航空發(fā)動機葉片自適應磨拋定量去除研究*

王 輝，趙 歡，羅來臻

(華中科技大學數字制造裝備與技術國家重點實驗室，武漢 430074)

0 引言

航空發(fā)動機葉片是航空發(fā)動機內部的核心零部件之一，其在航空發(fā)動機內部種類多、數量大且關系著航空發(fā)動機的工作性能與壽命。航空發(fā)動機葉片的工作環(huán)境復雜、溫度高、壓強大，風速快[1]。葉片加工后的尺寸與形狀達不到理論設計的要求，則可能導致航空發(fā)動機出現影響發(fā)動機工作性能的現象[1-2]，如失速、氣喘和紊流等，甚至在非常嚴重時影響到飛行的安全性，因此在加工制造時必須保證加工后的發(fā)動機葉片具有嚴格的型面完整性以及精度很高的截面尺寸[1]。

目前工業(yè)上對所有批次葉片采用相同的磨拋工藝參數對葉片進行磨拋，可能會導致葉片某些部位出現過磨或者欠磨的情況。針對該問題，工業(yè)界提出自適應加工的概念[3-5]，通過加工前的測量數據，對特定葉片的加工工藝進行修調。

自適應加工主要分為兩種，一類是尺寸自適應，一類是形狀自適應。尺寸自適應主要通過修調磨拋過程中的工藝參數，對葉片型面輪廓度進行控制；形狀自適應主要通過修調磨拋刀路，對葉片形狀進行控制。本文主要按以下思路對尺寸自適應進行研究：首先根據測量數據進行葉片表面的余量計算與分析，與此同時可以在前期試驗中，構建該葉片材料的去除率模型，利用該先驗的材料去除率模型，對已經規(guī)劃好的刀路點進行工藝參數規(guī)劃。

1 NURBS曲面重構

1.1 NURBS曲線曲面概述

采用有理多項式與基函數表達m次NURBS曲線[6]時，曲線方程的表達式如式(1)所示。

(1)

式中，m為曲線的次數；p為曲線的控制頂點；w為曲線的控制頂點權因子；u為曲線方程參數值；Ni,m(u)是按照節(jié)點向量U構造的樣條基函數。

B樣條基函數是在每個節(jié)點向量U區(qū)間內建立的一種參數多項式，De-Boor Cox遞推算法給出了m次規(guī)范B樣條基函數的表達式如式(2)所示。

(2)

式中，i表示基函數的序號；m表示基函數的次數。

m×l次NURBS曲面的表達式如式(3)所示。

(3)

式中，u、v為兩個方向的參數值，其他變量含義與式(1)中相應變量的含義相同。

1.2 NURBS樣條曲線曲面重構方案

根據給定的型面數值點反求NURBS曲線的方法有擬合和插值，采用擬合的方式得到的曲線并不完全通過給定的型值點，而是通過給定的允許誤差構造最逼近、最光順的曲線[5-6]，這種方式通常應用于測量數據誤差較大的情況；采用插值的方式得到的曲線完全通過給定的型值點，這種方式通常應用于測量數據精度很高的情況。本文采用高精度三坐標測量儀進行型值點的測量，測量精度高，因此選用插值的方式重構葉片表面。

本文在葉片截面內u向上采用二次NURBS曲線插值，且該曲線為閉曲線；在截面間v向上對每個截面相同節(jié)點控制區(qū)域的控制點采用三次NURBS曲線插值，該曲線為clamped曲線。

1.3 型值點參數化與節(jié)點向量的生成

(4)

(5)

式中，d為曲線的總弦長。

本文采用常用的平均節(jié)點向量的方式建立規(guī)范化的節(jié)點向量U，如式(6)所示。

(6)

當有n+1個數據點qi時，對數據點參數化之后可以得到n+2m+1個節(jié)點向量，可以反求出n+m個控制頂點。對clamped曲線，一般使首末節(jié)點的重復度為m+1，反求得到的控制頂點不重復，且首末控制頂點與曲線首末端點重合；而對閉曲線，則起始與末尾各m+1個節(jié)點的重復度為1，且u0-um與un-m-un、up+1-u2p與un+1-un+p+1之間的對應值相差1，得到的首末m個控制頂點重合。

