基于圖譜分解和多信號融合的無線定位算法

龍小麗，韓 筠，李欣雪

(1. 廣東理工學(xué)院電氣與電子工程學(xué)院，廣東 肇慶 526100；2. 廣東海洋大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院，廣東 湛江 524000)

1 引言

隨著計算機設(shè)備的高速發(fā)展與普及，基于無線傳感器的各種位置服務(wù)需求也日益迫切。比如北斗衛(wèi)星定位與全球定位系統(tǒng)等，但是二者在較多建筑物的密集城區(qū)，會受到一定干擾，很難進行有效定位。因此，逐漸衍生出了幾種較為經(jīng)典的定位方法及：射頻信號、超聲波與紅外線等定位方式，其中，紅外線與超聲波的定位技術(shù)，要比射頻定位方法更為精確，但是由于其需要使用專業(yè)的硬件設(shè)備，且信號需要存在一定的視距傳輸，導(dǎo)致定位方位受到限制，很難進行大范圍的部署，同時，因為視距傳輸?shù)奶匦?，使得該方法的定位收斂效率較慢。

針對上述問題，本文提出一種基于圖譜分解和多信號融合的無線定位算法，依靠圖譜分解算法，標(biāo)記無線信號，隨后使用多信號融合算法計算無線信號的具體密度與大致分布，同時，修正無線信號的不連續(xù)問題，最后通過計算信號傳播時延的方差和均值，并利用協(xié)方差矩陣對無線信號的分布位置進行計算，取結(jié)果內(nèi)的均值作為最終定位結(jié)果。

2 圖譜分解與多信號融合下無線定位算法研究

2.1 基于Laplacian矩陣與譜分解的無線信號數(shù)據(jù)標(biāo)記

組建所有訓(xùn)練信號構(gòu)成的圖G(V，E)，其中，信號節(jié)點集V存在的訓(xùn)練信號樣本可描述為：l種存在標(biāo)記的信號與u種不存在標(biāo)記的信號，節(jié)點之間的邊集E是(l+u)×(l+u)的非負值矩陣W，其中，wij代表第i個與第j個訓(xùn)練信號之間存在的關(guān)聯(lián)，能夠通過k-NN或高斯函數(shù)對其進行賦值，擬定對角矩陣為

D=diag{d11，d22，…，dii，dnn}

(1)

式中，D為對角元素[1]即節(jié)點的度，那么無線信號圖Laplacian矩陣就能夠定義成：L=D-W或L=D-1/2LD-1/2=I-D-1/2WD-1/2。

將Laplacian矩陣的特征值進行分解后，L的特征值與特征向量[2]就可以被描述成λi，φi，同時特征值會以非降次序排列，那么就會存在

(2)

通過式(2)的計算，能夠得到與無線信號存在關(guān)聯(lián)的兩種Laplacian矩陣譜性質(zhì)。

1)Laplacian矩陣譜值[3]能夠被表示成特征向量的平滑程度。其具體描述如下所示：

針對任意一個n×1向量f的平滑性都能夠依靠向量f內(nèi)兩種元素的值與相應(yīng)的權(quán)值來進行衡量，就是說假如向量f是平滑的，那么列向量f內(nèi)連接權(quán)值wij較大的兩種元素的值就一定是相似的，向量f的平滑性能夠通過式(3)進行計算

(3)

(4)

因此，Laplacian矩陣譜的值能夠表示為無線信號特征向量的平滑強度。

2)假如無線信號圖G存在n種連通分量[5]，那么Laplacian矩陣就存在n種0特征值。Laplacian矩陣的譜存在兩種性質(zhì)，第一種就是具有兩個連通分量的鏈路，第二種就是無線信號的圖譜與其特征向量。

其具體描述如下：

一種具有兩個連通分量和邊權(quán)值[6]是1的圖，圖內(nèi)的譜具有兩個值是0的特征值，對應(yīng)的特征向量為平滑狀態(tài)，并且隨著特征值的逐漸上升，對應(yīng)的特征向量也會出現(xiàn)振蕩。

圖1展示了上述無線信號圖譜內(nèi)所有節(jié)點在兩種特征向量內(nèi)所組成正交空間的鄰接關(guān)系，其中兩個節(jié)點之間的線代表了這兩個節(jié)點在該正交空間[7]上是鄰接的，同時圖內(nèi)實心節(jié)點代表存在標(biāo)記的無線信號數(shù)據(jù)，空心節(jié)點代表沒有標(biāo)記的無線信號數(shù)據(jù)

