“倍長中線”的“源”點——中點

武益燕

全等三角形的對應邊相等、對應角相等這一性質(zhì)，決定了全等三角形是轉化線段、角的有力“武器”?？稍诮鉀Q問題的過程中，常常事與愿違——沒有全等三角形。那我們?nèi)绾无D化呢？

例 如圖1，在△ABC中，AD為邊BC上的中線。求證：AB+AC>2AD。

【分析】要證“AB+AC>2AD”，我們?nèi)菀茁?lián)想到“三角形兩邊之和大于第三邊”。而AB、AC、AD不是同一個三角形的邊，因此，我們可以轉化線段，將它們集中到同一個三角形里面。由“AD為邊BC上的中線”可知，BD=CD。我們可以嘗試延長AD，構造對頂角，則有一組邊和一組角相等，再適當構造一組相等的邊或角，全等就在眼前！比如，如圖2，延長AD到點E，使得DE=AD，無論是連接BE還是CE，都能得到“八字形”全等，從而構造出我們要求的三角形。

把結論中的三邊集中到同一個三角形，構造全等是解決本題的關鍵！怎么想到作輔助線？唯一的條件“中線”就是突破口?！爸芯€”代表一組邊相等，延長中線，便出現(xiàn)對頂角，延長中線一倍，便構造出“八字形”全等。我們不妨把這種方法叫作“倍長中線”，以便理解和記憶。

變式訓練 如圖3，AD是△ABC的中線，E、F分別在AB、AC上，且DE⊥DF，則（? ? ? ）。

A.BE+CF>EF? ? ? ? ? ? B.BE+CF=EF

C.BE+CFD.BE+CF與EF的大小關系不確定

【分析】若按照例題的方法，我們能構造出全等三角形，但無法轉化線段BE、CF、EF，故此構造無效。因此，我們需要理解本題的本質(zhì)。其中D是中點，則BD=CD，若轉化CF，應延長FD到G，使得DG=DF，連接BG、EG，如圖4。根據(jù)兩次全等：△CDF≌△BDG，△EDF≌△EDG，便能實現(xiàn)線段轉化，最終在△BEG中運用三角形三邊關系解決問題。

相信你能想到也可以構造全等轉化BE，殊途同歸！抓住本質(zhì)，合理構造，就如“倍長中線”的本質(zhì)不是“中線”，而是“中點”一樣。

（作者單位：江蘇省無錫市蠡園中學）