計及分布參數(shù)的雙端口等效牽引網(wǎng)建模、驗證及穩(wěn)定性分析

陳潯俊，李國榮，劉志剛，鄧云川

（1. 西南交通大學(xué) 電氣工程學(xué)院，四川 成都 611756；2. 中鐵二院工程集團有限責(zé)任公司，四川 成都 610031）

0 引言

牽引網(wǎng)系統(tǒng)是一個由多條傳輸導(dǎo)線組成的分布參數(shù)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，在其沿線的各導(dǎo)線的每一單元長度均存在電阻、電感、對地電容和漏電導(dǎo)，并且未加屏蔽層的各導(dǎo)線之間還存在互電感和互電容［1］。對于牽引網(wǎng)模型，我國早期的基礎(chǔ)研究一般將其視為單相均勻輸電線，根據(jù)電力機車所處線路位置對其所在供電臂進行分段處理，同時，借用電力系統(tǒng)分析的方法，只考慮牽引網(wǎng)線路兩側(cè)端口的電壓和電流，將每段視作一個二端口網(wǎng)絡(luò)進行處理，用單相π 型等值電路表征牽引網(wǎng)的端口特性。此外，牽引網(wǎng)的多級π型等值電路是由多個π型等值電路并聯(lián)而成，π型等值電路的數(shù)量越接近無限大，多級π 型等值電路模型的仿真結(jié)果越接近分布參數(shù)模型［2］。

需要注意的是，上述集總參數(shù)等效模型在電路中的電場和磁場默認(rèn)是相互獨立的，電能的傳輸過程是在瞬間完成的，即該電路中的元件任意端口的瞬時電流和瞬時電壓是完全確定的，與元件的實際空間位置無關(guān)［2］。因此，該模型中的元件參數(shù)和元件所在位置無關(guān)，所以集總參數(shù)不能反映牽引網(wǎng)分布參數(shù)特性［3］。

國內(nèi)外關(guān)于基于多導(dǎo)體傳輸理論的鏈?zhǔn)骄W(wǎng)絡(luò)模型的研究取得了較多成果。文獻［4］基于不同供電方式對牽引網(wǎng)搭建復(fù)合鏈?zhǔn)侥Ｐ?，按照鏈?zhǔn)诫娐返耐負(fù)浣Y(jié)構(gòu)，利用牽引網(wǎng)各元器件的節(jié)點導(dǎo)納矩陣構(gòu)建出較為精確的數(shù)學(xué)模型。文獻［5-6］結(jié)合牽引網(wǎng)多導(dǎo)體傳輸特性，研究圓導(dǎo)線阻抗計算方法以及鋼軌對地漏電導(dǎo)，采用π 型等值電路模擬牽引網(wǎng)的復(fù)雜拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。文獻［7］以多導(dǎo)體傳輸線模型為基礎(chǔ)，構(gòu)建適用于不同供電方式的牽引網(wǎng)通用數(shù)學(xué)模型，在鏈?zhǔn)骄W(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，建立交流牽引供電系統(tǒng)的仿真通用數(shù)學(xué)模型。目前，牽引網(wǎng)普遍采用的供電方式為全并聯(lián)AT供電方式，該供電方式下的牽引網(wǎng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，包括上（下）行接觸線T、承力索、正饋線F、鋼軌R、保護線PW 和貫通地線G 等10 余條線路［8］。同時，在該供電方式下建立的牽引網(wǎng)模型大多采用鏈?zhǔn)诫娐纺Ｐ?，將上述多根供電?dǎo)線看作一個多導(dǎo)體 傳 輸 線MTL（Multi-Transmission Line）電 路 模型［9］，利用鏈?zhǔn)蕉鄬?dǎo)體理論對牽引網(wǎng)進行建模。在理論分析和仿真計算中，若對各導(dǎo)線單獨考慮，則導(dǎo)線數(shù)目較多，計算困難［7］，不利于建立高速鐵路耦合系統(tǒng)的阻抗模型，進行系統(tǒng)層級的穩(wěn)定性分析研究。