1.4 構造系數矩陣與反求控制頂點

利用得到的參數點與節(jié)點向量可以利用n+1個型值點構造出n+3個控制點，因此在反算控制點時，需要額外添加兩個邊界約束條件。

(1)對于C1連續(xù)的二次閉曲線，邊界條件為最后兩個控制點及其支撐區(qū)間長度與初始的兩個控制點及其支撐區(qū)間長度相同。根據控制頂點相同可以消除兩個方程，再根據對應的支撐區(qū)間長度相同由此導致的首尾對應的基函數相等，可以作為補充的2個邊界條件，如式(7)所示。根據式(5)、式(6)與生成的節(jié)點向量U可以得到反求控制頂點的方程如式(8)所示。

(7)

(8)

(2)對于三次clamped曲線，其邊界條件可以使首尾的控制點與曲線的首尾端點重合，為了使插值曲線形狀更加自由，數據點不作為曲線的首尾端點，在本文所處環(huán)境中，首末端點的切向不易獲得，因此可以在首末局部根據式(9)作直線插值得到曲線的首尾端點。

(9)

式中，λ1、λ2是兩個端點的延長比例系數，理論取值范圍為(0,+∞)，為保證端點插值曲線形狀誤差較小，一般取值區(qū)間為[0.01,0.05]。

得到首末端點后，NURBS曲線的有效區(qū)間不再規(guī)范化，因此仍要重新生成數據點參數與節(jié)點向量。最后根據生成的節(jié)點向量V可以得到反求控制頂點的方程如式(10)所示。

(10)

2 葉片表面余量計算方法

2.1 與理論法線相交三角網格的尋找方法

用NURBS樣條重構出的曲面為參數方程形式，而空間法線為三維直線方程，兩組方程聯立時很難得到解析解法，一般情況下只能通過數值解法進行求解，造成運算消耗過大，因此本文采用將參數化后的NURBS方程離散化的方式，將參數方程在有效定義域內等距采樣，轉化為三角網格形式。此時問題轉化為空間之間與空間平面的求交問題，這樣使得問題簡化很多，本節(jié)主要介紹了尋找與法線相交的三角面片方法。

網格格式的表面數據，如式(11)所示。通常由空間點坐標P與由點序列構成的面片V兩部分組成。

S={P={p0,…,pn},V={v0,…,vi}}

(11)

式中，n表示離散化后的點的數量；i表示離散點組成的三角面片的數量。

通常尋找三角面片的方式可以概括為如下步驟：先在P中尋找到與點q最近的測量重構表面上的離散點pj，在面片序列V中尋找包含pj的所有序列，判斷該序列中是否包含與法線相交的三角面片，如果包含則尋找過程結束；如果不包含則重新在P中尋找與點q距離第二位的重構表面上的離散點pj*，重復上述過程，直至找到相交的三角面片。

判斷直線是否與三角面片相交時，如果實際計算每一個平面與直線的交點，再判斷交點是否在面片之內，這樣的方法雖然很簡單，但是遇到如圖1所示的情況時，導致程序運算交點的運算過程較多，使得程序計算效率較低。

圖1 求與直線相交的三角面片時的極端情況

本文采用一種快速判斷直線是否與三角面片相交的方法，假設目前需要判斷點q與面片v={pα,pβ,pγ}是否相交，構造面片三點與路徑點的向量矩陣B，如式(12)所示。

B=[pα-q,pβ-q,pγ-q]

(12)

首先判斷矩陣B是否為滿秩，如果矩陣B不滿秩，則點q在面片v所在的平面上，但不一定在面片v上，需要判斷點q是否在三角形內部，此過程可參照有關書籍，本文不再敘述；如果矩陣B滿秩，則點q與面片v不共面，此時將矩陣B的列向量視為一組斜空間坐標系的基向量，如圖2所示，將點q的法向量Nq向基坐標系投影，為使判斷求得的余量正負的簡便，需在向基坐標系投影之前判定法向為表面朝外的方向，若投影值均為正，則該面片為所求的相交面片。

