消元法解題初探

山東省平原一中 (253100) 張傳民

消元法是指將關(guān)系式中的若干個元素，通過有限次的變換消去其中的某些元素，從而使問題獲得解決的一種解題方法.消元的目的是減少變量的個數(shù)，簡化形式，便于計(jì)算.消元法在函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、解析幾何、向量、三角函數(shù)等知識中經(jīng)常用到.消元法與其說是一種解題方法解題技巧不如說是一種思想方法更確切些.在中學(xué)階段常用的消元方法有：代入消元、加減消元、整體消元、同構(gòu)消元、常數(shù)消元等.

1.代入消元法

2.加減消元法

例3 已知cosA=cosxsinC,cosB=sinxsinC，求sin2A+sin2B+sin2C的值.

3.整體消元法

例5 已知a,b,c均為正數(shù)，且ab=1，a2+b2+c2=4，求ab+bc+ca的最大值.

4.構(gòu)造消元法

例6 若實(shí)數(shù)m,n,l滿足m-n=8，mn+l2+16=0,求證：m+n+l=0.

證明：將已知條件轉(zhuǎn)化為m+(-n)=8,m·(-n)=l2+16,故m,-n是一元二次方程x2-8x+l2+16=0的兩根.所以△=(-8)2-4(l2+16)=-4l2≥0.從而只能是l=0,△=0,所以方程有兩個相等的實(shí)根，即m=-n.因此m+n+l=0.

圖1

5.常數(shù)消元法

6.換元消元法

7.主元消元法

8.齊次消元法

例11 若不等式x2-2y2≤cx(y-x)對任意滿足x>y>0的實(shí)數(shù)x,y恒成立，求實(shí)數(shù)c的最大值.