一種顧及初始偏差值的短期北斗鐘差預(yù)報(bào)方法*

押少帥，齊 娟

（安徽理工大學(xué)，安徽 淮南 232001）

隨著全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng) （GNSS） 的不斷發(fā)展，高精度的定位和授時(shí)服務(wù)被廣泛應(yīng)用于社會(huì)的各種行業(yè)[1]。 1 ns 的衛(wèi)星鐘差誤差可導(dǎo)致3 dm 的定位距離誤差[2]，因此鐘差是限制高精度定位和授時(shí)的重要因素之一。 雖然IGS 提供的事后精密鐘差產(chǎn)品精度高但不能滿足實(shí)時(shí)需求； 而廣播星歷能滿足實(shí)時(shí)需求但其精度較差。 因此，建立高精度的鐘差預(yù)報(bào)模型尤為重要。

為了提高鐘差的預(yù)報(bào)精度，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)鐘差預(yù)報(bào)模型進(jìn)行了大量的研究。 常見的鐘差預(yù)報(bào)模型有二次多項(xiàng)式 （QP） 模型、 灰色模型 （GM）、卡爾曼濾波模型 （KF） 和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等。 鄭作亞等[3]利用顧及周期項(xiàng)的二次多項(xiàng)式模型對(duì)GPS 的銣鐘和銫鐘進(jìn)行預(yù)報(bào)，通過(guò)不同時(shí)段的預(yù)報(bào)分析，得出銣鐘的預(yù)報(bào)精度優(yōu)于銫鐘。 朱陵鳳等[4]采用灰色模型對(duì)GPS 衛(wèi)星鐘差進(jìn)行長(zhǎng)期預(yù)報(bào)的精度達(dá)到了ns 量級(jí)，實(shí)驗(yàn)證明該模型的長(zhǎng)期預(yù)報(bào)性能明顯高于二次多項(xiàng)式模型。 近些年，隨著機(jī)器學(xué)習(xí)的興起，一些學(xué)者將機(jī)器學(xué)習(xí)算法引入到鐘差預(yù)報(bào)中，基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)報(bào)模型被廣泛應(yīng)用。 如雷雨等[5]利用極限學(xué)習(xí)機(jī)對(duì)鐘差進(jìn)行30 d 的預(yù)報(bào)，取得了優(yōu)于二次多項(xiàng)式和灰色模型的預(yù)報(bào)精度。 王宇譜等[6]通過(guò)遺傳算法優(yōu)化的小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)鐘差進(jìn)行1 d 的預(yù)報(bào)，結(jié)果表明其精度較IGS 超快速預(yù)報(bào)鐘差有較大改善。 以上文獻(xiàn)表明機(jī)器學(xué)習(xí)算法優(yōu)于傳統(tǒng)的鐘差預(yù)報(bào)模型。

本文引入一種長(zhǎng)短時(shí)記憶網(wǎng)絡(luò) （LSTM），利用其強(qiáng)大的記憶能力和自學(xué)能力對(duì)鐘差進(jìn)行預(yù)報(bào)，由于LSTM 進(jìn)行長(zhǎng)期預(yù)測(cè)時(shí)，預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)精度較低，但是短期精度良好，因此將LSTM 進(jìn)行短期鐘差預(yù)報(bào)。 然后將傳統(tǒng)模型預(yù)報(bào)的第一個(gè)值與LSTM 預(yù)測(cè)的第一個(gè)值相減得到預(yù)測(cè)初始偏差值，進(jìn)而再將傳統(tǒng)模型的預(yù)報(bào)鐘差統(tǒng)一減去預(yù)測(cè)初始偏差值，得到最終的預(yù)報(bào)鐘差。 為了驗(yàn)證本文方法的有效性，分別采用QP 和LSTM-QP、 GM 和LSTM-GM 兩組模型對(duì)BDS-3 的C19，C30，C32 和C37 進(jìn)行0.5 h，1 h 和3 h 的鐘差預(yù)報(bào)，進(jìn)行精度分析。

