多個(gè)地震臺網(wǎng)相互融合測定震級的貝葉斯算法

司政亞， 莊建倉, 蔣長勝

1 中國地震局地球物理研究所, 北京 100081 2 北京市地震局, 北京 100080 3 日本統(tǒng)計(jì)數(shù)理研究所，東京 106-8569

0 引言

地震參數(shù)尤其是震級測定結(jié)果的一致性，是地震減災(zāi)和地球科學(xué)研究的重要基礎(chǔ)，例如在非常規(guī)能源開采誘發(fā)地震監(jiān)測中，當(dāng)臨時(shí)布設(shè)的流動地震臺網(wǎng)測定的地方震震級ML作為風(fēng)險(xiǎn)管控系統(tǒng)的決策參量時(shí)，必須對震級測定公式進(jìn)行校正以使得其與區(qū)域地震臺網(wǎng)測定結(jié)果相一致(Edwards and Douglas, 2014; Mahani and Kao, 2020).近年來在以科學(xué)研究為目的臨時(shí)布設(shè)的流動觀測地震臺網(wǎng)大量出現(xiàn)，例如美國圣安德烈斯斷層帶上的井下“高精度地震臺網(wǎng)”(HRSN, Hickman et al., 2004)、德國/捷克邊境布設(shè)的小孔徑地震陣列(Hiemer et al., 2012)、美國加州長灘密集臺陣(Lin et al., 2013)等.大地震發(fā)生后快速增設(shè)流動地震臺網(wǎng)以彌補(bǔ)余震區(qū)監(jiān)測能力不足，也是多數(shù)國家地震減災(zāi)機(jī)構(gòu)的常規(guī)行動.由于流動觀測地震臺網(wǎng)的臺站臺基響應(yīng)、人工拾取震相等數(shù)據(jù)處理方式與區(qū)域地震臺網(wǎng)存在差異，且往往位于固定地震臺站較為稀疏的地區(qū)，或位于地震記錄匱乏的弱震區(qū)，難于事先進(jìn)行震級測定的規(guī)范校準(zhǔn)，給履行監(jiān)測任務(wù)和服務(wù)科學(xué)研究帶來極大困難(劉瑞豐等, 2005, 2006; Scordilis, 2006; Pechmann et al., 2007; Yadav et al., 2012; Anbazhagan and Balakumar, 2019).隨著高密度流動測震臺網(wǎng)的增多，用便捷可靠的方式獲得高一致性的震級測定結(jié)果，實(shí)現(xiàn)流動觀測地震臺網(wǎng)與本地固定地震臺網(wǎng)真正意義上的融合，成為一項(xiàng)重要的技術(shù)挑戰(zhàn).

觀測區(qū)域重疊或部分重疊的地震臺網(wǎng)，常采用3種方式處理共同記錄的地震事件：第一種是對不同臺網(wǎng)重復(fù)記錄的地震事件直接刪除，實(shí)現(xiàn)臺網(wǎng)的相互融合，如Viveros等(2017)對跨墨西哥火山帶的地震危險(xiǎn)性的研究中，直接刪除不同研究機(jī)構(gòu)產(chǎn)出數(shù)據(jù)中重復(fù)的地震記錄；Wollin等(2018)對馬爾馬拉地區(qū)多個(gè)地震臺網(wǎng)地震目錄的合并中，對發(fā)震時(shí)刻間隔小于30 s的記錄對也直接刪除.第二種則采用相同記錄的簡單合并，不考慮數(shù)據(jù)融合后的震級差異性問題，如Smith等(2004)基于日本氣象廳(JMA)和日本大學(xué)臺網(wǎng)地震目錄(JUNEC)合并后的數(shù)據(jù)集對板內(nèi)地震活動性的研究；Piccinini等(2009)基于意大利地區(qū)多個(gè)固定臺網(wǎng)及臨時(shí)觀測臺網(wǎng)合并后的數(shù)據(jù)，進(jìn)行區(qū)域地震構(gòu)造背景研究；Wetie等(2019)使用不同來源收集的地震目錄評估喀麥隆火山區(qū)地震危險(xiǎn)性問題；以及龍鋒等(2018)針對中國不同區(qū)域獨(dú)立運(yùn)行的地震臺網(wǎng)開展地震目錄的合并工作.第三種則直接對不同臺網(wǎng)產(chǎn)出的地震波形進(jìn)行合并，重新進(jìn)行地震定位及震級測定，但忽略不同臺網(wǎng)的差異性問題，如G?k等(2009)合并不同臺網(wǎng)的波形，研究震源參數(shù)的不同估計(jì)方法的差異性.前兩種對地震目錄參數(shù)融合問題的處理，本質(zhì)上是消除其重疊部分?jǐn)?shù)據(jù)的差異性，而非融合.通過合并不同臺網(wǎng)的地震波形，重新計(jì)算地震參數(shù)雖然可實(shí)現(xiàn)真正的臺網(wǎng)融合，但由于其波形獲取、計(jì)算復(fù)雜性等，實(shí)際操作中往往十分困難.