圖2 判斷直線與三角面片是否相交

為了減少判斷直線與三角面片是否相交的次數，本文提出一種向單位球面投影點排序的尋找與直線相交的三角面片的加速算法。根據經驗確定點q的K近鄰內一般會出現與法線相交的三角面片的頂點，先取點q的K近鄰點集為M，將點集M向以點q為球心的單位球面上投影，得到M的映射點集M′，如圖3所示，將搜索中心點由點q變?yōu)閝+Nq，再對點集M′內進行上述方法的遍歷尋找，可以加快找到所求的三角面片的速度。該方法的優(yōu)勢是將所有的點映射到同一個尺度下進行尋找，這樣可以避免由于點集P相對于點q的尺度不一致，導致的計算量的增加。

圖3 向單位球面投影的加速算法示意圖

2.2 沿空間直線方向的點到平面的距離公式

通過上節(jié)的方式，找到了與點q的法線Nq相交的三角面片v={pα,pβ,pγ}，接下來計算法線Nq與三角面片v的交點pacross與點q的距離λ。空間平面的三點式方程的形式較為復雜，且用該方程與空間直線求交的運算量也較大。因此，本文跳過求交點pacross的過程，通過向量關系，直接求解距離。

根據圖4所示，先根據式(13)求三角面片v的法向量Nplane，并單位化，而余量向量pacross-q滿足式(14)，點q到面片v上一點的向量可以構造為pα-q，將余量向量與點面向量投影到法向量Nplane，則兩個向量的投影長度均為點q到面v的垂直距離，兩個投影相等可以得到最終的加工余量λ，如式(15)所示。

圖4 向量法計算直線上點到平面的直線方向距離

Nplane=(pβ-pα)×(pγ-pα)

(13)

pacross-q=λNq

(14)

λNq·Nplane=(pα-q)·Nplane

(15)

3 材料去除率模型建模

3.1 材料去除率模型概述

一種非線性的砂帶磨削的數學模型被提出，該模型中材料的磨削去除量與工藝參數之間的關系是指數關系，在線性公式上進行了修改，使其更加符合真實加工場景[8-9]，其模型如式(16)所示。

(16)

式中，r為材料的去除量；KA為阻力系數；Vb為砂帶的線速度；kt為砂帶的磨損系數；Lw為砂帶寬度；Vw為工件的進給速度；FA為系統(tǒng)施加在接觸輪上的力。

崔一輝[9]綜合考慮了砂帶磨損因素、潤滑條件、接觸輪特征條件和溫度因素，提出一種適用于砂帶接觸輪磨削的磨削量與加工參數的數學模型，如式(17)所示。

(17)

式中，A為匹配系數，與工件材料和砂帶有關；pt、pc、pl分別為與溫度有關的系數、與接觸輪的特征相關的系數和與潤滑有關的系數；Blife為砂帶壽命系數；vr、vg為機器人進給速度與砂帶線速度；Fb為法向磨削力；pB1、pB2為與磨削力相關的系數；pR1、pR2為與機器人進給速度相關的系數，且pR1為負數。

本文采用的實驗平臺為砂帶力控磨拋機，因此可以采用上式進行本文的材料去除率建模，為了簡化模型，本文只采用控制砂帶線速度來控制去除量，因此式(16)和式(17)可以整合簡化為式(18)所示。

(18)

3.2 材料去除率模型擬合

本節(jié)主要介紹利用上節(jié)中簡化后的材料去除率模型，在恒力恒進給速度的情況下，對實驗得到的材料去除量進行材料去除率模型的擬合。

采用最小二乘法對模型進行擬合，但是未知數中存在指數的情況，因此本文采用一種迭代求解的方法進行實數冪函數的擬合求解，給定迭代誤差ε，迭代過程如圖5所示。

圖5 材料去除率擬合算法

4 葉片定量去除實驗

4.1 表面重構與余量計算實驗

采用某商用三坐標測量儀，對某型號葉片進行三坐標測量，獲得的數據如圖6所示。

圖6 三坐標測量儀測量的原始數據 圖7 重構的葉片表面

采用本文第1節(jié)所述方法，在C++語言平臺上進行重構實驗，得到的葉片表面如圖7所示。

采用理論截面數據與測量數據重構出的表面采用本文第2章所述的方法計算理論截面的余量，計算獲得的余量結果與商用三坐標測量儀進行對比，如表1所示(Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ截面)。

