頻譜非對稱包絡調制的圓對稱艾里光束的傳播特性研究*

寧嘯坤 耿滔

(上海市現(xiàn)代光學系統(tǒng)重點實驗室,上海理工大學,上海 200093)

為了增強圓對稱艾里光束的自聚焦能力,本文使用了非對稱雙曲正割函數對光束的頻譜進行了包絡調制研究,詳細探討了頻譜中高、低頻分量對自聚焦特性的影響.結果表明單純增加頻譜的高頻分量,并不會使自聚焦能力持續(xù)增強,低頻分量對光束的自聚焦特性同樣起著不可或缺的作用.由于非對稱包絡可以靈活的調節(jié)高、低頻分量的比重,因此調制效果要優(yōu)于高通濾波和對稱包絡調制.當調制參數選取適當時,光束焦點峰值大幅增加,達到了調制前的3.4 倍,同時焦斑尺寸減小了23.6%.最后,本文對理論分析結果進行了實驗驗證,實驗結果與理論結果相吻合,證明了頻譜的非對稱包絡調制是一種高效且易于實現(xiàn)的調制方法.

1 引言

自2007 年首次實驗產生有限能量的艾里光束以來[1,2],其無衍射、自加速等特性受到了研究者的極大關注,是光學領域的研究熱點之一[3?5].隨后,圓對稱艾里光束(circular Airy beam,CAB)[6]、艾里陣列光束[7]、分數艾里光束[8]等新型艾里光束也被逐漸提出.其中,將一維艾里光束做徑向對稱處理獲得的CAB 是一種特殊的自聚焦光束,其特點是在自由空間中傳播時,在焦點前能保持著極低的光強分布,而到達焦點處時,其光強會突然提升至之前的數十倍甚至數百倍,因此又被稱為突然自聚焦光束(abruptly autofocusing beam,AAB)[6].與普通聚焦光束相比,CAB 在焦點位置前能保持極低的光強分布,因此被用于激光手術治療和光動力治療等領域時,不會對其傳播路徑上的健康細胞造成損傷,從而能實現(xiàn)精準定點治療的效果[9].CAB在焦點位置的光強發(fā)生突變,因此能產生一個極大的光學梯度力,在光學微操縱[10,11]等領域內有著極強的先天優(yōu)勢.近年來,Papazoglou 等[12,13]發(fā)現(xiàn)CAB 在非線性介質中可以產生與基波保持相同相位分布的高階諧波,這種“相位記憶”特性在非線性光學領域有著廣闊的應用前景,已被應用于“光子彈”和太赫茲輻射的產生[14,15].

對于上述應用而言,CAB 的突然自聚焦特性至關重要,因此如何盡量提升光束的自聚焦性能成為研究者關注的核心問題之一.Li 等通過在初始平面遮擋CAB 的主光環(huán),提升了CAB 的自聚焦效率[16].隨后,Jiang 等[17]提出了傅里葉空間頻譜的高通濾波方法,發(fā)現(xiàn)比遮擋主光環(huán)能獲得更好的結果.Zhong 等[18]在波前引入了角向調制來控制光束的自聚焦性能,但由于預期光束的結構遠比CAB 復雜,實驗中較難產生[19].Li 等[20]提出了使用部分相干性來調控CAB 的自聚焦性能.最近,我們提出了頻譜振幅的包絡線調制方法[21],在頻譜空間引入了高斯對稱包絡調制,使得光束的焦點光強增強為原CAB 的2.9 倍.

頻譜包絡調制方法的優(yōu)點在于能夠靈活控制頻譜的寬度和不同頻段在頻譜中的能量占比,且易于實驗實現(xiàn).為了便于計算,在前期的工作中我們僅使用了簡單的對稱高斯函數作為包絡函數[21],然而對稱包絡調制無法有效的調節(jié)高、低頻分量在頻譜中的占比,因此不能充分發(fā)揮頻譜包絡調制方法的優(yōu)點,而且無法很好的分析高、低頻組分在自聚焦過程中的作用.