為得到多個(gè)地震臺網(wǎng)融合下科學(xué)、一致的地震目錄，前人已開展多種嘗試.例如，Wang等(2009)在整合加利福尼亞州的多個(gè)現(xiàn)有地震目錄時(shí)，先基于事件的震級誤差、震中位置誤差為每個(gè)目錄建立一個(gè)優(yōu)先級列表(相對誤差最小的優(yōu)先級最高)，然后將優(yōu)先級最高的目錄為首選，解決了將這些地震數(shù)據(jù)合并到一個(gè)目錄中的問題.在震級誤差的比較中，Wang等(2009)假定目錄是獨(dú)立的，目錄之間的震級差異的方差等于這些目錄的震級方差之和.Hiemer等(2012)在小孔徑地震臺陣的震級測定中，采用與本地固定地震臺網(wǎng)相同的震級標(biāo)度計(jì)算公式，基于地震臺陣與固定臺網(wǎng)震級數(shù)據(jù)的正交分析，得出二者的線性差異，將此差異常數(shù)疊加至震級計(jì)算公式中的臺站校正項(xiàng)，以此達(dá)到了兩種臺網(wǎng)震級計(jì)算的統(tǒng)一.Rezaeifar和Kissling(2018)針對伊朗地區(qū)兩個(gè)觀測臺網(wǎng)震級測定的差異性，以兩個(gè)臺網(wǎng)對所有共同記錄事件的平均震級差為校正項(xiàng)，進(jìn)而消除兩個(gè)臺網(wǎng)的震級差異.

不同類型臺網(wǎng)的觀測環(huán)境差異可能很大，會對震級測定帶來差異性影響.目前對于多個(gè)地震臺網(wǎng)融合的實(shí)際算法中，并未考慮本地固定地震臺網(wǎng)與流動觀測地震臺網(wǎng)之間的震級差異性.Hiemer等(2012)雖考慮了測定震級差異性問題，但所用方法僅適用于采用相同的震級標(biāo)度計(jì)算公式及規(guī)則相同，且不考慮不同臺網(wǎng)震級測定誤差的差異，普適性較低.為此，針對固定地震臺網(wǎng)與流動觀測地震臺網(wǎng)的震級測定差異性問題，本文利用固定臺網(wǎng)測定震級優(yōu)于流動臺網(wǎng)的特征，以不同臺網(wǎng)的震級標(biāo)準(zhǔn)差為權(quán)重，結(jié)合震級偏差的概率密度函數(shù)，推導(dǎo)得出了基于貝葉斯原理的多地震臺網(wǎng)融合下的震級矯正算法.該算法不僅適用于現(xiàn)有地震目錄的震級矯正，當(dāng)數(shù)據(jù)量足夠大時(shí)，基于現(xiàn)有數(shù)據(jù)計(jì)算得到的矯正參數(shù)，還可直接對未來發(fā)生的地震事件進(jìn)行震級矯正，為研究地震的時(shí)空發(fā)震模式以及包括地震危險(xiǎn)性評估、峰值地面加速度估算、長期地震應(yīng)變率確定等許多工程應(yīng)用提供基礎(chǔ)數(shù)據(jù)支持.

1 固定臺網(wǎng)與西昌流動臺陣標(biāo)定的震級差異

西昌流動臺陣為本文的流動臺網(wǎng)研究提供了數(shù)據(jù)支持.西昌流動臺陣是中國地震局地球物理研究所在石棉—冕寧—西昌一帶布設(shè)的高密度流動觀測地震臺陣，觀測點(diǎn)整體呈南北向分布，南北向展布約220 km，東西向近100 km.此流動臺陣由32個(gè)寬頻帶地震臺站組成，平均臺間距16 km，在石棉地區(qū)，平均臺間距小于10 km.在2013-01-13—2019-02-01期間，西昌流動觀測臺陣共計(jì)記錄地震事件9336個(gè)，其中最小地震事件震級為ML-1.4，最大事件為ML4.7.本文計(jì)算中所用的地震事件資料及地震觀測目錄由“中國地震科學(xué)臺陣數(shù)據(jù)中心”提供.

“十五期間”，通過實(shí)施“中國數(shù)字地震觀測網(wǎng)絡(luò)項(xiàng)目”，中國地震局建成了覆蓋全國的地震監(jiān)測臺網(wǎng)，建設(shè)了統(tǒng)一的地震編目體系(劉瑞豐等, 2015).統(tǒng)一編目由國家測震臺網(wǎng)中心，對省級測震臺網(wǎng)中心和國家測震臺網(wǎng)中心產(chǎn)出的觀測報(bào)告進(jìn)行綜合處理，生成統(tǒng)一的地震目錄和觀測報(bào)告.國家測震臺網(wǎng)中心編目人員下載全部國家臺站報(bào)送的震相數(shù)據(jù)，通過震相組合、地震定位、震級測定，產(chǎn)出國家臺網(wǎng)地震目錄和觀測報(bào)告，在一周后將結(jié)果統(tǒng)一匯入編目數(shù)據(jù)庫，生成中國測震臺網(wǎng)(以下簡稱固定臺)統(tǒng)一正式的地震目錄和觀測報(bào)告(代光輝等, 2019).本文所使用的固定臺網(wǎng)地震事件資料為中國地震臺網(wǎng)中心“全國地震編目系統(tǒng)”提供的《全國統(tǒng)一正式編目》統(tǒng)一正式目錄和地震觀測報(bào)告，篩選時(shí)間范圍為2013-01-01至2019-02-01，在此期間全國固定臺網(wǎng)共記錄到地震事件616572個(gè).

