.

推論2證畢.

3 結論

本文主要在三維上有界凸區(qū)域中，研究了帶有0邊值Dirichlet條件下的一類非線性橢圓形蒙日-安培方程detD2u=eu的嚴格凸解的兩個估計，主要是通過構造與方程detD2u=eu的嚴格凸解u的水平集的平均曲率、高斯曲率有關的輔助函數(shù)φ=∑3k，l=1det（D2u）uklukul與ψ=∑3k，l=1σ2（D2u）uklukul，證明不等式∑3i，j=1uijφij>0與∑3i，j=1uijψij>0成立，結合極值原理得到輔助函數(shù)φ和ψ均在邊界處達到最大值，有助于后續(xù)進一步研究凸解u的水平集的高斯曲率和平均曲率估計問題.

【參考文獻】

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