基于上述原因,為了分析頻譜中高、低頻組分對自聚焦特性的影響,并進一步提升光束的自聚焦性能,本文使用了非對稱雙曲正割函數對CAB 頻譜進行了包絡調制研究.通過改變調制參數,詳細分析了頻譜中高、低頻組分對光束自聚焦特性的影響,并尋找到了合適的調制參數,使得調制效果明顯優(yōu)于對稱包絡調制.最后,本文利用傅里葉變換法實驗產生了調制光束,驗證了理論分析結果,發(fā)現(xiàn)實驗結果與理論結果相吻合.

2 理論與分析

在柱坐標系中,CAB 初始面的光場分布可以表示為[6]:

式中,A0為振幅常數,A i(·) 表示艾里函數,r0代表主光環(huán)的半徑,w為比例因子,α為指數衰減因子(0<α<1).目前,CAB 的頻譜還沒有嚴格的解析表達式[22],通常使用傅里葉變換計算獲得[23]:

式中,C表示振幅常數,以保持調制前后頻譜能量守恒,EV(k) 是 頻譜函數絕對值 |F(k)| 的包絡函數.由于 |F(k)| 缺乏嚴格的解析表達式,EV(k) 只能通過數值計算獲得,可以通過數值求解微分方程dF(k)/dk=0 尋找其極值點對應的kn值,下標n表示第n個極值點,然后利用線性插值的方法就可以得到EV(k) 近似值,如圖1(b)所示.

圖1 參數 r0=1 mm ,w = 0.1 mm,α =0.1 時 (a) CAB的頻譜 F (k) ;(b) CAB 頻譜的絕對值 |F (k)| 及其包絡曲線EV(k)Fig.1.Calculation results of (a) F (k) ,(b) |F (k)| and EV(k) with r0=1 mm ,w = 0.1 mm and α =0.1.

(3)式中,A HS(k) 是非對稱雙曲正割函數,其公式為

式中,β決定了包絡函數的中心頻率位置,如圖2(a)所示,隨著β增大,中心頻段向高頻方向移動.圖2(b)給出了經圖2(a)的頻譜調制后,相應的初始面光強分布,從圖中可以看到,隨著β增大,初始面的峰值光強位置向外移動,由于要保持總光強不變,因此光強峰值隨之降低.(4)式中,γ1,γ2可分別用于控制低頻、高頻組分的頻譜的寬度,如圖2(c)和圖2(e)所示,圖2(d)和圖2(f)則分別給出了調制γ1,γ2后相對應的初始面光強分布.從圖2(d)中可以看到,隨著γ1的增大,由于低頻組分的增加,初始面光環(huán)數量沿著中心方向增多;與此相對,隨著γ2的增大,由于高頻組分的增加,初始面光環(huán)數量背離中心方向增多,如圖2(f)所示.由于初始面總光強保持不變,光強峰值隨著光環(huán)數量的增多而降低.

圖2 不同調制參數的AMCAB 的頻譜分布以及相對應的初始面光強分布 (a) γ1=3 mm?1,γ2=1.5 mm?1 保持不變,β 不同時的頻譜分布及相對應的(b)初始面光強分布;(c) β =7 mm?1、γ2=1 mm?1 保持不變,γ1 不同時的頻譜分布及相對應的(d)初始面光強分布;(e) β =7 mm?1,γ1=1 mm?1 保持不變,γ2 不同時的頻譜分布及相對應的(f)初始面光強分布Fig.2.Spectrum distributions and corresponding intensity distributions of AMCAB at the initial plane with different parameters.(a) Spectrum distributions and (b) corresponding intensity distributions with different β when γ1=3 mm?1,γ2=1.5 mm?1 ;(c) spectrum distributions and (d) corresponding intensity distributions with different γ1 when β =7 mm?1,γ2=1 mm?1 ;(e) Spectrum distributions and (f) corresponding intensity distributions with different γ2 when β =7 mm?1,γ1=1 mm?1.