為了對比西昌流動臺陣和全國固定臺網(wǎng)的記錄差異，將西昌流動臺陣(以下簡稱流動臺網(wǎng))記錄到的地震與固定臺網(wǎng)記錄到的地震進(jìn)行匹配，得到兩個(gè)臺網(wǎng)對同一個(gè)事件的地震記錄，稱為一個(gè)記錄對.對于記錄對的識別方式，通?；谶@些地震是否在震中位置、發(fā)震時(shí)刻上局限于某一特定范圍，該范圍的選定基于一定的經(jīng)驗(yàn)性.如，Solarino等(1997)在合并阿爾卑斯山區(qū)域附近的相鄰臺網(wǎng)地震數(shù)據(jù)時(shí)，采用發(fā)震時(shí)刻15 s內(nèi)與震中距差異40 km內(nèi)作為相同事件的判定標(biāo)準(zhǔn).Wang等(2009)在整合加利福尼亞州不同的地震目錄時(shí)，判別記錄對的標(biāo)準(zhǔn)是時(shí)空閾值局限在16 s、100 km.龍鋒等(2018)在對中國不同區(qū)域臺網(wǎng)進(jìn)行數(shù)據(jù)融合時(shí)，選用時(shí)空強(qiáng)閾值為5 s、20 km、0.5級.Rezaeifar和Kissling(2018)對伊朗的兩個(gè)國家觀測臺網(wǎng)進(jìn)行數(shù)據(jù)整合時(shí)，采用發(fā)震時(shí)刻之差小于60 s，各震中之間的距離小于100 km作為相同事件的判別標(biāo)準(zhǔn).Abbasi(2019)對伊朗地區(qū)不同區(qū)域臺網(wǎng)記錄對的識別主要基于發(fā)震時(shí)刻小于1 s.由于本研究中研究區(qū)域較小(南北范圍不超過200 km)、區(qū)域內(nèi)流動觀測臺陣本身布設(shè)較密(臺間距小于10 km)，且固定臺網(wǎng)和流動臺網(wǎng)各自產(chǎn)出數(shù)據(jù)質(zhì)量較高，因此本文中判斷兩個(gè)臺網(wǎng)記錄的地震為同一個(gè)地震的標(biāo)準(zhǔn)更為嚴(yán)格，即兩者測定的發(fā)震時(shí)刻差小于2 s，震中位置的經(jīng)度及緯度相差小于0.04°.固定臺網(wǎng)與西昌流動臺網(wǎng)匹配的記錄對位置及震級差異情況如圖1所示，記錄對的數(shù)量為2336組.

圖1 固定地震臺網(wǎng)和流動地震臺網(wǎng)匹配的記錄對的位置和震級差異情況圖(a)(b)(c)分別表示記錄對的經(jīng)度差異、緯度差異及震級差異，其中藍(lán)色的點(diǎn)代表固定地震臺網(wǎng)記錄的地震事件信息，紅色的點(diǎn)代表西昌流動地震臺網(wǎng)記錄的地震事件信息，圖(c)中綠色的線為記錄對的連線.圖(d)(e)(f)分別為記錄對的經(jīng)度、緯度、震級不同差異情況的頻次統(tǒng)計(jì).Fig.1 Differences in the locations and the magnitudes for each matched pairs between the permanent (CN) and the temporary (XC) seismic networksFig.(a) to (c), respectively, show their differences in longitudes, latitudes, and magnitudes. The blue dots represent the events recorded by CN seismic network and the red dots represent the events recorded by XC seismic network. In (c), the green line segments connect each record pair. Fig.(d) to (f) are histograms of the differences corresponding to (a) to (c), respectively.

圖2給出了固定臺網(wǎng)和流動臺網(wǎng)所測定震級之間的關(guān)系.從圖2上可以看出，固定臺網(wǎng)與流動臺網(wǎng)記錄到的震級整體上呈正相關(guān).從記錄對的分布情況上看，震級在0.8～2.0之間，可能存在一個(gè)擬合的拐點(diǎn)，拐點(diǎn)兩側(cè)的記錄對有各自獨(dú)立的擬合方式.為得到更好的擬合方式，尋找擬合的拐點(diǎn)，采用統(tǒng)計(jì)地震學(xué)中常用的赤池信息準(zhǔn)則(Akaike information criterion)，簡稱AIC準(zhǔn)則.具體做法為，將數(shù)據(jù)分為兩個(gè)部分，分別做最小二乘擬合，之后計(jì)算數(shù)據(jù)整體的AIC值，AIC值最小時(shí)，代表擬合的結(jié)果最好.線性擬合情況下的AIC值計(jì)算可以表示為(Sakamoto et al., 1986)：

AIC(m)=nlog2π+nlogd(m)+n+2(m+2),

(1)

(2)

其中m表示擬合的階數(shù).在這里，我們認(rèn)為拐點(diǎn)兩側(cè)的記錄對滿足一階線性擬合，因此取m=1.

