考慮微凸體相互作用的結(jié)合面靜摩擦因數(shù)模型*

張學(xué)良，許雍泰，趙海路

(太原科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，太原 030024)

0 引言

機(jī)械系統(tǒng)中存在大量結(jié)合面，結(jié)合面的靜態(tài)與動(dòng)態(tài)特性影響著機(jī)械結(jié)構(gòu)的性能，摩擦是結(jié)合面接觸特性之一，對(duì)機(jī)械運(yùn)轉(zhuǎn)有著重要影響。摩擦?xí)a(chǎn)生能量消耗與材料磨損，研究結(jié)合面摩擦對(duì)各種設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)及社會(huì)生產(chǎn)有重要意義[1-2]。

國內(nèi)外學(xué)者對(duì)結(jié)合面摩擦進(jìn)行了深入研究，伴隨著結(jié)合面研究的發(fā)展，人們開展了基于統(tǒng)計(jì)模型的結(jié)合面摩擦研究與基于分形模型結(jié)合面摩擦的研究。CHANG等[3]基于GW模型，通過研究彈性微凸體的切向載荷建立了金屬結(jié)合面靜摩擦因數(shù)統(tǒng)計(jì)模型。尤晉閩等[4]考慮微凸體彈性、彈塑性和塑性3種機(jī)制建立了結(jié)合面靜摩因數(shù)統(tǒng)計(jì)模型。盛選禹等[5]基于分形接觸理論，建立了結(jié)合面靜摩擦因數(shù)預(yù)測模型。田紅亮等[6-7]對(duì)分形理論進(jìn)行改進(jìn)提出了金屬材料表面靜摩擦因數(shù)分形模型并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。張學(xué)良等[8]提出了與微凸體尺度等級(jí)關(guān)聯(lián)的考慮微凸體完全彈性、第一彈塑性、第二彈塑性和完全塑性4種變形機(jī)制的結(jié)合面靜摩擦因數(shù)三維分形模型。

上述研究對(duì)結(jié)合面靜摩擦因數(shù)建模進(jìn)行了一步步完善，但均未考慮微凸體相互作用對(duì)結(jié)合面摩擦產(chǎn)生的影響。結(jié)合面微凸體受到載荷作用接觸面積發(fā)生變化，與相鄰的微凸體逐漸產(chǎn)生擠壓作用，使得真實(shí)接觸面積與名義接觸面積的比例逐漸增大，從微觀上對(duì)結(jié)合面特性產(chǎn)生影響進(jìn)一步表現(xiàn)為宏觀現(xiàn)象[9]，故考慮微凸體相互作用分析結(jié)合面接觸靜摩擦因數(shù)更接近實(shí)際。CIAVARELLA等[10]在GW模型的基礎(chǔ)之上考慮微凸體的相互作用后重新建立了接觸載荷和變形的關(guān)系。ZHAO等[11]基于圣維南原理分析了微凸體相互作用對(duì)局部變形的影響。張偉等[12]建立了考慮微凸體基體變形和相互作用的結(jié)合面法向接觸剛度統(tǒng)計(jì)模型。王潤瓊等[13]基于分形理論提出了考慮域擴(kuò)展因子和微凸體相互作用的結(jié)合面接觸剛度模型。這些模型揭示了微凸體相互作用對(duì)結(jié)合面特性的影響。

基于上述分析，本文將進(jìn)一步考慮結(jié)合面微凸體相互作用的影響，研究建立與微凸體尺度等級(jí)關(guān)聯(lián)的結(jié)合面靜摩擦因數(shù)分形模型，并進(jìn)行必要的仿真分析與實(shí)例驗(yàn)證。

1 考慮微凸體相互作用的微凸體接觸力學(xué)模型

1.1 考慮微凸體相互作用的微凸體的法向載荷

本文采用與MB模型相同的假設(shè)，將結(jié)合面等效為一個(gè)理想光滑剛性平面和一個(gè)分形粗糙面的接觸，尺度等級(jí)為n的微凸體變形前的輪廓曲線為[8]：

(1)

單個(gè)微凸體峰頂曲率半徑為：

(2)

微凸體高度為：

(3)