為了便于書寫,本文將非對稱包絡調制后的CAB簡稱為AMCAB (asymmetric modulated circular Airy beam,AMCAB),將對稱高斯函數包絡調制后的CAB 簡稱為GCAB (Gaussian-modulated circular Airy beam).

圖3(a)給出了CAB 的側面光強分布,從圖中可以看出,其能量占主導地位的內光環(huán)遵循拋物線軌跡向著中心光軸傳播,但傳播過程中有較多的能量彌散在空間中,此時CAB 的焦距約為656 mm.圖3(b)給出了β=8.3 mm?1,γ1=5.5 mm?1,γ2=0.1 mm?1的AMCAB 的側面光強分布,從圖中可以看到AMCAB 與CAB 有類似的突然自聚焦特性,但聚焦前能量分散于各光環(huán)中,相比于CAB,傳播過程中彌散在空間的能量明顯減少,其焦距約為655 mm,與CAB 的焦距幾乎相同.

圖3 CAB 和AMCAB 的側面光強分布 (a) CAB;(b) β=8.3 mm?1 ,γ1=5.5 mm?1 ,γ2=0.1 mm?1 的AMCABFig.3.Propagation dynamics of CAB and AMCAB: (a)CAB;(b) AMCAB with β =8.3 mm?1 ,γ1=5.5 mm?1 and γ2=0.1 mm?1.

調制后AMCAB 的焦距變化可以由下式來表征:

式中,fAM表示調制后AMCAB 的焦距,fCAB表示CAB 的焦距,由于本文不改變CAB 的原始參數,因此fCAB為常數保持不變,不同調制參數的相對焦距差如圖4 所示.圖4 的結果由遍歷法逐點計算獲得,從圖中可以看到,隨著β值的不斷增大,AMCAB的焦距在遞增,類似的,增大γ2也可以使AMCAB的焦距明顯增大,這說明增加頻譜中的高頻分量將使得光束趨向于聚焦在更遠的地方.γ1的變化對AMCAB 的焦距影響則相對較小,說明頻譜中的低頻分量對焦距的影響較小,這一結論可以解釋為什么文獻[17]中CAB 經過高通濾波后,光束的焦距能保持不變.

圖4 β 不同時,AMCAB 和CAB 的相對焦距差 η 隨 γ1,γ2 的變化情況 (a) β =6 mm?1 ;(b) β =7 mm?1 ;(c)β=8 mm?1Fig.4.The relative focal distance difference between the CAB and the AMCAB as a function of γ1 and γ2 with different β.(a) β =6 mm?1 ; (b) β =7 mm?1 ; (c) β=8 mm?1.

在實際應用中,焦點處的光強峰值是影響突然自聚焦光束應用價值的關鍵參數,圖5 給出了調制參數不同時,AMCAB 的焦點峰值與CAB的焦點峰值之比(IAM)max/(ICAB)max,由于不改變CAB的原始參數,因此其中 (ICAB)max為常數保持不變.圖5的結果由遍歷法逐點計算獲得,從圖中可以看到,當β較小時,需要γ2較大才能獲得較大的光強比值,如圖5(a)所示,這是由于此時頻譜的中心頻段頻率較低,因此需要增加較多的高頻分量才能起到較好的調制效果.但持續(xù)增加γ2并不能使光強比值一直增大,當γ2超過某一閾值后,光強比值開始減小.圖5 的中虛線為光強比值的極大值位置隨γ1和γ2的變化曲線,可以清楚的看到,虛線隨著β的增大快速向γ2減小的方向移動,表明γ2的閾值會隨著β的增大急劇減小,因此在頻譜中一直增加高頻分量的比重并不能持續(xù)改善光束的聚焦能力,當高頻分量過多時反而會起到反效果.另一方面,當β較小時,γ1對光強比值的影響很小,如圖5(a)所示,這是由于此時頻譜的中心頻率較低,頻譜整體處于低頻,因此即使γ1很小,頻譜中也不缺乏低頻分量.但隨著β的增大,γ1對光強比值的影響逐漸顯現(xiàn),此時需要γ1較大,才能獲得較大的光強比值,如圖5(d)所示.這說明低頻分量對光束的自聚焦性能同樣起著不可或缺的作用,單純的濾除低頻分量雖然對光束的自聚焦能力有一定的改善作用,但并不能獲得最佳的調制效果,而是需要高、低頻分量達到一個合適的配比.因此采用非對稱包絡調制的方法比高通濾波[17]和對稱包絡調制[21]更合理,經過仿真計算比較后,發(fā)現(xiàn)當調制參數的值分別為β=8.3 mm?1、γ1=5.5 mm?1、γ2=0.1 mm?1時,光強比達到最大值3.4,比GCAB 的最佳結果[21](光強比最大值2.9)提升了17%.

