創(chuàng)設(shè)多樣教學情境 全面發(fā)展數(shù)學思維

桂佳

[摘? 要] 在新課改的推動下，培養(yǎng)學生良好的思維能力已成為高中數(shù)學的重要教學目標之一，然教學中部分教師往往重視學生邏輯思維能力的培養(yǎng)而忽視合情思維的價值，使學生的思維過于單一、保守，課堂氣氛沉悶. 為此，教學中應(yīng)重視合情思維的發(fā)展，通過創(chuàng)設(shè)懸疑、陷阱、模型等教學情境，充分調(diào)動學生的已有知識和已有經(jīng)驗，發(fā)揮合情思維的優(yōu)勢，為培養(yǎng)學生自學能力和創(chuàng)新能力奠基.

[關(guān)鍵詞] 思維能力;教學情境;創(chuàng)新能力

數(shù)學是一門非常嚴謹?shù)膶W科，邏輯思維在數(shù)學學習中的地位和作用是不可逾越的. 在高考中對于學生邏輯思維能力的考查占首位，然在實際解題中僅僅依賴邏輯思維能力往往是不夠的，在解題前需要發(fā)現(xiàn)、猜想等思維過程，這些思維活動往往是合情思維提供的. 同時，合情思維給數(shù)學思維提供了更廣闊的發(fā)展空間，其在激發(fā)學生數(shù)學潛能，培養(yǎng)學生良好的數(shù)學思維習慣和思維品質(zhì)等方面也有著積極的意義，因此在教學中要重視合情思維的發(fā)展. 那么如何培養(yǎng)學生的合情思維呢？筆者認為，教師在教學中可以創(chuàng)設(shè)豐富多彩的教學情境，為學生提供一個獨立思考、和諧發(fā)展的平臺，充分調(diào)動學生已有經(jīng)驗和已有認知進行積極的猜想和大膽嘗試，從而讓學生具備獨立發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力，進而推動學生創(chuàng)新能力的提升.

下面筆者就如何創(chuàng)設(shè)情境發(fā)展學生的合情思維談?wù)剮c自己的認識，供同行參考.

[?] 巧設(shè)懸念，激發(fā)探究熱情

巧設(shè)懸念是數(shù)學情境創(chuàng)設(shè)的常用手段之一，其目的是通過懸念激發(fā)學生的求知欲，使其產(chǎn)生一種欲罷不能的探究熱情，此時學生的思維更加活躍，精神更加集中，學生會積極地調(diào)動已有經(jīng)驗嘗試解決問題. 然學生利用已有經(jīng)驗求解時或方法較復(fù)雜，或難以求解，因此需要引入新知識或新方法，從而使學生產(chǎn)生對新知的探究欲望，在這樣的情境下學習必然會獲得事半功倍的效果.

例1 “對數(shù)”的引入.

師：假如A4紙的厚度為0.01 cm，若將其對折，其厚度是多少？

生1：0.02 cm.

師：繼續(xù)對折呢？

生2：0.04 cm.

師：如果對折20次呢？

生3：大概2 cm.

師：只有2 cm嗎？

接下來學生憑直覺又說出了10 cm，50 cm.

師：假如將其對折20次，可能有10層樓那么高. （教師給出答案后，教室一片嘩然，學生露出了驚訝的表情）

師：如果你們可以將其對折27次，那么你們就可以自建一個珠穆朗瑪峰了.

教學中教師首先讓學生嘗試對折，形成初步認識，體驗“做數(shù)學”的快樂，在無法折疊時讓學生運用合情思維大膽地猜測，雖然合情思維所反饋的結(jié)果可能是假的，然其潛移默化地激發(fā)了學生探究的積極性. 通過懸念情境的創(chuàng)設(shè)，激發(fā)了學生的好奇心和求知欲，學生對接下來的教學內(nèi)容自然會產(chǎn)生濃厚的興趣，這有利于生機勃勃課堂的生成，有利于合情思維的發(fā)展.

[?] 巧設(shè)陷阱，制造沖突

數(shù)學概念、公式、定理較多，在使用時常常因忽略適用條件而造成錯誤，因此在教學中可以在易錯點設(shè)置“陷阱”，制造思維沖突，使學生先“誤入歧途”，通過自查、互查、探究等學習過程跳出“陷阱”，從而培養(yǎng)思維的深刻性和嚴謹性.

例2 已知a，b∈R+且a+b=1，求證：

a+

b+

≥.

本題教師預(yù)設(shè)了“陷阱”，為了充分展現(xiàn)學生的問題，教師巡視學生的求解過程并讓學生進行板演，以讓學生充分暴露問題，進而查缺補漏.

錯解1：因為a+≥2，b+≥2，所以

a+

b+

≥4.

錯解2：

a+

b+

=ab+++，因為ab+≥2，+≥2，所以

a+

b+

≥4.

錯解3：因為ab≤

=，+≥2，所以

a+

b+

=ab+++≥6+ab≥6+=.

顯然錯解1和錯解2在應(yīng)用基本不等式時忽略了“相等”這一關(guān)鍵要素，兩種方法若要使等號成立，則a=b=1，顯然這與已知條件a+b=1相悖. 錯解3的錯誤較隱蔽，其忽略了異向不等式是不能相加的.

教學中讓學生充分展示其思維過程并引導其找到思維盲區(qū)，可以有效地引導學生走向合情思維的發(fā)展之路. 錯誤是寶貴的生成性資源，其可以充分地暴露問題，加以正確引導，不僅可以實現(xiàn)查缺補漏的目的，而且有利于思維的全面發(fā)展.