1 基礎(chǔ)原理

1.1 二次多項(xiàng)式（QP） 模型

QP 模型是鐘差預(yù)報(bào)中常用的模型，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中： Li為ti時(shí)刻的衛(wèi)星鐘差值； ti為歷元時(shí)刻； t0為參考時(shí)刻； a0，a1，a2分別為相位、 頻率及頻漂的待估參數(shù)；為噪聲隨機(jī)項(xiàng)。 二次多項(xiàng)式是通過(guò)一定數(shù)據(jù)擬合出相應(yīng)的參數(shù)進(jìn)行預(yù)報(bào)，其計(jì)算簡(jiǎn)單易懂，但其誤差會(huì)隨著預(yù)報(bào)時(shí)間的增加而積累，導(dǎo)致預(yù)報(bào)精度較差。

1.2 灰色模型（GM（1，1））

灰色模型可以通過(guò)少量信息對(duì)不確定的信息系統(tǒng)進(jìn)行建模預(yù)測(cè)。 星載原子鐘受外部環(huán)境的影響，其鐘差變化規(guī)律復(fù)雜。 因此灰色模型被廣泛應(yīng)用到鐘差預(yù)報(bào)中，其公式為

式中： X（1）為鐘差逐個(gè)累加后的序列； X（0）為鐘差序列；μ?和α?為所求參數(shù)，通常利用最小二乘進(jìn)行求解，其中μ?為灰作用量； α?為灰色系數(shù)； e 為自然常數(shù)?；疑Ｐ偷念A(yù)報(bào)效果受參數(shù)的影響容易陷入局部最小，導(dǎo)致預(yù)報(bào)鐘差不準(zhǔn)確。

1.3 LSTM 網(wǎng)絡(luò)

長(zhǎng)短時(shí)記憶網(wǎng)絡(luò) （LSTM） 是一種改進(jìn)的循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) （RNN）。 針對(duì)循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在長(zhǎng)時(shí)間序列中出現(xiàn)梯度消失和梯度爆炸問(wèn)題，LSTM 在循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中加入了輸入門、 遺忘門和輸出門3 個(gè)信息傳遞的門控單元，有效解決了長(zhǎng)期依賴的問(wèn)題[7]。LSTM 通過(guò)3 個(gè)門控單元實(shí)現(xiàn)對(duì)長(zhǎng)序列數(shù)據(jù)的有效處理。 輸入門控制輸入數(shù)據(jù)的數(shù)量，輸出門負(fù)責(zé)輸出狀態(tài)信息的位置，遺忘門決定需要保留的信息和遺棄的信息。 LSTM 的計(jì)算公式分別如下。

遺忘門輸出為

輸入門輸出為

輸入的單元狀態(tài)為

輸出門輸出為

狀態(tài)更新為

網(wǎng)絡(luò)輸出為

式中： Wkm，Wkn，Wam，Wan，Wbm，Wbn，Wrm，Wrn均為權(quán)值矩陣； bf，bi，bg，bO分別為ft，it，gt，Ot的偏置項(xiàng)。

針對(duì)傳統(tǒng)模型預(yù)測(cè)初始偏差值較大的問(wèn)題，本文提出一種利用LSTM 對(duì)預(yù)測(cè)初始值進(jìn)行修正的算法。 該算法主要分為3 個(gè)過(guò)程： 一是利用傳統(tǒng)模型和LSTM 進(jìn)行鐘差預(yù)報(bào)； 二是通過(guò)傳統(tǒng)模型預(yù)報(bào)的第一個(gè)鐘差值與LSTM 預(yù)報(bào)的第一個(gè)鐘差值相減，求出初始偏差值； 三是將傳統(tǒng)模型的預(yù)報(bào)值統(tǒng)一減去初始偏差值，得到最終的鐘差預(yù)報(bào)值。