微凸體相互作用示意圖如圖1所示[12]。

圖1 微凸體相互作用示意圖

圖1中R為曲率半徑；z為給定微凸體以平均平面為測量基準(zhǔn)的輪廓高度數(shù)據(jù)；d為未加載時(shí)剛性平面與微凸體平均平面間距離；dn為剛性平面與結(jié)合面加載后微凸體平均平面的距離；r為微凸體的接觸半徑；a為接觸面積；δ為系統(tǒng)總變形量，從圖中可以得出：

δ=z-d

(4)

結(jié)合面接觸過程中微凸體承受載荷，各微凸體之間產(chǎn)生相互作用，導(dǎo)致微凸體所在基底發(fā)生變形，綜合表現(xiàn)為各微凸體的平均平面產(chǎn)生的向下位移δ′，由文獻(xiàn)[13]可得：

(5)

式中，p為作用在微凸體上的平均載荷。

從圖中可以得出微凸體實(shí)際變形量為：

ω=δ-δ′

(6)

考慮微凸體相互作用尺度等級(jí)為n的單個(gè)微凸體彈性階段承受面積和載荷分別為[13]：

ane=πRnωn

(7)

(8)

將式(2)和式(4)聯(lián)立可以得到彈性接觸載荷與面積的關(guān)系：

(9)

由赫茲接觸理論可知尺度等級(jí)為n的微凸體臨界彈性接觸變形量為[8]：

(10)

式中，K為硬度系數(shù)，與材料的泊松比v有關(guān)系，K=0.454+0.41v；E為等效彈性模量；H為較軟材料的硬度。

當(dāng)尺度等級(jí)為n的微凸體的變形量wn>wnec時(shí)，微凸體發(fā)生完全塑性接觸變形，此時(shí)單個(gè)微凸體承受的法向接觸載荷和接觸面積為：

Fnp=K1σsanp

(11)

anp=2πRnωn

(12)

式中，K1=H/σs為較軟材料的硬度與屈服強(qiáng)度之比。

1.2 考慮微凸體相互作用的微凸體的最大靜摩擦力

結(jié)合面發(fā)生塑性變形的微凸體，由于局部的接觸載荷已經(jīng)使其發(fā)生塑性流動(dòng)，將不能繼續(xù)承受切向載荷，因此在計(jì)算靜摩擦力時(shí)不包括已經(jīng)發(fā)生塑性變形的微凸體，即沒有達(dá)到彈性極限的微凸體能夠承受切向載荷對(duì)摩擦力有貢獻(xiàn)[5]。當(dāng)切向載荷逐漸增大時(shí)，只有彈性變形的微凸體最終將達(dá)到屈服，此時(shí)的切向載荷就是最大靜摩擦力，文獻(xiàn)[5]中給出最大切向載荷即最大靜摩擦力為：

(13)

本部分考慮微凸體相互作用計(jì)算分析了單個(gè)微凸體的法向載荷與最大靜摩擦力，建立了考慮微凸體相互作用的微凸體接觸力學(xué)模型。

2 考慮微凸體相互作用的結(jié)合面靜摩擦因數(shù)模型

2.1 多尺度臨界等級(jí)指數(shù)

結(jié)合面接觸過程中尺度等級(jí)指數(shù)可根據(jù)微凸體變形量與臨界變形量關(guān)系進(jìn)行計(jì)算[14]，即ωn<ωnec。結(jié)合面彈性接觸到塑性接觸的臨界等級(jí)指數(shù)如下：

(14)

2.2 微凸體接觸面積密度分布函數(shù)

結(jié)合面接觸微觀上表現(xiàn)為多個(gè)微凸體接觸，文獻(xiàn)[19-20]給出了結(jié)合面中微凸體接觸面積密度分布函數(shù)[13]：

(15)

式中，φ為域擴(kuò)展因子，其表達(dá)式為：

(16)

為方便后續(xù)計(jì)算文獻(xiàn)[16]假定式(15)為某一尺度等級(jí)下的微凸體接觸面積密度分布函數(shù)，并引入系數(shù)Q來表示不同尺度等級(jí)微凸體接觸面積密度分布函數(shù)：

(17)

(18)

式中，anl為尺度等級(jí)系數(shù)為n時(shí)微凸體最大接觸面積；an為尺度等級(jí)系數(shù)為n時(shí)微凸體接觸面積。

2.3 考慮微凸體相互作用的結(jié)合面法向接觸載荷

結(jié)合面彈性接觸法向載荷如下：

(19)

結(jié)合面塑性接觸法向載荷如下：

(20)

結(jié)合面接觸載荷：

F=Fre+Frp

(21)