綜上所述：牽引網(wǎng)π 型等值電路模型簡單，計算方便，但不能反映牽引網(wǎng)的分布特性；牽引網(wǎng)鏈?zhǔn)侥Ｐ徒＞_，計算結(jié)果準(zhǔn)確，但建模與計算復(fù)雜，構(gòu)建的模型階數(shù)龐大，難以適用于基于阻抗的級聯(lián)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析，同時也難以得到牽引網(wǎng)自身的阻抗解析解。此外，考慮到牽引網(wǎng)系統(tǒng)只存在無源元件，作為線性系統(tǒng)，其阻抗特性在低頻處主要呈現(xiàn)感性，在高頻處，對于牽引網(wǎng)的開路導(dǎo)納和短路導(dǎo)納，其阻抗特性在感性和容性之間跳變，存在多個諧振尖峰，可能導(dǎo)致系統(tǒng)振蕩現(xiàn)象。因此，針對上述問題，本文結(jié)合鏈?zhǔn)侥Ｐ头植紖?shù)特性和π 型等值電路的優(yōu)點，通過一次測量得到線路的分布參數(shù)，基于雙端口網(wǎng)絡(luò)理論建立牽引網(wǎng)等效模型，該模型簡化了傳統(tǒng)牽引網(wǎng)需要按照單位長度多次測量計算的步驟，降低了以往多導(dǎo)體傳輸線模型建模的復(fù)雜程度，解決了多導(dǎo)體鏈?zhǔn)侥Ｐ碗y以直接用于基于阻抗分析的級聯(lián)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的問題。

本文主要內(nèi)容如下：首先，采用一種基于雙端口網(wǎng)絡(luò)理論的等效方法，建立計及分布參數(shù)特性的解耦的雙端口牽引網(wǎng)模型；然后，對得到的牽引網(wǎng)模型進行理論和實際測量數(shù)據(jù)的阻抗驗證；最后，將建立的等效牽引網(wǎng)模型應(yīng)用到車網(wǎng)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中，針對不同的牽引網(wǎng)條件，在MATLAB／Simulink 仿真平臺上進行分析驗證，證明了所建立雙端口牽引網(wǎng)模型能用于高速鐵路車網(wǎng)耦合系統(tǒng)的阻抗分析。

1 牽引網(wǎng)雙端口等效電路建模

目前，關(guān)于長距離牽引網(wǎng)傳輸線路的研究大多是采用全并聯(lián)AT 供電方式的鏈?zhǔn)侥Ｐ突蛘叨嗉墻行偷戎惦娐?，而不是將其建模為諾頓-戴維南等效電路［10-12］。結(jié)合現(xiàn)階段的研究，本文嘗試采用一種解耦的長距離雙端口等值電路模型來表征電力電纜的端口特性。與傳統(tǒng)牽引網(wǎng)電路模型相比，解耦的雙端口電路模型在保留其分布參數(shù)特性的同時，也使得后續(xù)級聯(lián)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析更加直觀。多級π 型牽引網(wǎng)模型原理圖如圖1所示，圖中多級π型等值電路由m個π 型等值電路并聯(lián)而成，每一級的單位長度相同，均為Δl，u1、i1分別為輸入端口電壓、電流，u′、i′分別為輸出端口電壓、電流。1 個微分段的牽引網(wǎng)分布參數(shù)模型示意圖如圖2 所示，圖中u、i分別為輸入端口電壓、電流。分布參數(shù)包含牽引網(wǎng)的單位長度電阻R0、單位長度電感L0、單位長度電容C0、傳播系數(shù)γ以及特征阻抗Zc，x為空間距離。

圖1 多級π型牽引網(wǎng)模型原理圖Fig.1 Principle diagram of multi-level π-type traction network model

圖2 1個微分段的牽引網(wǎng)分布參數(shù)模型示意圖Fig.2 Schematic diagram of distribution parameter model of traction network with a differential segment