對數(shù)據(jù)擬合的AIC值分析的結(jié)果表明，對全部數(shù)據(jù)進(jìn)行最小二乘擬合所得到的AIC值(341.06)大小與通過劃分拐點(diǎn)分別擬合所得到的AIC值(339～347)基本一致.隨著震級拐點(diǎn)的變化，在震級拐點(diǎn)兩側(cè)采用不同的線性擬合方式所得到的AIC值，雖然存在極小值(339.56)，但是相對于AIC值本身，變化很小，可以忽略.由此可得，通過一階線性擬合可以合理的描述固定臺網(wǎng)與流動臺網(wǎng)所測定的震級差異規(guī)律.

圖2 固定地震臺網(wǎng)和流動地震臺網(wǎng)記錄的記錄對的震級比較圖中淺色虛線為兩個(gè)地震臺網(wǎng)測量的震級相等時(shí)的位置，黑色實(shí)線為線性回歸擬合結(jié)果.Fig.2 Magnitude comparison of the each matched pair between permanent and temporary seismic networksThe light dotted line shows the position when the magnitudes measured by the two seismic networks are equal. The black solid line shows the linear regression line.

2 基于統(tǒng)計(jì)學(xué)方法的震級矯正算法

無論是固定臺網(wǎng)還是流動臺網(wǎng)，臺網(wǎng)本身對于地震震級的測定存在誤差，且不同的地震臺網(wǎng)震級誤差不同.對于同一個(gè)地震事件，地震臺網(wǎng)中記錄到該事件的臺站所測定的地震震級往往存在差異.為了較客觀的反映地震能量的大小，通常將臺網(wǎng)中所有記錄到該地震的臺站所測定的震級做平均，將得到的平均震級定為地震事件的震級，地震臺網(wǎng)會同時(shí)給出地震震級所對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差，即震級測定的誤差.對于同一個(gè)地震臺網(wǎng)，所使用的震級計(jì)算公式、量規(guī)函數(shù)及儀器類型通常是相同的，我們可以認(rèn)為臺網(wǎng)所給的震級誤差包含了人工測定誤差以及因臺基狀態(tài)不同導(dǎo)致的誤差.由于震級誤差直接影響了臺網(wǎng)所測定震級的可靠性，綜合固定臺網(wǎng)和流動臺網(wǎng)的地震記錄得到真實(shí)地震震級大小時(shí)，須同時(shí)考慮震級大小和震級誤差的差異，按照震級誤差的大小對不同臺網(wǎng)記錄的地震合理分配權(quán)重，以此得到綜合多種臺網(wǎng)的震級記錄下的真實(shí)震級.

2.1 固定地震臺網(wǎng)與一個(gè)流動地震臺網(wǎng)聯(lián)合矯正震級

通過對西昌流動地震臺網(wǎng)與全國固定臺網(wǎng)測定的震級差異分析表明，兩者所測定的震級大小存在線性關(guān)系，由此可以將流動地震臺網(wǎng)與固定地震臺網(wǎng)的震級及震級誤差通過線性擬合建立聯(lián)系，構(gòu)建出新的震級分布關(guān)系，真實(shí)震級的大小及誤差由固定臺網(wǎng)和流動臺網(wǎng)給定的震級和誤差決定.

(3)

(4)

根據(jù)貝葉斯公式，在給定固定臺網(wǎng)的測定震級m1與流動臺網(wǎng)的測定震級m2的條件下，真實(shí)震級m的概率密度函數(shù)為

(5)

由于固定臺網(wǎng)和流動臺網(wǎng)的震級記錄在給定真實(shí)震級m的條件下是相互獨(dú)立的，即

f2|·1(m2|m,m1)=f2|·(m2|m).

(6)

根據(jù)全概率公式，給定固定臺網(wǎng)震級m1條件下流動臺網(wǎng)震級m2的條件概率密度函數(shù)為

(7)

將(6)和(7)式代入(5)式，則

顯而易見，(8)式中的分布是一個(gè)正態(tài)分布，設(shè)其均值為μ，標(biāo)準(zhǔn)差為σ2，即

(9)

(10)

附錄A給出了該式的詳細(xì)推導(dǎo)過程.

而給定m1時(shí)m2的條件概率密度函數(shù)為

(11)

2.2 固定臺網(wǎng)與多個(gè)流動地震臺網(wǎng)聯(lián)合矯正震級

(10)式可以推廣到存在k個(gè)不同的臺網(wǎng)記錄的情形，設(shè)各個(gè)臺網(wǎng)測定的某地震分別為(m1,m2,…,mk)時(shí)，其中m1是固定臺網(wǎng)記錄到的震級，而其他為流動臺網(wǎng)記錄的，則給定所有觀測的情況下，真實(shí)震級服從的條件分布為

(12)

(13)

的正態(tài)分布.附錄B給出了一個(gè)簡略證明.