圖5 β 不同時,AMCAB 和CAB 的焦點光強比值隨 γ1 ,γ2 的變化情況,其中虛線為光強比值的極大值位置隨 γ1 和 γ2 的變化曲線 (a) β =6 mm?1 ;(b) β =7 mm?1 ;(c) β =8 mm?1 ;(d) β=9 mm?1Fig.5.The maximum focal intensity contrast between the AMCAB and the CAB as a function of γ1 and γ2 with different β.Here,the dash lines show the positions of the maximum values as a function of γ1 and γ2.(a) β =6 mm?1 ;(b) β =7 mm?1 ;(c) β=8 mm?1 ;(d) β =9 mm?1.

焦斑尺寸是研究者關注的另一個問題,圖6 給出了不同參數的AMCAB 的焦點光強分布,為了便于比較,圖6 作了歸一化處理.從圖中可以看到,焦斑的半高全寬(full width at half maximum,FWHM)隨著β增大而顯著減小.在β不變的條件下,增大γ1會 使得焦斑略微增大;反之,增大γ2會使得焦斑略微減小.這說明包絡后頻譜的中心頻率是影響焦斑大小的主要因素,在中心頻率確定的條件下,頻譜中低頻與高頻組分的比重對焦斑尺寸影響相對較小.

圖6 不同參數的AMCAB 在焦平面上的歸一化光強分布 (a) γ1=3 mm?1 ,γ2=1.5 mm?1 時,不同 β 的AMCAB;(b) β =7 mm?1,γ2=1 mm?1 時,不同 γ1 的AMCAB;(c) β =6 mm?1,γ1=1 mm?1 時,不同 γ2 的AMCAB.Fig.6.Normalized intensity distributions of AMCAB with different parameters at the focal plane:(a) AMCAB with different β when γ1=3 mm?1,γ2=1.5 mm?1 ;(b) AMCAB with different γ1 when β =7 mm?1 ,γ2=1 mm?1 ;(c) AMCAB with different γ2 when β =6 mm?1,γ1=1 mm?1.

CAB 的突然自聚焦特性可以用光強對比度IC=Imax(z)/Imax(0) 來衡量[6],其中Imax(z) 是光束傳播過程中任意截面的最大光強,Imax(0) 是初始面最大光強.圖7 給出了不同參數的AMCAB 沿z軸的IC分布結果,同時給了CAB 的結果便于比較.與CAB 類似,AMCAB 在自聚焦前都能保持極低的光強分布,在焦點處光強突然增強,表現(xiàn)出極強的突然自聚焦特性.未調制前,CAB 焦點處的光強峰值約為初始面的52 倍,即焦點處IC≈52,而經調制后AMCAB 的焦點處IC提升為幾百乃至一千多倍,突然自聚焦能力得到大幅提升.這是因為與CAB 相比,一方面,AMCAB 的自聚焦能力增強,焦點光強峰值增大;而更重要的是,由于調制后中心頻率的后移,初始面最大光強急劇減小,使得光強比值IC突增.從圖中可以看到,焦點處IC受β和γ2的影響較大,隨著β和γ2的 增大而增大,而受γ1的影響較小.這是因為初始面最大光強受β和γ2的影響較大,隨著β和γ2的增大,其值持續(xù)減小,如圖2(b)和圖2(f)所示.