對于圖2所示模型，牽引網(wǎng)傳播系數(shù)γ以及牽引網(wǎng)的特征阻抗Zc與單位分布參數(shù)具有如下關(guān)系：

式中：ω為角頻率。

長度為l的長距離輸電線路的等值雙端口π 型電路可以用以下計算公式表示：

式中：uout(x，ω)、iout(x，ω)分別為雙端口電路的輸出電壓和輸出電流；uin(x，ω)、iin(x，ω)分別為雙端口電路的輸入電壓和輸入電流。

將式（2）按電壓和電流重新分塊整理，可以得到：

式中：Ys、Ym分別為該雙端口電路中同一端口的自導(dǎo)納和不同端口之間的互導(dǎo)納，如式（4）所示。

由此，根據(jù)式（3）與式（4）表示的電氣關(guān)系，可以得到如圖3 所示的牽引網(wǎng)雙端口簡化示意圖。圖中：R、L、C分別為線路距離為l的牽引網(wǎng)等值電阻、電感以及對地電容；Yopen、Yshort分別為圖3（a）所示雙端口等值電路某一端口下的開環(huán)導(dǎo)納和短路導(dǎo)納。

圖3 牽引網(wǎng)雙端口簡化示意圖Fig.3 Simplified diagram of dual-port traction network

根據(jù)圖3（a），可得到Y(jié)open和Yshort的理論計算表達式分別為：

根據(jù)式（4）和式（5）可知，若能提前測量得到某一線路長度l下牽引網(wǎng)的開路導(dǎo)納Yopen_m和短路導(dǎo)納Yshort_m，則牽引網(wǎng)線路的傳播系數(shù)和特征阻抗分別為：

式中：k為整數(shù)。

由式（6）和式（7）可以得到牽引網(wǎng)線路的單位長度阻抗Z1(ω)和單位長度導(dǎo)納Y1(ω)：

式中：r1(ω)為牽引網(wǎng)線路單位長度電阻；x1(ω)為牽引網(wǎng)線路單位長度電抗；b1(ω)為牽引網(wǎng)線路單位長度電納。對照式（8）中系數(shù)可以得到：

將按照式（6）與式（7）計算得到的傳播系數(shù)γ和特征阻抗Zc代入式（4）得到同一端口自導(dǎo)納和互導(dǎo)納的計算值Ys_c、Ym_c，并代入式（5）得到開路導(dǎo)納和短路導(dǎo)納的計算值Yshort_c、Yopen_c，就可以得到任意線路長度為l的牽引網(wǎng)的雙端口等效電路模型。

最后，將式（3）展開，可按端口電壓寫出方程：

由式（10）與式（11）可見，輸入、輸出2 個端口各有4 個對應(yīng)的等效電路，各等效電路中分別包含電壓控制電壓源（VCVS）、電壓控制電流源（VCCS）、電流控制電壓源（CCVS）以及電流控制電流源（CCCS），由此可見，理論上，牽引網(wǎng)的雙端口電路模型應(yīng)有16 個對應(yīng)的等效電路模型。但值得一提的是，長距離傳輸線具有很強的對稱特性，因此所建立的等效電路模型在2 個端口上的電參數(shù)是一致的。此外，當(dāng)高速鐵路列車（主要考慮列車變換器）和牽引網(wǎng)都在獨立模式下工作時，牽引變電所輸出電壓uin和公共耦合點PCC（Point of Common Coupling）處電流iout是穩(wěn)定的。因此，由式（10）與式（11）所得到的等效模型只有4個適用于本節(jié)的建模，如圖4所示。

圖4 牽引網(wǎng)雙端口等效電路模型Fig.4 Dual-port equivalent circuit models of traction network

牽引網(wǎng)雙端口等效電路模型建模流程如圖5 所示。該等效模型中的牽引網(wǎng)分布參數(shù)γ和Zc是由實際測量的雙端口電路的開路導(dǎo)納Yopen_m和短路導(dǎo)納Yshort_m計算得到的，由于牽引網(wǎng)參數(shù)沿線均勻分布，因此不同長度的相同類型的電力電纜具有相同的分布參數(shù)值，僅通過一次測量便可得到線路的分布參數(shù)，簡化了傳統(tǒng)牽引網(wǎng)需要多次測量參數(shù)的步驟。因此，通過該模型得到的傳播系數(shù)和特征阻抗能夠反映牽引網(wǎng)的分布特性。