圖1 無線信號在特征向量空間內(nèi)的鄰接關(guān)系

通過圖1能夠看出，無線信號圖的Laplacian矩陣特征向量具有初始圖中節(jié)點的簇信息，依靠該信息，通過存在標(biāo)記數(shù)據(jù)的信息，可以將不存在標(biāo)記的信號數(shù)據(jù)進行標(biāo)記。

2.2 基于多信號融合的無線信號密度測量

對于無線信號的兩相流，擬定無線信號兩相質(zhì)量是mp，密度是ρp，信號相質(zhì)量為mf，密度為ρf，信號的兩相流體系的總密度是ρm，那么憑借定義，該無線信號的質(zhì)量密度就是

φm=mp/(mp+mf)

(5)

將式(5)進行轉(zhuǎn)化，獲得

φm={ρp(ρm-ρf)}/{ρm(ρp-ρf)}

(6)

在現(xiàn)實環(huán)境中，ρp與ρf作為參數(shù)是已知的，只需要確定該無線信號密度ρm，就能夠獲取信號的大致分布。

無線信號在傳輸?shù)倪^程中，信號的阻抗為Z=ρc，此處ρ代表信號的混合密度，c代表信號的傳輸效率，憑借計算阻抗Z與信號速度c，能夠獲得信號的具體密度，進一步能夠通過式(6)確定無線信號的大致分布，所以，本文將問題轉(zhuǎn)化成對阻抗與信號速度的獲取[8]。

在無線信號進行傳輸?shù)倪^程中，因為信號的特性存在不同的問題，部分信號會被反射，部分信號會被透射，擬定反射系數(shù)是

(7)

把式(7)進行轉(zhuǎn)化，獲得無線信號的阻抗描述式為

(8)

其中，Zm代表無線信號的阻抗值。

綜上所述，要得到無線信號的兩相流密度，就需要得到信號的阻抗值與信號傳輸速度值[9]，經(jīng)過式(7)與(8)進行計算，能夠得到信號的阻抗值，同時其密度能夠經(jīng)過無線信號的反射系數(shù)得到。獲得這兩種數(shù)據(jù)之后，憑借式(6)對其進行計算，以獲取無線信號的具體分布。

2.3 無線信號的相位不連續(xù)影響與解決方法

擬定存在M段無線信號x0，信號頻率擬定成f1，采樣頻率擬定成fs，所有無線信號的長度均為s，以第m段無線信號作為待校正對象，那么前(m-1)段無線信號的總長度就是B(m)=(m-1)s，m∈[1，M]，擬定信號的初始相是θ(m)，由此能夠獲得同頻等長信號模型如下

x0[B(m)+a]=cos[θ(m)+2πf1a/fs]

(9)

其中，a∈[1，s]，x0(B(m)+a)代表x0內(nèi)第[B(m)+a]個無線信號的采樣點值。所有信號間的相位不連續(xù)即指θ(m+1)≠θ(m)+2πf1d/fS，即不能把x0內(nèi)M段無線信號相連組成一段長度達到B0的連續(xù)信號。

首先考慮x0的第m段無線信號，通過傅里葉變換對其進行處理，得到

(10)

然后把所有無線信號的頻譜進行累加[10]，獲得整體信號的頻譜

(11)

其中，F(xiàn)[·]代表對無線信號進行傅里葉轉(zhuǎn)變結(jié)果。在沒有進行相位校正的狀態(tài)下，無線信號頻譜只是在其單段信號的頻譜內(nèi)增添了一個權(quán)值，同時該權(quán)值和頻率并不存在關(guān)聯(lián)[11]，導(dǎo)致雖然信號長度出現(xiàn)了變化，但信號頻譜并不會出現(xiàn)明顯的改善，這就可能導(dǎo)致后續(xù)的無線定位結(jié)果出現(xiàn)偏差的問題，因此，需要對所有無線信號進行校正，其具體流程如下所示：

在進行校正的過程中，首先需要計算所有無線信號的相位補償因子U0(m，k)，其運算方程如下所示

U0(m，k)=[θ(m)-θ(1)]+2πB(m)[fa(k)-f1]/fs

(12)

其中，θ(m)-θ(1)代表所有無線信號間存在的相位差，2πB(m)[fa(k)-f1]/fs代表頻率誤差導(dǎo)致的相位差。

隨后把M段修正后的頻譜進行累加，獲得

(13)