圖7 不同參數的AMCAB 沿z 軸的 IC 分布仿真結果(a) γ1=3 mm?1 ,γ2=1.5 mm?1 時,不同 β 的AMCAB;(b) β =6 mm?1,γ2=1.5 mm?1 時,不 同 γ1 的AMCAB;(c) β =6 mm?1,γ1=1 mm?1 時,不同 γ2 的AMCAB.Fig.7.Simulated results of on-axis intensity contrast IC of AMCAB with different parameters.(a) AMCAB with different β when γ1=3 mm?1 ,γ2=1.5 mm?1 ;(b) AMCAB with different γ1 when β =6 mm?1,γ2=1.5 mm?1 ;(c) AMCAB with different γ2 when β =6 mm?1,γ1=1 mm?1.

從上述分析討論可知,通過增大β,即增高中心頻率的方法,可以獲得更小的焦斑和更強的突然自聚焦性,但過大的β會使得焦點峰值光強減小,且使得初始面的光環(huán)分布過密,增加實驗實現(xiàn)的難度.因此綜合考慮,調制參數取β=8.3 mm?1,γ1=5.5 mm?1,γ2=0.1 mm?1時為最佳選擇,表1 給出了在此參數下的調制結果,并同時列出了CAB 和對稱包絡的GCAB[21]最佳結果進行比較.從表中可以看到,相比對稱包絡,采用非對稱包絡調制使得各項指標都得到了較大幅度的提升,證明非對稱包絡調制的方法要明顯優(yōu)于對稱包絡調制.

表1 CAB 與GCAB,AMCAB 最佳調制結果的比較Table 1.The optimized results of GCAB and AMCAB,and the results of CAB are also presented for comparison.

3 實驗結果

目前,研究者通常使用傅里葉變換法方法[9,21]來產生CAB,這種方法可以獲得所需特定參數的光束,且光路簡單,如圖8 所示.AMCAB 基于頻譜調制,因此可以使用相同的方法來產生,易于實驗實現(xiàn)也是本方法的優(yōu)點之一.本文使用了波長為632.8 nm 的氦氖激光器作為光源,光束經過半波片將偏振方向調整到與空間光調制器(SLM,Holoeye PLUTO-2)的工作方向平行,然后經透鏡組與小孔整形擴束后入射到SLM 上.SLM 用于加載經相位編碼后的頻譜信息,位于一焦距為300 mm的傅里葉透鏡的前焦面上,光束經SLM 反射后通過傅里葉透鏡進行傅里葉變換.擋板位于傅里葉透鏡的后焦面上,為一直徑約1 mm 的不透明圓斑,用來遮擋光軸上的零級衍射光.光束在擋板后產生AMCAB,如圖中虛線A位置所示.CCD 可沿光軸移動,用以記錄AMCAB 在不同傳播位置上的光強分布.虛線B和虛線C分別給出了AMCAB傳播到400 mm 和焦點處的位置圖示.

圖8 實驗光路示意圖Fig.8.Diagram of experimental setup.

圖9 給出了CAB 和不同調制參數的AMCAB在初始面的光強分布實驗結果,以及各自相應的加載于SLM 上的相位分布圖,測量位置如圖8 中虛線A所示,為了便于比較,圖中同時給出了相應的理論仿真結果并對光強最大值作了歸一化處理.從圖中可以看到,實驗結果與理論仿真結果吻合得很好,證明非對稱雙曲正割包絡確實能夠有效地對CAB 的頻譜進行調控,從而改變其初始面的光強分布.