2.4 考慮微凸體相互作用的結(jié)合面切向接觸載荷

由第1.2節(jié)可知，結(jié)合面接觸所承受的切向載荷即最大靜摩擦力為：

(22)

2.5 考慮微凸體相互作用的結(jié)合面靜摩擦因數(shù)模型

根據(jù)靜摩擦因數(shù)的定義可得結(jié)合面靜摩擦因數(shù)為：

(23)

為了計(jì)算結(jié)果具有通用性，此處進(jìn)行如下無量綱化處理：

(24)

(25)

(26)

本部分考慮微凸體相互作用計(jì)算分析了結(jié)合面尺度關(guān)聯(lián)法向載荷、最大靜摩擦力和靜摩擦因數(shù)，建立了考慮微凸體相互作用的結(jié)合面靜摩擦因數(shù)尺度關(guān)聯(lián)三維分形模型。

3 結(jié)合面靜摩擦因數(shù)模型仿真分析

3.1 考慮微凸體相互作用的結(jié)合面靜摩擦因數(shù)分析

本節(jié)選取不同分形維數(shù)，對(duì)結(jié)合面靜摩擦因數(shù)與無量綱法向接觸載荷進(jìn)行考慮微凸體相互作用與不考慮微凸體相互作用對(duì)比分析。表1給出接觸表面材料等效彈性模量E，GPa；等效硬度H，GPa；較軟材料泊松比v，微凸體的尺度等級(jí)n取值范圍[14]。

表1 等效結(jié)合面參數(shù)

將參數(shù)代入本文計(jì)算模型，進(jìn)行數(shù)值仿真，結(jié)果如圖2所示。模型1考慮了微凸體相互作用，模型2未考慮微凸體相互作用。考慮微凸體相互作用結(jié)合面靜摩擦因數(shù)隨著無量綱接觸載荷增大而減小與文獻(xiàn)[8]中靜摩擦因數(shù)變化趨勢一致。在數(shù)值上考慮微凸體相互作用時(shí)靜摩擦因數(shù)相對(duì)較大，這是由于結(jié)合面同等參數(shù)條件下接觸，微凸體相互作用導(dǎo)致結(jié)合面微凸體變形量或者接觸面積減小，致使結(jié)合面接觸過程處于彈性接觸的微凸體所占比例增大，而彈性接觸微凸體變形對(duì)靜摩擦因數(shù)有主要貢獻(xiàn)[8-12]，因此考慮微凸體之間相互作用時(shí)結(jié)合面靜摩擦因數(shù)會(huì)增大。

(a) D=2.1 (b) D=2.2

(c) D=2.3 (d) D=2.4

(e) D=2.5 (f) D=2.6

(g) D=2.7 (h) D=2.8

(i) D=2.9圖2 靜摩擦因數(shù)與無量綱法向載荷仿真分析

3.2 基于本文模型分析不同材料結(jié)合面靜摩擦因數(shù)

本節(jié)采取文獻(xiàn)[17]材料參數(shù)如表2所示，將三組結(jié)合面材料參數(shù)分別代入本文模型，如圖對(duì)比分析了不同材料結(jié)合面靜摩擦因數(shù)隨著無量綱載荷的增大而減小，進(jìn)一步將本文模型與實(shí)際結(jié)合。表2給出接觸表面材料等效彈性模量E，GPa；等效硬度H，GPa；較軟材料泊松比v。

表2 結(jié)合面材料參數(shù)

圖3中模型1考慮了微凸體相互作用，模型2為未考慮微凸體相互作用，仿真分析表明不同材料結(jié)合面接觸摩擦在考慮微凸體相互作用的時(shí)候較大比不考慮時(shí)。對(duì)比結(jié)合面a、b和c仿真圖像可以發(fā)現(xiàn)不同材料的結(jié)合面間微凸體相互作用對(duì)摩擦系數(shù)的影響不同，這是由于微凸體相互作用導(dǎo)致接觸過程中彈性階段微凸體所占比例的增大幅度不同，因此對(duì)靜摩擦因數(shù)的影響也不同，圖4對(duì)此采用塑性指數(shù)進(jìn)行具體分析。