圖3 存在多個(gè)地震監(jiān)測臺網(wǎng)時(shí)，矯正震級計(jì)算的數(shù)據(jù)選擇關(guān)系橢圓形分別表示固定地震臺網(wǎng)記錄到的地震事件測定震級m1、流動地震臺網(wǎng)記錄到的地震事件測定震級m2,m3,…,mk.圖中紅色、黃色、深灰色區(qū)域代表同時(shí)被兩個(gè)或三個(gè)地震臺網(wǎng)所記錄到的地震事件.Fig.3 Illustration of the relationship of data inclusion and exclusion when the records are recorded by multiple monitoring networksEllipse m1 represents the magnitudes recorded by the permanent seismic network, and ellipses m2,m3,…,mk represent magnitude recorded by different temporary seismic networks. The red, yellow, and dark gray areas represent the earthquake events are simultaneously recorded by two or three networks.

當(dāng)?shù)卣鹗录欢鄠€(gè)地震臺網(wǎng)同時(shí)記錄時(shí)，結(jié)合(12)式的結(jié)果，可以得到多個(gè)臺網(wǎng)加權(quán)平均下得到的矯正震級.不同臺網(wǎng)之間對于記錄的地震事件存在交叉關(guān)系，但均可通過(12)式得到地震記錄的矯正震級.如圖3所示，紅色區(qū)域Σ12、Σ13、Σ1k代表同時(shí)被固定臺網(wǎng)及流動臺網(wǎng)所記錄到的地震事件，黃色區(qū)域Σ23、Σ3k代表同時(shí)被兩個(gè)流動臺網(wǎng)所記錄到的地震事件，深灰色區(qū)域Σ123、Σ13k代表同時(shí)被固定臺網(wǎng)及其他多個(gè)流動臺網(wǎng)同時(shí)記錄到的地震事件，這些被多個(gè)臺網(wǎng)共同記錄到的地震事件均可通過(12)式得到相應(yīng)的矯正震級.實(shí)際工作中的地震記錄交叉關(guān)系會比圖3中所示復(fù)雜得多，但我們只需確定該地震事件被哪些臺網(wǎng)所記錄到，即落在圖3中的哪個(gè)區(qū)域，結(jié)合(12)式，帶入矯正參數(shù)，即可快速得到該地震事件所對應(yīng)的矯正震級.對于被某些臺網(wǎng)所單獨(dú)記錄到的地震事件，即圖3中的白色區(qū)域，由臺網(wǎng)與真實(shí)震級之間的關(guān)系(見(3)式和(4)式)，帶入矯正參數(shù)即可得到真實(shí)震級的大小.

給定k個(gè)不同的臺網(wǎng)對N個(gè)地震的測定結(jié)果：

其中缺失數(shù)據(jù)記為NA.此情況下的觀測數(shù)據(jù)的聯(lián)合概率密度函數(shù)，也就是似然函數(shù)為

(14)

而

(15)

式中，我們約定對所有的概率密度函數(shù)當(dāng)NA出現(xiàn)在自變量中，其值為1，即f…(NA|…)=f…(…|NA)=1.

由k個(gè)不同的流動臺網(wǎng)確定的“觀測震級”其最大似然函數(shù)為：

(16)

其中I(A)為邏輯函數(shù)，當(dāng)論斷A為真時(shí)取值1，否則取值0.

(17)

將這些估計(jì)值代入(12)及(13)式就可以分別得到真實(shí)震級的估計(jì)值(矯正震級)和標(biāo)準(zhǔn)差.

2.4 計(jì)算步驟和實(shí)現(xiàn)方式

應(yīng)用到實(shí)際的算法上，主要分為兩個(gè)步驟：

2)按照(12)式的結(jié)果，得到由k個(gè)臺網(wǎng)所確定的矯正震級：

(18)

2.5 數(shù)據(jù)分析

將算法應(yīng)用于西昌地區(qū)實(shí)際地震目錄中，得到的結(jié)果如圖4所示.西昌流動臺網(wǎng)與固定臺網(wǎng)融合后的矯正震級對兩個(gè)臺網(wǎng)的初始測定震級均存在一定的震級矯正量，矯正震級對固定臺網(wǎng)初始測定震級的震級矯正量在M-0.3～M+0.3之間，其頻次的分布形態(tài)大體呈標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.矯正震級與西昌流動臺網(wǎng)的初始測定震級的震級矯正量范圍則在M-0.3～M+1.2之間，震級矯正量集中趨近于M+0.5，離散程度相對較高.從兩個(gè)臺網(wǎng)的震級矯正量頻次分布結(jié)果中可以看出，我們所發(fā)展的多臺網(wǎng)震級矯正算法不僅僅是對流動臺網(wǎng)的矯正，而是多臺網(wǎng)融合后整體矯正.與此同時(shí)我們也得到了矯正震級計(jì)算所需的矯正參數(shù)(表1).矯正參數(shù)的值確定之后，結(jié)合流動臺網(wǎng)與真實(shí)震級之間的關(guān)系(4)，即可將流動臺網(wǎng)所測定的地震震級矯正為真實(shí)的地震震級.同時(shí)，當(dāng)流動臺網(wǎng)的數(shù)據(jù)量足夠多時(shí)，可認(rèn)為其與固定臺網(wǎng)所共同確定的矯正參數(shù)是穩(wěn)定的，對于還未發(fā)生的地震來說，當(dāng)?shù)卣鸢l(fā)生時(shí)，通過矯正參數(shù)表及震級矯正公式(18)即可快速的對測定震級進(jìn)行矯正，為地震活動參數(shù)的計(jì)算提供準(zhǔn)確的震級參數(shù).