2 實(shí)驗(yàn)分析

2.1 實(shí)驗(yàn)方案

本文采用德國(guó)地學(xué)研究中心 （Deutsches Geo Forschungs Zentrum, GFZ） 提 供 的2021年年 積 日（Day of Year，DOY） 97 的精密鐘差數(shù)據(jù)，其采樣間隔為30 s。 以BDS-3 的C19，C30，C32 和C37為例，分別用QP 和LSTM-QP、 GM 和LSTM-GM兩組模型進(jìn)行短期鐘差預(yù)報(bào)分析。 首先對(duì)原始鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，剔除粗差，通常采用中位數(shù)法（Median Abso1ute Deviation，MAD）； 進(jìn)而根據(jù)預(yù)處理后的鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，利用前12 h 的數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，分別預(yù)報(bào)0.5 h，1 h 和3 h 的鐘差； 最后選取預(yù)報(bào)時(shí)間段對(duì)應(yīng)的已知精密鐘差數(shù)據(jù)作為參考數(shù)據(jù)，采用均方根誤差 （RMS） 作為精度評(píng)定指標(biāo)，分析鐘差預(yù)報(bào)的效果。

2.2 精度分析

為了驗(yàn)證初始偏差值對(duì)鐘差精度的影響，分別給出4 種模型在不同時(shí)段的RMS 統(tǒng)計(jì)表、 RMS 直方圖和預(yù)報(bào)3 h 的殘差圖。

表1～表3 分別為預(yù)報(bào)0.5 h，1 h 和3 h 的RMS統(tǒng)計(jì)表。

表1 4 顆衛(wèi)星預(yù)報(bào)0.5 h 的RMS 統(tǒng)計(jì)量

表2 4 顆衛(wèi)星預(yù)報(bào)1 h 的RMS 統(tǒng)計(jì)量

表3 4 顆衛(wèi)星預(yù)報(bào)3 h 的RMS 統(tǒng)計(jì)量

由表1～表3 可以看出，采用LSTM 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化后的QP 和GM 模型鐘差預(yù)報(bào)精度均有不同程度的提高。 對(duì)不同的模型分析可知，QP 模型在預(yù)報(bào)0.5 h 和1 h 時(shí)對(duì)C32 的精度最優(yōu)為0.093 ns 和0.103 ns，預(yù)報(bào)3 h 時(shí)精度最好的是C37，達(dá)到了0.129 ns； 對(duì)C19 在3 個(gè)時(shí)間段精度均最差。LSTM-QP 模型在預(yù)報(bào)0.5 h 時(shí)，4 顆衛(wèi)星的精度均在0.1 ns 之內(nèi)，且對(duì)C30 的改進(jìn)效果最好，精度提高了約20 倍，最差也提高了約2.3 倍； 之后隨著時(shí)間的增加，精度改進(jìn)的效果在逐步減弱，尤其當(dāng)預(yù)報(bào)3 h 時(shí)，其精度最優(yōu)提高了約1.4 倍，最差提高了約0.3 倍。 GM 模型在3 個(gè)時(shí)段內(nèi)對(duì)C30 的預(yù)報(bào)精度最差，分別為0.371 ns，0.400 ns 和0.613 ns，此外，GM 模型對(duì)C19 和C37 預(yù)報(bào)的精度均優(yōu)于QP 模型。 LSTM-GM 模型在進(jìn)行0.5 h 預(yù)報(bào)時(shí)，其精度最差為0.068 ns，對(duì)C30 的預(yù)報(bào)精度相較于GM 模型提高了約17.5 倍； 且在對(duì)C32 和C37 進(jìn)行3 h 預(yù)報(bào)時(shí)，其精度均在0.100 ns 之內(nèi)。 此外，在對(duì)C32 進(jìn)行預(yù)報(bào)時(shí)，LSTM-GM 模型的預(yù)報(bào)精度均最優(yōu)，分別為0.016 ns，0.038 ns 和0.049 ns。