圖5 牽引網(wǎng)雙端口等效電路模型建模流程Fig.5 Flowchart of modeling process for dual-port equivalent circuit of traction network

2 牽引網(wǎng)雙端口等效模型驗證

2.1 理論論證

圖3（b）所示簡化電路的開路導(dǎo)納和短路導(dǎo)納分別為：

式中：R=r1l；L=x1l；C=b1l。根據(jù)式（6）可以得到該牽引網(wǎng)傳播系數(shù)的計算值γcal為：

式中：γtheo=為理論傳播系數(shù)。

同時，理論傳播系數(shù)的雙曲余弦函數(shù)的表達式為：

原則上，無限級聯(lián)的π 型等效電路可以表征長距離傳輸線的端口阻抗特性，這意味著每個級聯(lián)部分代表的輸電線長度近似為0，因此，式（14）中的泰勒展開高階項可以忽略不計，得到：

式（15）表明，本文所提方法可從測得的一端短路導(dǎo)納和一端開路導(dǎo)納中準(zhǔn)確提取牽引網(wǎng)傳播系數(shù)。

因此，本節(jié)所采用的牽引網(wǎng)雙端口等效電路模型能夠在考慮牽引網(wǎng)分布參數(shù)特性的同時簡化為含受控源的戴維南-戴維南等效電路。

四川省廣元市屬集中連片貧困地區(qū)、革命老區(qū)、邊遠(yuǎn)山區(qū)和地震重災(zāi)區(qū)“四區(qū)合一”的地區(qū)，農(nóng)村貧困問題歷來十分突出。2017年7月，廣元市在四川省財政廳的大力支持下，率先在全省創(chuàng)新開展“政擔(dān)銀企戶”財金互動扶貧試點工作，探索形成了以“政策引導(dǎo)為基礎(chǔ)、農(nóng)業(yè)擔(dān)保為橋梁、金融投入為保障、主體帶動為抓手、脫貧致富為目標(biāo)”的財金互動廣元扶貧模式，打通了財政金融扶貧“最后一公里”，有效解決了脫貧攻堅中農(nóng)業(yè)產(chǎn)業(yè)發(fā)展融資難、融資貴問題和貧困戶持續(xù)增收問題，切實起到為農(nóng)、惠農(nóng)、富農(nóng)作用。

2.2 實際線路測量驗證

基于渝利線豐都牽引變電所豐石供電臂實際線路的測量數(shù)據(jù)［13］，驗證本文牽引網(wǎng)雙端口等效電路建模方法在獲取牽引網(wǎng)阻抗方面的準(zhǔn)確性與可行性。渝利線實際線路橫截面的各導(dǎo)體位置分布如附 錄A 圖A1 所 示［12］。接 觸 線 與2 根 鋼 軌 間 距 為6.45 m，線路供電臂長度為24.8 km［13］。附錄A 圖A2為渝利線豐都牽引變電所豐石供電臂末端短路分開供電試驗電路示意圖，基于附錄A 圖A2開展帶回流線直接供電方式分開供電的短路實驗（開關(guān)K1、201與291 斷開，開關(guān)K2 與202 合閘，下行末端短路）。附錄A表A1給出了該線路接觸線數(shù)據(jù)。

附錄A 圖A3 為渝利線測試線路供電臂的開路導(dǎo)納與短路導(dǎo)納。圖6 為采用等效雙端口網(wǎng)絡(luò)得到的開路導(dǎo)納與短路導(dǎo)納對比圖。圖7 為實際測得的接觸線分布參數(shù)與利用雙端口等效電路得到的牽引網(wǎng)分布參數(shù)對比圖。