表1 矯正參數(shù)的估計(jì)值Table 1 Estimates of correction parameters

3 討論

不同地震臺網(wǎng)共同記錄的地震事件測定震級出現(xiàn)差異的本質(zhì)原因，一方面，對在特定周期測量最大振幅的地方震震級ML和面波震級MS，受制于“單色”和“經(jīng)典”意義上的震級定義本身，難于應(yīng)對不同臺網(wǎng)之間在傳播路徑、場地響應(yīng)和介質(zhì)衰減上的系統(tǒng)性差異(Mahani and Kao, 2020).另一方面即使對于矩震級MW和能量震級Me等“現(xiàn)代”意義上的震級測定，也難于將地震觀測譜中相互耦合的傳播路徑、場地響應(yīng)和介質(zhì)衰減項(xiàng)精準(zhǔn)地扣除(Trugman and Shearer, 2017; Picozzi et al., 2017)，獲得真實(shí)的震源譜.這些在物理上難于事先“校正”的震級測定難點(diǎn)，則為統(tǒng)計(jì)地震學(xué)上的后驗(yàn)的“矯正”提供了發(fā)揮空間.

圖4 基于貝葉斯算法獲得的矯正震級與初始測定震級的比較(a) 表示固定地震臺網(wǎng)(藍(lán)色的點(diǎn))及流動地震臺網(wǎng)(紅色的點(diǎn))初始測定震級(橫軸)與矯正震級(縱軸)的對比; (b) 表示矯正震級與流動地震臺網(wǎng)初始測定震級不同震級差的頻次統(tǒng)計(jì); (c) 表示矯正震級與固定地震臺網(wǎng)初始測定震級不同震級差的頻次統(tǒng)計(jì).Fig.4 Comparison between the revised magnitudes that are calculated by the Bayesian algorithm and the original recorded magnitudes(a) shows a comparison between the revised magnitudes that are calculated by the Bayesian algorithm and the original recorded magnitudes by the CN (blue dots) and XC (red dots) seismic networks. (b) and (c) show histograms of the differences between the revised magnitudes and the original recorded magnitudes by the XC and the CN seismic networks, respectively.

本文提出的基于貝葉斯公式的震級矯正算法的應(yīng)用不僅僅局限于流動臺網(wǎng)的假設(shè)，實(shí)際上也可應(yīng)用于如下三種情景：(1)針對固定地震臺網(wǎng)測定震級存在缺陷、需要專門布設(shè)的流動地震臺網(wǎng)進(jìn)行標(biāo)定震級的情況.這是由于稀疏分布的本地固定地震臺網(wǎng)缺少發(fā)生在較淺深度、較近震中距離的地震數(shù)據(jù)記錄，構(gòu)建的震級測量公式難于獲得這些地震事件的準(zhǔn)確的震級測定結(jié)果(Ottem?ller and Sargeant, 2013; Luckett et al., 2019).(2)增加布設(shè)的流動地震臺網(wǎng)通過地方震震級(ML)與矩震級(MW)的統(tǒng)計(jì)分析矯正震級測定公式后，同樣可利用本文的方法對固定地震臺網(wǎng)的震級結(jié)果進(jìn)行矯正，以及兩者的聯(lián)合矯正，這對水力壓裂誘發(fā)地震和采礦誘發(fā)地震的震級測定具有重要的現(xiàn)實(shí)意義(Clarke et al., 2014; Butcher et al., 2017).(3)對于大地震余震區(qū)在震后快速布設(shè)的流動觀測臺網(wǎng)，未經(jīng)過校準(zhǔn)的流動觀測臺站數(shù)量遠(yuǎn)多于本地固定地震臺站、記錄的大量余震事件的震級幾乎全部無法保證可靠性.而利用本文的算法，可將每個(gè)流動觀測臺站均作為等待矯正的“臺網(wǎng)”、轉(zhuǎn)變?yōu)槎嗯_網(wǎng)共同矯正的方式來獲得更為可靠的震級測定結(jié)果.