表1 余量計算結果對比

結果表明本文所采用的余量計算方法與商用的三坐標測量儀所給測量報告的結果相近，最大誤差絕對值為0.003 205 mm，最小誤差絕對值為0.000 168 mm，遠遠小于葉片公差帶范圍，驗證了本文所提出的余量計算方法的有效性。

4.2 航發(fā)葉片材料去除率模型建模

材料去除率模型與多種因素有關，本文為簡化實驗因素，針對式(18)進行材料去除率模型的建立。實驗裝置采用帶有精準力控的砂帶磨拋裝置，其穩(wěn)態(tài)力控制精度可以達到±0.1 N，砂帶線速度可在0～3000 r/min內實現動態(tài)調節(jié)。

實驗前，本文對砂帶特性進行評估，實驗進行期間所選用砂帶均處于穩(wěn)定磨損期內，采用恒定3 N正壓力進行磨拋實驗，根據加工經驗，在實際加工中，砂帶線速度處于500～1500 r/min內可以達到一次磨拋成型的去除余量范圍，因此我們選用500 r/min、800 r/min、1000 r/min、1200 r/min、1500 r/min五種砂帶線速度進行材料去除率的建模。

為避免機器人運動學插補運算帶來工件進給速度的差異，本文在實驗中忽略每條刀路首尾部位的去除余量，將去除量平均值作為該速度下的去除量。同時由于葉盆與葉背的曲率分布具有較大差異，砂帶輪與葉片的接觸狀態(tài)也有較大差異，因此本文分別對葉盆與葉背進行建模。建模結果如圖8所示。

圖8 葉片材料去除率建模結果

4.3 定量去除實驗

本文4.1節(jié)與4.2節(jié)分別對余量計算與材料去除率建模進行了實驗，為自適應定量去除加工提供了先驗基礎條件，本節(jié)將4.2節(jié)中擬合得到的材料去除率模型應用于實際加工中，仍采用恒定接觸正壓力3 N，通過調節(jié)砂帶線速度進行磨拋實驗，控制刀路點處的去除量。

磨拋實驗前，本文先對一片未進行磨拋加工的葉片進行三坐標測量，通過計算葉片加工前的余量信息，結合已擬合得到的材料去除率模型，對砂帶線速度進行規(guī)劃。由于在靠近葉緣部位的刀路點處，葉片駐留時間較長，因此在擬合材料去除模型時，忽略該部位的點，為使刀路連續(xù)，本文將靠近葉緣部位的點的速度規(guī)劃為理論值的0.5倍，如圖9所示為規(guī)劃得到的葉背與葉盆刀路上的砂帶線速度分布。

(a) 葉背速度規(guī)劃 (b) 葉盆速度規(guī)劃圖9 規(guī)劃得到的刀路點上的砂帶線速度

利用該刀路工藝進行磨拋加工，對加工后的葉片進行三坐標測量，某截面葉背與葉盆的輪廓度誤差分布如圖10所示。

(a) 葉背輪廓度誤差 (b) 葉盆輪廓度誤差圖10 加工后某截面輪廓度誤差

由圖可知，利用本實驗規(guī)劃得到的砂帶線速度數據進行磨拋加工后的輪廓度誤差分布相對于理論線更加均勻，在余量較大的部位，去除量也較大，由此驗證本文所提出理論的可行性與有效性。

5 總結

本文針對航空發(fā)動機葉片加工磨拋工序中的定量去除技術進行了研究，利用三坐標測量得到的數據計算加工余量。通過將砂帶線速度作為加工時的控制因素，對航發(fā)葉片的材料去除率模型進行了建模。最后針對該方法進行了實驗，結果表明本文所提出與采用的方法，能夠可信地作為加工余量的計算方法，同時可以建模出了葉片兩型面的材料去除率模型。針對未經過磨拋加工的葉片進行了磨拋加工，最終經測量，本文所提出的方法可以在加工余量分布不均勻的情況下，使最終的型面輪廓度誤差更接近于理論規(guī)劃量，從而驗證了本文方法的可行性。但由于本文所開展實驗次數的限制，未得到更加準確的材料去除模型，以及未對靠近葉緣部位的材料去除模型進行建模，因此本文實驗效果未達到最佳。