等積變換在圓錐曲線中的應(yīng)用

浙江省蘭溪市第一中學(xué)(321102)張城兵

一、問題提出

在圓錐曲線解答題中除了求一些基本量如斜率(直線方程)、參數(shù)范圍,證明直線恒過定點(diǎn)外,還有一類涉及單個(gè)圖形面積或多個(gè)圖形面積的和、差、積、商的最值或取值范圍問題“上鏡率”較高,難度較大.因?yàn)槊娣e的求解牽涉到的知識(shí)點(diǎn)面廣且錯(cuò)綜復(fù)雜,計(jì)算量大,如果講求技巧,硬算到底會(huì)費(fèi)時(shí)費(fèi)力,得不償失;若能適時(shí)適地用上等積變換知識(shí),可以將難求的圖形面積轉(zhuǎn)化為易求圖形的面積,大大減少運(yùn)算量,提高解題正確率.

由于教學(xué)的側(cè)重點(diǎn)和中考要求,等積變換知識(shí)在初中里有所提及,甚至也是考試的重點(diǎn),但有些就比較偏,學(xué)生相對(duì)陌生.進(jìn)入高中時(shí)銜接教學(xué)可能顧及不到,還有高中課程涉及平面幾何教學(xué)內(nèi)容較少,偶爾碰到也就題論題,不見得系統(tǒng)化,即使圓錐曲線中要用到,也不會(huì)專門組織教學(xué).筆者發(fā)現(xiàn)這類涉及面積的題目若能用上等積變換知識(shí),如虎添翼.現(xiàn)將基礎(chǔ)知識(shí)作一介紹再選取各具特色的7 道例題逐一剖析:

二、基礎(chǔ)知識(shí)

三、精選例題

四、結(jié)束語

筆者收集剖析的7 個(gè)例題,囊括了常見有關(guān)面積的解答題,若能在平時(shí)訓(xùn)練中“先用幾何眼光觀察與思考,再用坐標(biāo)法解決的策略”,舉一反三,解決這類問題就容易上手.當(dāng)然用了等積變換知識(shí)還必須具備設(shè)參、用參、消參及其計(jì)算能力等綜合素養(yǎng),否則也難到達(dá)成功彼岸,另外求三角形面積有各種方法,可以參見筆者拙文[1].