圖1 為4 種模型在不同時(shí)段的RMS 直方圖。從圖中可以清晰地看出，LSTM-QP 和LSTM-GM 模型的RMS 值明顯優(yōu)于QP 和GM 模型。 尤其是在進(jìn)行0.5 h 和1 h 預(yù)報(bào)時(shí)，其精度有極大的提高，且在3 h 預(yù)報(bào)時(shí)其精度也有一定提高。 同時(shí)，LSTM-QP和LSTM-GM 模型在對(duì)C19，C30，C37 預(yù)報(bào)時(shí)，其RMS 值相差不大，但對(duì)C32 進(jìn)行3 h 預(yù)報(bào)時(shí)，其RMS 值相差明顯。

圖1 4 顆衛(wèi)星預(yù)報(bào)不同時(shí)段的RMS 直方圖

第61 頁(yè)圖2 分別為4 種模型預(yù)報(bào)0.5 h，1 h和3 h 的殘差圖，圖中正方符號(hào)的線條表示QP 模型，圓形符號(hào)的線條表示LSTM-QP 模型，上三角符號(hào)的線條表示GM 模型，下三角符號(hào)的線條表示LSTM-GM 模型。 從圖中可以看出，LSTM-QP 和LSTM-GM 模型的起始偏差值相同，這是由于QP和GM 模型經(jīng)過(guò)LSTM 優(yōu)化后的初始預(yù)測(cè)值相同。此外，因?yàn)長(zhǎng)STM-QP 和LSTM-GM 模型只是對(duì)QP和GM 模型的殘差值統(tǒng)一加了一個(gè)修正值，因此兩組模型的變化趨勢(shì)一致。

圖2 4 種模型預(yù)報(bào)3h 內(nèi)的殘差圖

由LSTM-QP 和LSTM-GM 模型可以看出，當(dāng)LSTM-QP 模型對(duì)C30 進(jìn)行預(yù)報(bào)時(shí)，其殘差值明顯優(yōu)于LSTM-GM 模型，而LSTM-GM 模型對(duì)C19 和C32 的預(yù)報(bào)殘差值優(yōu)于LSTM-QP 模型。 對(duì)C37 預(yù)報(bào)，兩種模型的預(yù)報(bào)精度相差不大。 因此，采用LSTM 修正后的QP 和GM 模型對(duì)不同衛(wèi)星有著不同的優(yōu)勢(shì)。

同 時(shí)，在 預(yù) 報(bào)60 個(gè) 歷 元 時(shí)，LSTM-QP 和LSTM-GM 模型對(duì)4 顆衛(wèi)星的殘差值基本都在0 附近波動(dòng)，而QP 和GM 模型的殘差值偏離真實(shí)值較遠(yuǎn)，而且LSTM-QP 和LSTM-GM 模型的殘差曲線偏差不大。 隨著時(shí)間的增加，由于QP 和GM 模型的影響，LSTM-QP 和LSTM-GM 模型的殘差曲線出現(xiàn)明顯的變化。 整體上看，LSTM-QP 和LSTM-GM模型在整個(gè)預(yù)報(bào)時(shí)間段內(nèi)，其偏離真實(shí)值的程度要優(yōu)于QP 和GM 模型。 因此，LSTM-QP 和LSTMGM 模型的精度要優(yōu)于QP 和GM 模型。

3 結(jié)論

本文通過(guò)LSTM 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)兩種傳統(tǒng)的QP 和GM 模型進(jìn)行初始值修正，在短期內(nèi)的鐘差預(yù)報(bào)中得到了驚人的效果。 其中LSTM-QP 和LSTM-GM模型在預(yù)報(bào)0.5 h 時(shí)，其精度相較于QP 和GM 模型最高，分別提高了約20.2 倍和17.5 倍，在預(yù)報(bào)3 h時(shí)，其最高提高了約1.4 倍和1.9 倍。 因此，基于初始偏差值修正的LSTM-QP 和LSTM-GM 模型在進(jìn)行短期預(yù)報(bào)時(shí)優(yōu)于傳統(tǒng)的QP 和GM 模型。