(a) 結(jié)合面a (b) 結(jié)合面b

(c) 結(jié)合面c圖3 不同材料結(jié)合面仿真

圖4取不同塑性指數(shù)φ對(duì)靜摩擦因數(shù)與無量綱載荷關(guān)系進(jìn)行了仿真分析，并在塑性指數(shù)相同時(shí)分別進(jìn)行考慮有無微凸體相互作用對(duì)靜摩擦因數(shù)的影響，模型1考慮了微凸體相互作用，模型2未考慮微凸體相互作用，圖4中的圖像分別對(duì)應(yīng)結(jié)合面a、b和c的仿真分析。

(a) 結(jié)合面a (b) 結(jié)合面b

(c) 結(jié)合面c圖4 塑性指數(shù)對(duì)靜摩擦因數(shù)的影響

圖中微凸體相互作用對(duì)靜摩擦因數(shù)的增大幅度隨著塑性指數(shù)的減小而增大，塑性指數(shù)越小微凸體相互作用越明顯，致使彈性微凸體所占比例增大，進(jìn)一步導(dǎo)致靜摩擦因數(shù)增大。圖4中還可以發(fā)現(xiàn)隨著塑性指數(shù)增大靜摩擦因數(shù)減小，這是因?yàn)樵谕瑯拥姆ㄏ蜉d荷條件下，塑性指數(shù)越大粗糙表面上的微凸體越易發(fā)生塑性變形，使得彈性狀態(tài)的微凸體所占比例減小，進(jìn)一步對(duì)靜摩擦因數(shù)的貢獻(xiàn)減小，這與文獻(xiàn)[4]中相應(yīng)的變化趨勢一致[4-12]。

3.3 本文模型與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比

為進(jìn)一步驗(yàn)證模型的正確性與合理性，本部分引用文獻(xiàn)[8]和文獻(xiàn)[18]的結(jié)合面參數(shù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析，三維粗糙表面分形維數(shù)和粗糙度分別為，D=2.218 5，G=6.891 3×10-5m，取樣長度L=8.8 mm，微凸體等級(jí)指數(shù)為6～39，復(fù)合彈性模量E=59.52 GPa，較軟材料硬度H=0.785 GPa，名義接觸面積Aa=78.54 mm2。

圖5為本文模型與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的仿真結(jié)果，模型1為考慮微凸體相互作用時(shí)仿真圖像，模型2為未考慮微凸體相互作用時(shí)的仿真圖像，圖5中對(duì)模型1模型2局部圖像進(jìn)行了放大處理。靜摩擦因數(shù)伴隨無量綱接觸載荷增加而減小與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)變化趨勢相同；取相同無量綱法向載荷，考慮微凸體相互作用時(shí)結(jié)合面的靜摩擦因數(shù)更接近實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)；進(jìn)一步驗(yàn)證了本文方向的正確性。對(duì)圖5中模型1與模型2曲線進(jìn)行擬合，再求取靜摩擦因數(shù)增長百分比如圖6所示，縱坐標(biāo)給出法向載荷相同時(shí)微凸體相互作用導(dǎo)致靜摩擦因數(shù)增長百分比，進(jìn)一步表明微凸體相互作用的重要性。

圖5 仿真分析與實(shí)驗(yàn)對(duì)比 圖6 微凸體相互作用增幅百分比

由于本部分所采用的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來源于考慮磁頭磁盤界面摩擦簡化實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，一般情況下承受較小載荷，所以圖5中模型1、模型2圖像二者摩擦因數(shù)數(shù)值相差較小。本文模型未考慮粘著力，由文獻(xiàn)[18]知道粘著力會(huì)導(dǎo)致靜摩擦系數(shù)增大，同時(shí)本文模型沒有考慮彈塑性接觸，因此本文模型所得靜摩擦因數(shù)數(shù)值上與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)有一定差異。下一步繼續(xù)研究微凸體相互作用及粘著力影響下彈塑性接觸的靜摩擦因數(shù)。

4 結(jié)論

考慮微凸體相互作用時(shí)結(jié)合面靜摩擦因數(shù)在數(shù)值上相對(duì)較大。微凸體相互作用導(dǎo)致了靜摩擦因數(shù)增大與實(shí)際數(shù)值更接近。

微凸體相互作用對(duì)于不同材料結(jié)合面靜摩擦因數(shù)影響程度不同。結(jié)合面靜摩擦因數(shù)隨著塑性指數(shù)的減小而增大，同時(shí)塑性指數(shù)越小靜摩擦因數(shù)在考慮微凸體相互作用時(shí)增大幅度越大。