核心素養(yǎng)視角下的阿波羅尼斯圓

趙金麗

核心素養(yǎng)視角下的阿波羅尼斯圓

趙金麗

（杭州市余杭中學(xué)，浙江杭州311121）

數(shù)學(xué)素養(yǎng)是通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)獲得的提出、分析與解決問(wèn)題的能力，本文筆者以阿波羅尼斯圓為授課載體，以培養(yǎng)和提高學(xué)生的六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。阿波羅尼斯圓是阿波羅尼斯本人在圓錐曲線內(nèi)容中留下的美妙一筆。在人教版必修二對(duì)于直線和圓的學(xué)習(xí)章節(jié)中，有涉及以阿波羅尼斯圓為背景的習(xí)題，可見(jiàn)該內(nèi)容在學(xué)生需要掌握范圍內(nèi)。

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；阿波羅尼斯圓；比值；軌跡

本文筆者著重解釋了阿波羅尼斯圓的定義、某些重要性質(zhì)，并給出用阿波羅尼斯圓解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的范例，并自編兩題供練習(xí)，以此加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)計(jì)算以及數(shù)學(xué)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的概念

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括如下六個(gè)方面：1.數(shù)學(xué)抽象；2.邏輯推理；3.數(shù)學(xué)建模；4.數(shù)學(xué)運(yùn)算；5.直觀想象；6.數(shù)據(jù)分析。史寧中教授指出：數(shù)學(xué)教學(xué)的終極目標(biāo)，是要讓學(xué)習(xí)者學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。而數(shù)學(xué)的眼光就是抽象，數(shù)學(xué)的思維就是推理，數(shù)學(xué)的語(yǔ)言就是模型。因此數(shù)學(xué)教師如何在課堂上滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成為課堂上的重要責(zé)任，而思考問(wèn)題、研究問(wèn)題的方法本身高于數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)獲得的提出、分析與解決問(wèn)題的能力正是教師們數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)。

二、阿波羅尼斯圓的背景和定義

在人教版數(shù)學(xué)選修2-1第二章的《圓錐曲線與方程》章節(jié)開(kāi)頭展示了橢圓、雙曲線、拋物線可以用對(duì)頂?shù)膬蓚€(gè)圓錐，通過(guò)不同的截面得到。

圓

橢圓

拋物線

雙曲線

這個(gè)方法的創(chuàng)始人是阿波羅尼斯，他的創(chuàng)作可稱(chēng)得上舉世無(wú)雙，為《圓錐曲線》的系統(tǒng)完整奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。他對(duì)于圓錐曲線的貢獻(xiàn)還包括初等數(shù)學(xué)經(jīng)常研究的一個(gè)特殊圓，后人為了紀(jì)念他命名為阿波羅尼斯圓。

這些題的背景都是阿波羅尼斯圓，這類(lèi)題型內(nèi)容形式常規(guī)，起點(diǎn)低，能保證大部分學(xué)生有思路，能夠下手。但是數(shù)學(xué)素養(yǎng)好的學(xué)生又會(huì)站在阿波羅尼斯圓高層次觀點(diǎn)思考問(wèn)題，可以更快地解決問(wèn)題，這又有區(qū)分度，能夠檢測(cè)出學(xué)生的能力，又方便結(jié)合數(shù)學(xué)史上的名題加以設(shè)計(jì)，因此在命題中常見(jiàn)。

三、阿波羅尼斯圓的方程推導(dǎo)以及性質(zhì)

（一）方程推導(dǎo)——數(shù)學(xué)建模

化簡(jiǎn)整理得：（1－2）2+（1－2）2+2（1+2）+（1－2）2=0 （*）

（1）當(dāng)=1時(shí)，=0，（，）的軌跡是的中垂線；

化成圓的標(biāo)準(zhǔn)形式為：

（二）重要性質(zhì)——數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析

四、例題呈現(xiàn)

解：（阿波羅尼斯圓）

方法一：代數(shù)法，利用絕對(duì)值不等式

方法二：阿波羅尼斯圓

注：當(dāng)給出的兩個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)時(shí)，可以根據(jù)直譯法把動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程求出來(lái)，而不是直接代公式。

最后，獲得了504 896 個(gè)學(xué)習(xí)實(shí)例。從GenQA 提供的數(shù)據(jù)和對(duì)齊的數(shù)據(jù)中分別采樣100個(gè)樣例進(jìn)行評(píng)估，比較兩個(gè)方法對(duì)齊問(wèn)答對(duì)于事實(shí)的質(zhì)量。發(fā)現(xiàn)相較于GenQA 中有76% 的匹配事實(shí)三元組能夠幫助生成自然答案(即是合適的事實(shí))，本文所構(gòu)造的數(shù)據(jù)有81% 的匹配三元組是合適的。但是，嚴(yán)格來(lái)說(shuō)只有36% 和44% 的對(duì)齊三元組才是正確的能回答問(wèn)題的三元組。例如，對(duì)于問(wèn)題“謝蓉兒和趙一歡之間的關(guān)系是什么?”，匹配的三元組(趙藝奕，職業(yè)，藝人)可能有助于生成標(biāo)準(zhǔn)的自然答案“公司藝人”，但它不是回答該問(wèn)題的正確事實(shí)。

注：在講解例題時(shí)利用幾何畫(huà)板輔助教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象和數(shù)據(jù)分析能力。

A.有且只有一個(gè)

B.形成一個(gè)圓

D.形成一條直線或一個(gè)圓

①當(dāng)點(diǎn)，不同高的時(shí)候，≠1，則點(diǎn)的軌跡是平面α內(nèi)以為直徑的圓，其中,是線段'的內(nèi)分點(diǎn)和外分點(diǎn)。

②當(dāng)點(diǎn),不同高的時(shí)候，=1，即=，點(diǎn)的軌跡是平面α內(nèi)線段'的中垂線，因此本題選D。

注：上面的例3和例4都是用阿波羅尼斯圓的重要性質(zhì)解決的，當(dāng)找到比值是定值這個(gè)本質(zhì)之后，就能夠抽絲剝繭，回歸本質(zhì)，從而解決題目，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、歸納概括的能力。

五、自主編題

注：在學(xué)習(xí)阿波羅尼斯圓后，可適當(dāng)讓學(xué)生自主編題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，本文提供兩個(gè)筆者自編題如下：

解：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則

六、總結(jié)

通過(guò)以上三個(gè)例題和兩個(gè)改編題，本文力求探討數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的實(shí)質(zhì)，進(jìn)而在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中不斷提高教學(xué)質(zhì)量和效率，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和能力。

另外可以看到，三角形中有一邊是定值，另外兩邊成比例，只要合理建系，多半可以利用阿波羅尼斯圓解決。這為求解類(lèi)似問(wèn)題的最值或者取值范圍提供了一條新的路徑。用常規(guī)方法去解決也有可能有非常漂亮的解法，但是條條大路通羅馬，道路多了，可以欣賞各條不同道路的沿途美景。眾所周知每條道路上的風(fēng)景后，當(dāng)某一天站在高考的戰(zhàn)場(chǎng)上，利用我們的慧眼，胸有成竹，信心百倍，可以立馬選擇一條最快捷的、最成功的“路”。

[1] 朱成萬(wàn),王紅權(quán).至精至簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)思想方法[M].杭州:浙江大學(xué)出版社,2018(4):107-110.

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