式(13)即相位修正之后的無線信號頻率。

2.4 基于協(xié)方差矩陣的無線定位

2.4.1 無線信號傳播時延的方差和均值計算

在無線信號傳播過程中附加時延在不同的信道環(huán)境中服從指數(shù)分布，針對指數(shù)分布，其條件概率密度函數(shù)能夠描述為

(14)

其中，τi，rms代表均方根時延擴展，能夠描述成

(15)

式中，di代表無線信號的服務(wù)基站與傳輸平臺間的傳輸距離，ξ代表服從0均值對數(shù)正態(tài)分布的隨機分量。

(16)

(17)

(18)

能夠計算得到τei的概率密度函數(shù)為

f(τei)=

(19)

通過計算獲得τei的方差和均值

(20)

(21)

2.4.2 無線信號修正與定位

協(xié)方差矩陣算法在定位無線信號時存在較好的定位精度，原因是其把無線定位的誤差包含在了加權(quán)矩陣內(nèi)，在一定程度上抵消了定位誤差帶來的影響。但協(xié)方差矩陣只考慮了定位的誤差，這使得矩陣在不同的信道環(huán)境下，存在一定的可能不會直接抵消附加時延帶來的誤差，因此本文通過式(22)對定位值進行修正，以剔除附加時延帶來的誤差。

(22)

1)假設(shè)在時間T中，共定位K組，每組M-1個定位值，通過協(xié)方差矩陣線獲得一個初始的坐標(biāo)估計。

3)對協(xié)方差矩陣進行計算：

(23)

3 實驗證明

為了驗證所提基于圖譜分解和多信號融合的無線定位算法的有效性，進行實驗驗證。

實驗環(huán)境為：無線定位算法實驗在某單位大樓內(nèi)進行，無線信號采集終端為一部HTC智能手機，操作系統(tǒng)為Android，整體無線信號的采集過程時間跨度為三個月。

為了證明所提方法的實用性進行收斂實驗，迭代次數(shù)越少則方法的定位收斂性越高，穩(wěn)定性越高，擬定縱軸為定位誤差，橫軸為迭代次數(shù)，其收斂性能如圖2所示。

圖2 所提算法收斂狀況

通過圖2能夠看出，在迭代至28次時算法基本完成收斂，同時隨著算法迭代次數(shù)的增加，定位誤差無限趨近于零，能夠在不同環(huán)境下進行有效的定位，不會因為外界干擾而影響方法精度和穩(wěn)定性，收斂性能極佳。這是因為所提方法會對無線信號進行傅里葉變換，以修正信號的不連續(xù)性，以節(jié)約算法的迭代次數(shù)，從而提升算法的整體收斂效率。

為了進一步證明所提方法的優(yōu)越性，在單位大樓內(nèi)設(shè)置9個目標(biāo)定位點，通過所提方法進行定位。因為方法只針對平面坐標(biāo)，不考慮高度問題，所以圖3內(nèi)曲線為X、Y軸方向上定位誤差。

圖3 無線定位精度與無線信號密度測量結(jié)果

通過圖3能夠看出，所提方法定位不同位置的節(jié)點都會存在些許誤差，但誤差范圍沒有超出[5，-5]毫米區(qū)間，符合現(xiàn)實需求可忽略不計。因為所提方法依靠圖譜分解方法，對不存在標(biāo)記的信號數(shù)據(jù)進行標(biāo)記，同時還會通過多信號融合對兩相流進行測量，以明確信號密度，能夠有效校正信號不連續(xù)問題，保持定位的精度。

4 結(jié)束語

為了實現(xiàn)無線信號的定位，提出一種基于圖譜分解和多信號融合的無線定位算法，該算法通過多信號融合、圖像分解算法與協(xié)方差矩陣實現(xiàn)對無線信號的定位。下一步研究的側(cè)重點為無線定位高度問題。因為在實際環(huán)境內(nèi)得到的有標(biāo)記無線信號未記錄目標(biāo)高度信息，只能在二維平面上展現(xiàn)目標(biāo)位置，在嚴(yán)峻環(huán)境下無法為研究人員提供更多的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)，為此嘗試在算法中添加三維坐標(biāo)定位，更加方便用戶清晰了解目標(biāo)所在位置，及相關(guān)信息，擴展應(yīng)用于更為復(fù)雜多樣的環(huán)境中。