對于震級矯正參數(shù)，利用本文新發(fā)展的算法以及先期計(jì)算得到的震級矯正參數(shù)，可對流動地震臺網(wǎng)未來新發(fā)生地震進(jìn)行快速的震級矯正，得到更為精確的真實(shí)震級估計(jì)值.震級矯正參數(shù)的穩(wěn)定性將直接影響震級矯正的準(zhǔn)確性，而流動地震臺網(wǎng)與固定地震臺網(wǎng)的布設(shè)區(qū)域、布設(shè)時(shí)間、最小完整性震級等的差異，為震級矯正參數(shù)穩(wěn)定性的提高造成一定的阻礙.但當(dāng)同一研究區(qū)域布設(shè)有多個(gè)流動地震臺網(wǎng)時(shí)，采用多網(wǎng)融合下的震級矯正算法可有效解決這一問題.多網(wǎng)融合的震級矯正算法有助于顯著提升震級矯正結(jié)果的穩(wěn)定性，方法本身具有普適性和更高的應(yīng)用潛力.

需注意的是，本文發(fā)展的基于貝葉斯公式的震級矯正算法，當(dāng)固定臺網(wǎng)的測定震級與事件的真實(shí)震級之間的誤差并無特定規(guī)律、或流動臺網(wǎng)測定震級與真實(shí)震級之間誤差不滿足線性分布時(shí)，本文所發(fā)展的震級融合算法將不適用，僅適用于震級測定的標(biāo)準(zhǔn)差已知的情況，如果需分析的數(shù)據(jù)不包含震級測定的標(biāo)準(zhǔn)差，則須發(fā)展新的算法.Castellaro等(2006)認(rèn)為標(biāo)準(zhǔn)差未知時(shí)，最小二乘法擬合是震級轉(zhuǎn)換最優(yōu)的選擇.對于固定地震臺網(wǎng)與流動地震臺網(wǎng)的震級標(biāo)度不一致的情況，若想得到地震的真實(shí)震級，可先通過不同震級標(biāo)度之間相互轉(zhuǎn)換的經(jīng)驗(yàn)公式獲得相同類型的震級數(shù)據(jù)，再進(jìn)行震級矯正計(jì)算.但不同震級標(biāo)度轉(zhuǎn)換公式的選擇至關(guān)重要，錯(cuò)誤的震級轉(zhuǎn)換關(guān)系可能會導(dǎo)致較大的轉(zhuǎn)換誤差，這可能會對地震危險(xiǎn)估計(jì)和震級-頻度關(guān)系的確定造成嚴(yán)重影響(Castellaro and Bormann, 2007; Pandey et al., 2017).因此，如何進(jìn)一步提高本文發(fā)展的算法在應(yīng)用上的普適性，或可同時(shí)考慮不同震級標(biāo)度下的真實(shí)震級的確定，這是未來需進(jìn)一步探討的問題.

4 結(jié)論

在稀疏的固定地震臺網(wǎng)內(nèi)增設(shè)的一個(gè)或多個(gè)流動地震臺網(wǎng)時(shí)，受到地震記錄信噪比低、難以獲得準(zhǔn)確的臺基校正項(xiàng)等多種因素影響，使得分別用固定地震臺網(wǎng)和流動地震臺網(wǎng)測定的震級往往存在顯著差異.為將固定地震臺網(wǎng)與流動地震臺網(wǎng)的地震記錄融合利用，矯正并估計(jì)真實(shí)震級，本文基于固定地震臺網(wǎng)測定震級誤差小于流動地震臺網(wǎng)的先驗(yàn)性假設(shè)，利用震級偏差的概率密度函數(shù)，并將不同地震臺網(wǎng)測定震級的標(biāo)準(zhǔn)差作為權(quán)重，構(gòu)建了固定地震臺網(wǎng)分別與一個(gè)或多個(gè)流動地震臺網(wǎng)進(jìn)行融合和矯正震級的算法.將該算法應(yīng)用于中國四川省西昌市布設(shè)的流動地震臺網(wǎng)與當(dāng)?shù)叵∈璺植嫉闹袊潭ǖ卣鹋_網(wǎng)記錄數(shù)據(jù)融合和獲得真實(shí)震級的案例，驗(yàn)證了該方法的可行性.本文獲得的主要認(rèn)識如下：

(1)本文所發(fā)展的基于貝葉斯公式的震級矯正算法，是以地震臺網(wǎng)測定的震級誤差為基礎(chǔ)，針對固定臺網(wǎng)和流動臺網(wǎng)的震級測定差異，可綜合考慮震級的人工測定誤差、臺站臺基狀態(tài)、震級量規(guī)函數(shù)等因素，得到相對客觀的矯正震級.通過矯正震級與原始測定震級的對比，還可得到地震臺網(wǎng)測定震級的誤差偏移情況，為實(shí)際的科學(xué)研究提供參考.