圖7 分布參數(shù)對比Fig.7 Comparison of distribution parameters

由圖6 可知，牽引網(wǎng)作為由RLC 元件組成的供電系統(tǒng)，其自身存在多個諧振點，當(dāng)電力機車控制系統(tǒng)參數(shù)與機車運行狀態(tài)存在諧振參數(shù)匹配時，電力機車受流處可能出現(xiàn)牽引網(wǎng)頻率振蕩的現(xiàn)象，危及牽引網(wǎng)供電系統(tǒng)安全。

圖6 采用等效模型所得導(dǎo)納與實際測量導(dǎo)納Fig.6 Admittance obtained by equivalent model and actual measurement

由圖7 可知：在中低頻范圍內(nèi)，利用所建牽引網(wǎng)模型得到的參數(shù)與實際測量參數(shù)吻合；在部分高頻范圍內(nèi)，利用所建牽引網(wǎng)模型得到的參數(shù)與實際測量參數(shù)吻合，而在頻率達到104Hz時，利用所建牽引網(wǎng)模型得到的電抗和電容參數(shù)與實際測量參數(shù)不吻合，并且出現(xiàn)驟減，這是由于本文模型只考慮了傳播系數(shù)低階泰勒展開項，當(dāng)頻率增大時，線路中需要計算的波長減小，式（14）中的高階項無法忽略，如圖6中放大部分所示，因此導(dǎo)致出現(xiàn)誤差?？傮w而言，本文模型能夠在反映牽引網(wǎng)分布參數(shù)特性的同時，保證牽引網(wǎng)模型的準(zhǔn)確性。該模型極大降低了以往多導(dǎo)體傳輸線模型建模的復(fù)雜程度，為后續(xù)的阻抗分析奠定了基礎(chǔ)。

3 基于阻抗的車網(wǎng)級聯(lián)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

3.1 牽引網(wǎng)模型線性化

由前述牽引網(wǎng)雙端口等效電路建模方法可以得到牽引網(wǎng)雙端口等效電路模型，如圖8 所示。由于牽引網(wǎng)中只含有無源元件，且牽引網(wǎng)是線性網(wǎng)絡(luò)，無耦合性，因此，對所建牽引網(wǎng)雙端口等效模型進行線性化處理后模型仍保持原有的特性。根據(jù)圖8 中的CCVS-VCVS 等效電路（戴維南-戴維南電路）列寫出電壓和電流方程：

圖8 牽引網(wǎng)CCVS-VCVS等效電路Fig.8 CCVS-VCVS equivalent circuit of traction network

顯然，由式（16）可以得到牽引網(wǎng)等效的輸出阻抗Zs_eq為：

3.2 車網(wǎng)級聯(lián)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

本節(jié)將牽引網(wǎng)傳統(tǒng)簡單RL 等效模型與本文所提牽引網(wǎng)模型進行穩(wěn)定性分析對比。RL等效模型接入時的波特圖和系統(tǒng)波形分別見圖9和圖10，圖中n為牽引供電臂數(shù)量，upcc為PCC 處電壓，udc為直流側(cè)電壓。可知，當(dāng)牽引網(wǎng)傳統(tǒng)簡單RL等效模型電阻為0.2 Ω、電感為2.9 mH，在進行阻抗理論值穩(wěn)定性分析，圖9 所示牽引網(wǎng)傳統(tǒng)簡單RL 等效模型波特圖幅值和車側(cè)整流器波特圖幅值交點為51.65 Hz 時，對應(yīng)的相角裕度為77.59-（-109.5）=187.09°>180°，此時應(yīng)為不穩(wěn)定的情況，而由圖10 可知，在實際仿真分析時，系統(tǒng)為穩(wěn)定情況，兩者存在不匹配的情況，因此使用RL等效模型會存在穩(wěn)定性誤判的情況。

圖9 RL等效模型接入時的波特圖對比Fig.9 Comparison of Bode diagram when RL equivalent model is connected

圖10 RL等效模型接入時的系統(tǒng)波形Fig.10 System waveforms when RL equivalent model is connected