[?] 巧借模型，化抽象為具體

合情思維雖然在某種程度上存在一定的主觀性，但對于一些題目，若用常規(guī)思維去求解往往很困難，而通過直覺去觀察卻很容易得出答案，因此在解題前可以應(yīng)用合情思維進行大膽判斷，充分地挖掘隱含的信息，聯(lián)想已有經(jīng)驗進行合理的建模往往會獲得意外的驚喜.

例3 解方程組x+y+z=1，

x2+y2+z2

=，

x3+y3+z3

=.

本題通過觀察很容易求得x=y=z=，然合情思維具有一定的猜測性，其不像邏輯思維那樣嚴謹，因此若求解時直接給出答案x=y=z=顯然理由不夠充分;然若采用直接代入法進行求解顯然計算量過大，求解困難，因此在解題時需要另辟蹊徑. 通過觀察本題的特點，可以將x+y+z=1聯(lián)想成平面方程，即表示在x軸、y軸、z軸上的截距都為1的平面;將x2+y2+z2=聯(lián)想成球面方程，即表示以原點為球心，為半徑的球面. 那么x+y+z=1與x2+y2+z2=的解應(yīng)為兩面的交點坐標，球心（0，0，0）到平面x+y+z=1的距離d===球半徑，故可知平面x+y+z=1與球面x2+y2+z2=相切，切點的坐標為

，，

，此為兩方程唯一的實數(shù)解. 將結(jié)果代入x3+y3+z3=，容易得出其同樣適用. 故方程組的解為x=y=z=.

本題利用合情思維大膽地將方程構(gòu)建成熟悉的數(shù)學模型，進而將抽象的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何模型，模型同已有經(jīng)驗有機結(jié)合，從而順利地解決了問題.

[?] 利用多媒體教學情境，活化思維

隨著信息技術(shù)的發(fā)展，計算機在數(shù)學教學中所發(fā)揮的作用日趨明顯，抽象的動態(tài)運動過程通過計算機進行模擬使之變得更加直觀具體，有些難以用語言表達的信息通過轉(zhuǎn)化使之更加通俗易懂. 因此，在教學中適時地應(yīng)用多媒體可以有效突破教學的重難點，發(fā)展學生的合情思維.

例4 如圖1所示，AB為過橢圓+=1（a>b>0）的左焦點F的弦，過O作弦AB的垂線，垂足為M，求點M的軌跡方程.

為了讓學生更加直觀地感受點M的運動過程，教師運用了幾何畫板進行演示：拖動點A在橢圓上轉(zhuǎn)動，跟蹤點M，得到點M的運動軌跡如圖2所示，其軌跡為一個圓. 分析軌跡后，該如何求解呢？教師引導學生進行小組交流，合作解決.

生4：設(shè)弦AB所在直線的斜率為k，則與其垂直直線的斜率為-，將兩直線方程聯(lián)立并求出交點坐標即為M的坐標.

師：是一個辦法，那么該如何求解呢？

生4的方法是學生常用的方法，然本題若用此方法求解顯然很難計算. 學生嘗試消去參數(shù)k來得到圓的軌跡方程，然因計算過于復(fù)雜，所以未能得出答案.

師：看來生4的思路簡單，但是求解過程復(fù)雜，我們能不能找到更為簡單的方法呢？

生5：根據(jù)圖2可以得到OF為圓的直徑，是否可以利用這一條件呢？

師：很好的發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)在沿著這個思路，看看能不能找到計算方便的方法呢.

生6：因為OM⊥AB，所以O(shè)M2+

FM2=

OF2. 若設(shè)點M的坐標為（x，y），點F的坐標為（-c，0），則x2+y2+（x+c）2+y2=c2，即

x+

+y2=

.

生6給出答案后，大家非常驚訝：原來可以這么簡單！大家還在回顧生6的解題策略時，又有學生提出了新的想法.

生7：其實本題給出的橢圓方程就是一個陷阱，引導我們將證明的重心都放在理解橢圓方程和橢圓圖像上，其實仔細觀察后不難發(fā)現(xiàn)，本題只與原點O和點F的坐標有關(guān)，與橢圓的弦AB并沒有關(guān)系，因此可以將題目進行轉(zhuǎn)化，即“過定點O（0，0）和定點F（-c，0）作兩條互相垂直的直線，垂足為M，求點M的軌跡方程”.

教學中，教師通過多媒體引導學生觀察動點M的運動軌跡，為下面的探究做了充分的準備. 學生首先利用已有經(jīng)驗采用解方程組的方式求解點M的軌跡，求解時發(fā)現(xiàn)計算過程復(fù)雜，此時教師并未直接給出答案，而是鼓勵學生繼續(xù)觀察，尋找最優(yōu)的解決方案，生6給出的解題方案拓寬了學生的視野，將探究推向了高潮，生7對題目的轉(zhuǎn)化表明思維得到了進一步升華.

引導學生將抽象、陌生的數(shù)學問題轉(zhuǎn)化為具體、熟悉的數(shù)學經(jīng)驗是重要的解題手段，那么，若想轉(zhuǎn)化得更加自然流暢，則離不開教學情境的精心設(shè)計. 教學中，適時適當?shù)那榫硠?chuàng)設(shè)可以充分調(diào)動學生的積極性，使學生通過多角度觀察和多方位思考調(diào)動其直覺思維，進而按照已有經(jīng)驗進行合理的遷移和建構(gòu)，從而進一步培養(yǎng)和發(fā)展學生的合情思維.