(2)本文所提出的基于貝葉斯公式的震級矯正方法可適用于同一區(qū)域布設(shè)多個(gè)流動地震臺網(wǎng)、分別獨(dú)立測定震級的情況.只需提前了解地震事件被哪些地震臺網(wǎng)同時(shí)記錄到，按照多地震臺網(wǎng)的矯正震級計(jì)算公式，即可得到多臺網(wǎng)布設(shè)情況下的矯正震級及矯正參數(shù).對于只有一個(gè)臺網(wǎng)記錄的地震事件，則基于固定臺網(wǎng)與流動臺網(wǎng)的線性回歸關(guān)系，帶入矯正參數(shù)，直接進(jìn)行單臺網(wǎng)記錄地震事件的震級矯正.隨著參與震級矯正的地震臺網(wǎng)的不斷增多，多地震臺網(wǎng)的震級矯正方法可得到更為科學(xué)合理的地震震級，應(yīng)用潛力較大.

(3)由理論結(jié)果和數(shù)據(jù)分析可以看出，本文提出的方法并非簡單地遷就標(biāo)準(zhǔn)的固定地震臺網(wǎng)的測定震級結(jié)果.當(dāng)流動地震臺網(wǎng)的震級矯正參數(shù)有了穩(wěn)定的估計(jì)值后，可以利用流動地震臺網(wǎng)的測量結(jié)果，反過來能獲得比固定地震臺網(wǎng)測定精度更高的震級估計(jì)值.

(4)對西昌流動地震臺網(wǎng)測定震級結(jié)果的分析表明，西昌流動地震臺網(wǎng)測定震級整體偏小，固定地震臺網(wǎng)測定震級與最終的矯正震級之間存在一定偏離度的線性關(guān)系.對于西昌地區(qū)，利用本文的震級矯正算法并結(jié)合獲得的震級矯正參數(shù)表，可實(shí)現(xiàn)對未來新發(fā)生地震的快速震級矯正并得到矯正震級的大小.

致謝本文使用的西昌地震臺陣的地震目錄和地震觀測報(bào)告由中國地震局地球物理研究所房立華研究員提供，本項(xiàng)研究主要的理論研究部分是第一作者在訪問日本統(tǒng)計(jì)數(shù)理研究所(ISM)期間完成，ISM為本研究提供了計(jì)算和辦公等條件支持，在此一并表示感謝.

附錄A 真實(shí)震級概率密度函數(shù)的推導(dǎo)過程

由(8)式可得，給定m1和m2情況下的真實(shí)震級m所滿足的概率密度函數(shù)正比于分子部分，因此可將(8)式的分子部分轉(zhuǎn)化為真實(shí)震級m所滿足的正態(tài)分布表達(dá)形式，即可對應(yīng)的得到真實(shí)震級m的均值μ及標(biāo)準(zhǔn)差σ2.將(3)(5)式代入(8)式的分子部分，

(A1)

為了易于對(A1)式關(guān)于m進(jìn)行積分以求解μ和σ2，令

(A2)

(A3)

(A4)

將(A4)式中的μ代入(A2)式的m，可得到U的極小值Umin.

(A5)

因此(A2)式可以寫為

(A6)

由此可得到給定固定臺網(wǎng)震級分布m1，及一個(gè)流動臺網(wǎng)m2，最終所得到的真實(shí)震級概率密度函數(shù)的表達(dá)式為

(A7)

附錄B 多臺網(wǎng)觀測時(shí)真實(shí)震級服從的條件分布的推導(dǎo)

當(dāng)有k個(gè)臺網(wǎng)時(shí)，即存在一個(gè)固定臺網(wǎng)及k-1個(gè)流動臺網(wǎng)，真實(shí)震級服從的條件分布表達(dá)形式推導(dǎo)過程如下：

(B1)

真實(shí)震級m的概率密度函數(shù)為

(B2)

由于固定臺網(wǎng)和流動臺網(wǎng)的震級記錄在給定真實(shí)震級m的條件下是相互獨(dú)立的，且不同流動臺網(wǎng)之間的震級記錄相互獨(dú)立，則當(dāng)2≤j≤k時(shí)，

fj|·1…j-1(mj|m,m1,…,mj-1)=fj|·(mj|m),

(B3)

fj|1…j-1(mj|m1,…,mk-1)=fj|1(mj|m1).

(B4)

根據(jù)全概率公式，給定固定臺網(wǎng)震級m1條件下流動臺網(wǎng)震級mj的條件概率密度函數(shù)為

f2…k|1(m2,…,mk|m1)=

(B5)

將(B3)、(B4)和(B5)式代入(B2)式，則

f·|12…k(m|m1,m2,…,mk)=

(B6)

(B6)式中的分布為一個(gè)正態(tài)分布，設(shè)k個(gè)地震臺網(wǎng)下，真實(shí)震級均值為μ，標(biāo)準(zhǔn)差為σ2，即

(B7)

將k個(gè)地震臺網(wǎng)所滿足的概率密度函數(shù)代入(B6)式的分子部分，

(B8)

為了易于對(B8)式關(guān)于m進(jìn)行積分以求解μ和σ2，令

(B9)

(B10)

(B11)

(B12)

由此可得，存在一個(gè)固定臺網(wǎng)及k-1個(gè)流動臺網(wǎng)(j=k)時(shí)，真實(shí)震級服從的條件分布為均值為

(B13)

而方差為

(B14)

的正態(tài)分布.至此，正文部分(12)式、(13)式得證.