圖9 初始面光強分布的實驗(虛線)和仿真(實線)結果以及相應的加載于SLM 上的相位分布圖 (a) CAB 的歸一化徑向光強分布和(b)二維光強分布實驗結果以及(c)SLM 上加載的相位分布;(d) β =6 mm?1,γ1=2.3 mm?1 ,γ2=0.8 mm?1 時,AMCAB的歸一化徑向光強分布和(e)二維光強分布實驗結果以及(f)SLM 上加載的相位分布;(g) β =8.3 mm?1 ,γ1=5.5 mm?1,γ2=0.1 mm?1時,AMCAB 的歸一化徑向光強分布和(h)二維光強分布實驗結果以及(i) SLM 上加載的相位分布Fig.9.Phase masks on the SLM,experimental (dash line) and simulated (solid line) results of normalized intensity distributions profiles at initial plane:(a) Radial intensity distributions and (b) measured 2D intensity distributions of CAB,and (c) corresponding phase mask on the SLM;(d) radial intensity distributions and (e) measured 2D intensity distributions of AMCAB with β=6 mm?1 ,γ1=2.3 mm?1,γ2=0.8 mm?1,and (f) corresponding phase mask on the SLM;(g) radial intensity distributions and (h) measured 2D intensity distributions of AMCAB with β =8.3 mm?1 ,γ1=5.5 mm?1 ,γ2=0.1 mm?1,and (i) corresponding phase mask on the SLM.

為了進一步實驗驗證AMCAB 的傳播特性,圖10 給出了參數為β=8.3 mm?1,γ1=5.5 mm?1,γ2=0.1 mm?1的AMCAB 在z=400 mm (測量位置如圖8 中虛線B 所示)和焦平面處(z=655 mm,測量位置如圖8 中虛線C所示)的光強分布,其中Imax(0)為初始面光強峰值.從圖中可以看到,調制后的AMCAB 在傳播過程中仍然能保持很低的光強峰值,即使在比較靠近焦平面的400 mm 處,光強峰值才達到初始面光強峰值的3.2 倍.而在到達焦平面時,實驗光強峰值由于實驗誤差略小于仿真結果,但光強峰值比值也達到了1300 倍,表明AMCAB 具有極強的突然自聚焦特性,與理論預期相一致.實驗結果與理論計算結果不完全相符的原因主要有兩個,1)數值計算的相位全息算法本身并不能完全精確地還原被編碼的頻譜信息,引入了計算誤差;2)實驗過程中不可避免的引入了實驗誤差,最終使得實驗所得的光束與理論結果出現(xiàn)了微小的偏差.

圖10 參數 β =8.3 mm?1 ,γ1=5.5 mm?1 ,γ2=0.1 mm?1 時,AMCAB 在不同截面光強分布的實驗(虛線)和仿真(實線)結果,其中 Imax(0) 為初始面光強峰值 (a) z =400 mm 處的徑向光強比值分布和相應的(b)二維光強分布實驗結果;(c)焦平面(z =655 mm)處的徑向光強比值分布和相應的(d)二維光強分布實驗結果Fig.10.Experimental (dash line) and simulated (solid line) results of intensity contrast I /Imax(0) of AMCAB with β =8.3 mm?1,γ1=5.5 mm?1,γ2=0.1 mm?1 at different propagation planes:(a) Radial intensity contrast and (b) corresponding measured 2D intensity distributions at z =400 mm ;(c) radial intensity contrast and (d) the corresponding measured 2D intensity distributions at the focal plane (z =655 mm).

4 結論

本文理論和實驗研究了AMCAB 的自聚焦特性,發(fā)現(xiàn)通過改變3 個調制參數β,γ1和γ2的取值,可以調節(jié)AMCAB 的自聚焦特性,如焦距、焦斑尺寸、焦點光強等.通過增加頻譜中的高頻分量,可使得AMCAB 的焦距變大,而低頻分量的變化對其焦距影響則較小.持續(xù)增加頻譜中高頻分量的比重,可以在焦點處獲得更小的焦斑半徑和更高的光強對比度,但過多的高頻分量會使得焦點光強峰值減小,這說明為了獲得最佳的自聚焦性能,低頻分量也不可或缺.相比于使用對稱包絡調制的GCAB,非對稱包絡調制使得AMCAB 可以靈活地改變調制后頻譜中高頻與低頻組分的占比,充分發(fā)揮了頻譜包絡調制方法的優(yōu)點,因此調制效果顯著優(yōu)于GCAB 的結果.最后,對理論分析結果進行了實驗驗證,實驗結果與理論結果吻合得很好,證明頻譜的非對稱包絡調制是一種高效且易于實現(xiàn)的調制方法.