將本文所提牽引網(wǎng)雙端口模型等效輸入阻抗與CRH5 型車側(cè)整流器［14］模型聯(lián)結(jié)，構(gòu)成車網(wǎng)級聯(lián)系統(tǒng)，如附錄A 圖A4 所示。在MATLAB／Simulink 仿真平臺上搭建仿真模型進行穩(wěn)定性分析驗證，各分布參數(shù)及車側(cè)整流器控制參數(shù)如附錄A表A2所示。

在不同牽引供電臂數(shù)量n下，分別進行PCC 處電壓、電流和直流側(cè)電壓波形的仿真測試，結(jié)果見圖11。由圖可知，隨著牽引供電臂數(shù)量的增加，PCC 處的電壓、電流和直流側(cè)電壓均發(fā)生了明顯的低頻振蕩，且振幅逐漸增大，在牽引供電臂數(shù)量n=6 條時，系統(tǒng)發(fā)生崩潰。可見，隨著牽引網(wǎng)距離的增加，低頻振蕩發(fā)生的概率和劇烈程度會逐漸增加，為了有效避免車網(wǎng)耦合系統(tǒng)低頻振蕩的發(fā)生，應(yīng)保持動車組與供電所的距離在1條供電臂的長度范圍內(nèi)。

圖11 PCC處電壓、電流及直流側(cè)電壓波形圖Fig.11 Voltage and current waveforms at PCC and voltage waveform at DC side

對于車網(wǎng)級聯(lián)系統(tǒng)產(chǎn)生的低頻振蕩現(xiàn)象，采用波特圖判據(jù)［15-16］進行穩(wěn)定性分析。首先利用掃頻法［17］獲取1～1 000 Hz 頻率范圍內(nèi)車側(cè)整流器阻抗；然后針對不同的牽引網(wǎng)供電臂數(shù)量，將各阻抗與車側(cè)整流器阻抗繪制在同一個波特圖中，如附錄A 圖A5 所示。觀察相角差為180°時系統(tǒng)的增益裕度可以發(fā)現(xiàn)，隨著牽引網(wǎng)供電臂數(shù)量的增加，系統(tǒng)的增益裕度逐漸減小，這說明系統(tǒng)逐漸趨于不穩(wěn)定，與仿真波形相吻合，同時也說明供電臂距離的增加會使系統(tǒng)的低頻穩(wěn)定性變差。

4 結(jié)論

針對牽引網(wǎng)系統(tǒng)，本文基于雙端口網(wǎng)絡(luò)理論，建立牽引網(wǎng)等效解耦電路模型，將其簡化為含受控源的戴維南-戴維南等效電路，并通過實際牽引網(wǎng)線路測量數(shù)據(jù)，驗證了該牽引網(wǎng)建模方法的可行性以及模型的準(zhǔn)確性。采用本文牽引網(wǎng)建模方法所建模型具有以下2個優(yōu)點。

1）該模型能夠通過測得的一端短路導(dǎo)納和一端開路導(dǎo)納提取出牽引網(wǎng)的傳播系數(shù)。在考慮牽引網(wǎng)分布參數(shù)特性的同時僅通過1 次測量便可得到線路的分布參數(shù)，簡化了傳統(tǒng)牽引網(wǎng)需要按照單位長度多次測量計算的步驟。

2）該模型降低了以往多導(dǎo)體傳輸線模型建模的計算復(fù)雜程度，解決了多導(dǎo)體鏈?zhǔn)侥Ｐ碗y以直接用于系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的問題，為后續(xù)阻抗分析奠定了基礎(chǔ)。

本文利用所建牽引網(wǎng)模型搭建車網(wǎng)級聯(lián)系統(tǒng)，并對該系統(tǒng)進行穩(wěn)定性分析研究，得到了隨著牽引網(wǎng)距離的增加，低頻振蕩發(fā)生的概率和劇烈程度會逐漸增加的結(jié)論，為了有效避免車網(wǎng)耦合系統(tǒng)低頻振蕩的發(fā)生，應(yīng)保持動車組與供電所的距離在較短的供電長度范圍內(nèi)。

附錄見本刊網(wǎng)絡(luò)版（http：//www.epae.cn）。