指向深度學習的小學數(shù)學幾何概念教學研究

【摘要】幾何是研究圖形的科學，幾何教學有利于培養(yǎng)和發(fā)展學生的觀察能力、空間觀念和抽象思維等。小學正是學生由具體形象思維向抽象思維過渡的階段，是培養(yǎng)學生空間觀念和抽象思維的關鍵時期。數(shù)學教師要幫助學生深度理解幾何概念，促進學生空間觀念和抽象思維的形成和發(fā)展。文章研究了小學數(shù)學幾何概念教學的有效路徑，以期在學生深度理解幾何概念的基礎上，促進學生關鍵能力的形成和核心素養(yǎng)的發(fā)展。

【關鍵詞】幾何概念;三角形的高;深度理解

作者簡介：曹慧清（1990—），女，江蘇省南京市溧水區(qū)洪藍中心小學。

一、緣起

筆者在教學“三角形的高”一課的時候，發(fā)現(xiàn)學生在畫三角形的高時經常會出現(xiàn)“高沒有從頂點出發(fā)”“高沒有畫到底邊上”“高與底假垂直”“不會找直角邊上的高”等問題（如圖1）。

二、思考

三角形的高就是從某一頂點出發(fā)垂直于對邊的一條垂直線段。這應該是很簡單的操作，為何學生會出現(xiàn)這么多不同類型的錯誤呢？筆者從學生和教材出發(fā)，分析學生在畫三角形的高時出現(xiàn)錯誤的原因。

（一）自我認知特點的影響

1.易受生活經驗負遷移的影響

“這棵樹有多高？”“這幢樓多高？”“你的身高是多少？”等，這些生活問題里面的高，大多是豎直方向的高，因此會給學生帶來“高是豎直的”的認知。學生為了畫出豎直的高，往往會選擇從上到下繪制，當三角形某個頂點到對邊不是豎直方向時，學生便會認為不應該從此頂點出發(fā)畫高。此外，生活中的高基本是從頂端指向底部，因此學生在畫三角形的高時，往往也會認為只有三角形底部的邊才是三角形的底。

2.易受思維定式的影響

給銳角三角形、鈍角三角形畫完高后，學生思維上往往會產生一種定式，即三角形的高都在三角形內部，且是一條和三角形的邊不重合的直線。這種定式思維會讓學生在畫直角三角形的高時，把高畫在接近其中一條直角邊的位置，而沒有意識到直角三角形的直角邊就是它的高。

3.受到形象思維的影響

小學生在頭腦中存儲并加工概念，形成的往往不是文字的定義，而是概念的形象。三角形的高并不是真實存在、看得見摸得著的東西，它是數(shù)學抽象的結果，學生很難在腦海中將其形象具體化，從而感知、消化它。

（二）教材編排特點的影響

教材中關于三角形的高的內容，不管是例題中安排的為進行測量人字梁高度的活動所配的圖，還是在定義三角形的高時所配的圖，又或是在“試一試”環(huán)節(jié)要求畫出三角形底邊上的高所給的圖，它們給出的三角形的高都是一條豎直的線段且三角形的底都是在水平線上。教師在教學這些內容時如果不及時補充三角形其他類型的高，那么學生往往會形成關于三角形的高的單一圖象，從而使學習思維受到限制。

綜合學生的認知特點與教材編排特點，筆者發(fā)現(xiàn)學生出現(xiàn)錯誤的根本原因是沒有真正理解三角形的高的概念。學生往往只是通過模仿去畫三角形的高，沒有在腦海中建構出“高與底互相垂直”的位置關系，也沒有真正掌握畫高的方法，因此不能靈活地在不同類型的三角形中畫出正確的高。

三、實踐

（一）重視聯(lián)系的觀點在幾何概念建構中的運用

1.新概念和舊概念之間的聯(lián)系

很多幾何概念都可被看成所謂的感知性對象，即經驗抽象的直接結果，具有豐富性和多樣性的特點，不僅涉及多個維度，而且涉及的每個維度都具有十分豐富的內容，因此教師在幾何概念的教學中應重點突出概念之間的聯(lián)系性。教師不應將概念看成是互不相關的，而是應當通過深入揭示它們的內在聯(lián)系，幫助學生建立起網絡式結構的整體概念圖象。在學習三角形的高之前，學生已經掌握了“過直線外一點，畫已知直線的垂線”的方法，以及理解了點到直線的距離的概念。因此在指出三角形的高的定義后，教師可將三角形的兩條邊隱去，幫助學生將三角形的高和之前學過的“過直線外一點，畫已知直線的垂線”知識點聯(lián)系起來（如圖2）。

在教學不同的三角形的高時，教師也可以通過移動其中一個頂點來改變三角形的形狀（如圖3），從而將不同類型的三角形聯(lián)系到一起，在對比聯(lián)系中幫助學生更好地掌握不同類型三角形的高的區(qū)別。

2.日常知識、思維方式與數(shù)學知識、思維方式之間的聯(lián)系

學生在日常生活中已經積累了一定的相關知識及經驗，形成了一定的思維習慣和方式，這與數(shù)學中的知識和思維方式有很大的不同。教師處理好日常知識、思維方式與數(shù)學知識、思維方式之間的關系，能幫助學生理解數(shù)學概念。在學習三角形的高之前，學生已經在生活中接觸到了很多關于高的信息，比如一棵樹的高、一幢樓的高、一個人的身高等。因此教師在教學時，要發(fā)揮日常知識和思維方式在數(shù)學學習中的積極作用，從學生熟悉的事物出發(fā)進行情境創(chuàng)設。

比如，教師可以創(chuàng)設三角形木板在軌道上滑行的情境，并問學生：“這塊三角形木板在軌道上水平滑行，前方遇到了一條窄縫，它可以怎樣通過呢？”接著引導學生翻轉三角形木板，探究三角形木板能順利通過窄縫的擺放方式。三角形木板能不能通過窄縫與其高度有關，這時數(shù)學中的高和日常生活中的高給學生的感覺是一致的，都是指從上到下的垂直距離，學生很快就能感受到當三角形木板的頂點到對應底邊的垂直高度小于窄縫高度時，它才能通過。而三角形木板有3條這樣的垂直線段，學生可以通過操作改變三角形木板的放置方式，使其順利通過，從而感受到三角形3條高之間位置不同但本質相同。通過這樣的教學方式，教師使得三角形的高與日常生活中的高深刻且生動地聯(lián)系在了一起。

在面臨數(shù)學概念的教學任務時，教師應當仔細研究學生在日常生活中是否已經用到了這一概念，并弄清日常生活中的概念與數(shù)學中的概念之間的關系，設置具體的情境引導學生感知具體的概念，由日常思維過渡到數(shù)學思維。

（二）明確幾何概念與日常概念在幾何概念建構中的區(qū)別

教師不應該讓學生停留于經驗的認識，特別是依賴相關概念的現(xiàn)實原型或直觀表象去理解概念，而是應該幫助學生認識到課堂上研究的概念是抽象思維的產物。因此教師在幾何概念的教學中應當高度重視幾何概念與相應日常概念之間的明確區(qū)別。例如，要讓學生明確三角形中的高不能簡單地等同于日常生活中的高，我們在日常生活中所感知的高往往是豎直的，且大多數(shù)指的是高度或是一種形容，而數(shù)學中三角形的高指的是頂點到對邊的垂直線段。幫助學生厘清二者之間的區(qū)別有利于幫助學生由對概念的粗糙理解轉向深度理解。

（三）關注多元表征在幾何概念建構中的應用

不同表征能幫助學生理解相關的幾何概念，當學生能在不同表征之間建立聯(lián)系和進行相互轉化時，便可以說是理解了數(shù)學的相關概念。

1.實物表征

小學生的思維主要以具體形象思維為主，需要對現(xiàn)實事物進行直接觀察和接觸來獲得表象認知。因此教師在教學中應借助直觀教具，幫助學生理解、掌握相關概念的本質。在“三角形的高”一課的教學中，教師可以借助實物進行操作。如用硬紙板制作三角形，要求學生翻轉和觀察三角形，保證三角形一條邊與水平面重合，讓學生直接感知到三角形不同的邊所對應的高也是不同的。此外，教師還可以在三角形紙板上畫出某條高，不停轉動該三角形紙板，讓學生看到不管三角形底邊位置怎么變，其對應的高都是不變的，二者始終是互相垂直的關系。這種實物演示帶給學生的感知是更直接、更有效的，教師在讓學生利用實物進行操作的過程中，要引導學生從“動手”轉變到“動腦”，充分認知相關概念。

2.圖形表征

基于小學生的認知特點，教師在教學中應重視圖形直觀認知教學。教師在教學三角形的高時，可以給學生提供大量的生活中的高的圖片（如圖4），以便喚醒學生對于高的認知。

此外，教師要注重利用圖形變式來幫助學生深度理解數(shù)學中的高的概念（如圖5），讓學生意識到斜高與豎直的高的區(qū)別與關聯(lián)。教師通過各種圖形表征來使得抽象的高變得形象具體，使得內隱的高的概念變得直觀可感，從而幫助學生真正理解三角形的高的概念。

3.語言表征

教師要鼓勵學生表達自己的想法，對學生的非正規(guī)解讀持寬容的態(tài)度，而不是直接予以否定。不同的學生在表述三角形的高時往往不同，教師應能正確解讀學生的多樣表達，并幫助學生更好地解讀，讓學生由原先的非正規(guī)解讀向正規(guī)解讀過渡，在尊重學生想法的基礎上維護數(shù)學概念的正規(guī)意義。

（四）凸顯抽象思維與具體思維在幾何概念建構中的相互轉換

學習幾何一定要善于想象或者進一步抽象，因為幾何的研究對象不是黑板上畫的圖形，也不是手里拿的實物，而是一般意義上的圖形，是抽象出來的概念。比如在前面的例子中，三角形木板在軌道上水平滑行遇到了一條窄縫，它如何能通過隧道，這個問題學生憑借生活經驗是能解決的，這是具體思維的體現(xiàn)。但能過或者不能過與三角形的高有著怎樣的聯(lián)系，這個問題就涉及抽象思維。教師可以通過操作活動幫助學生從生活中具體的高抽象出三角形的高，從而獲得需要研究的數(shù)學對象，凸顯抽象思維與具體思維在幾何概念建構中的相互轉換。

結語

幾何概念是人們對于經驗世界進行抽象的產物，并不存在于生活中，比如我們在現(xiàn)實生活中并不能看到真正的圓或者三角形的高。幾何概念對于以形象直觀思維為主的小學生來說無疑是難以理解和建構的，因此教師的有效指導就顯得尤為重要。教師要基于學生的生活經驗和認知特點，立足數(shù)學本質，從學生容易理解的生活情境出發(fā)，更好地幫助學生深度理解幾何概念。

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