數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)解題中的運用探究

劉思宇

【摘? 要】數(shù)學(xué)是一門關(guān)于空間形態(tài)與數(shù)量關(guān)系的學(xué)科，是描述自然和社會規(guī)律的一種科學(xué)，數(shù)學(xué)知識是一種非常有用的工具，但數(shù)學(xué)知識并不局限于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，而是要提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，這兩者聯(lián)系在一起，就是數(shù)形結(jié)合的思維方式。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合;初中數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)是一種非常合理的科學(xué)，它涉及大量的空間形態(tài)，它的終極目標是讓學(xué)生在現(xiàn)實中運用數(shù)學(xué)，解決現(xiàn)實中的問題，而數(shù)學(xué)思維則是控制數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，它是學(xué)生在現(xiàn)實中解決問題的關(guān)鍵。數(shù)形結(jié)合思想能夠?qū)⒎彪s的問題簡單化。

一、數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方式在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的意義

數(shù)與形是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是對客觀事物的抽象和反射，是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，目前初中數(shù)學(xué)課程的“數(shù)與代數(shù)”“數(shù)與幾何”“統(tǒng)計與概率”“綜合與實踐”四大部分，都離不開“數(shù)”和“形”。

初中教學(xué)過程中滲透數(shù)形結(jié)合的思想是實現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)面向全體學(xué)生的重要內(nèi)容，數(shù)形結(jié)合是一種行之有效的數(shù)學(xué)教育方式，在數(shù)學(xué)發(fā)展史上有著卓越的成績和巨大的貢獻。中國著名數(shù)學(xué)家祖沖之，將割圓與運算相結(jié)合，將圓周率推算至小數(shù)點后7位數(shù)，這是在沒有現(xiàn)代計算機技術(shù)之前，數(shù)學(xué)史上的一項了不起的成就。阿基米德用浴缸中的王冠，終于研究出了一種新的平衡，這是一種形式上的數(shù)字和形的結(jié)合，它不僅解決了許多著名的數(shù)學(xué)問題，還極大地推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展。

初中教學(xué)過程中滲透數(shù)形結(jié)合的思想是素質(zhì)教育的重要內(nèi)容，數(shù)形與思維相融是數(shù)理思維方式中的一種，在不同的階段都有反映，顯示出了其重要性，初中是從小學(xué)到中學(xué)的過渡時期，中學(xué)的數(shù)學(xué)水平將會對學(xué)生中學(xué)乃至未來的學(xué)習(xí)產(chǎn)生很大的影響。所以，數(shù)形結(jié)合的思維方式是一種很好的教學(xué)手段。

初中教學(xué)過程中滲透數(shù)形結(jié)合的思想是提倡高效課堂的需要。教師在平時的教學(xué)過程中，必須對課堂的質(zhì)量給予足夠的關(guān)注，而要提高教學(xué)質(zhì)量，必須要有一支優(yōu)秀的教師隊伍。在教學(xué)過程中，教師要緊緊跟隨教材的培養(yǎng)目標，使其能夠順利地完成教學(xué)任務(wù)，并在此基礎(chǔ)上，充分發(fā)揮其潛能，激發(fā)學(xué)生數(shù)理思維。

初中教學(xué)過程中滲透數(shù)形結(jié)合的思想可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。對學(xué)生來說，數(shù)學(xué)教育的首要目的是培養(yǎng)他們的學(xué)習(xí)習(xí)慣，培養(yǎng)他們的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維，提高他們的數(shù)學(xué)能力。而數(shù)與形的結(jié)合，在激發(fā)學(xué)生的數(shù)理思維、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣等方面起到了很大的作用。在教學(xué)過程中，把數(shù)形結(jié)合的思維與教學(xué)內(nèi)容有機地結(jié)合起來，不僅可以減少教學(xué)的負擔(dān)，而且使知識以更加直觀的形式呈現(xiàn)，有利于學(xué)生的理解與學(xué)習(xí)。

要增強分析問題的能力和解決問題的靈活程度，也必須讓學(xué)生充分認識數(shù)形結(jié)合的思想。對于一個學(xué)生來說，如何將自己所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識運用到實際應(yīng)用中，是一件很困難的事情，誰都知道，學(xué)生的思維還很簡單，行動能力較差，思維也比較懶散，所以，要養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和邏輯思考能力，就更難了。運用數(shù)形結(jié)合的思維，可以使問題變得簡潔、明了，使學(xué)生更好地掌握題的含義和考試內(nèi)容，提高解題技巧，使學(xué)生更好地解決問題。綜上所述，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)發(fā)展中的一項重要理念，它在現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育中具有舉足輕重的地位。將數(shù)形結(jié)合的思想引入到學(xué)習(xí)中，可以有效地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，提高他們的解題能力，同時也可以促進他們的數(shù)理思考，從而促進他們的數(shù)學(xué)思維系統(tǒng)的形成。

二、數(shù)形結(jié)合的思想方法在解決問題中的運用

（一）數(shù)形結(jié)合思想方法在實數(shù)中的運用

數(shù)與形的結(jié)合，始終堅持從“數(shù)”與“形”兩個層面來剖析問題的本質(zhì)，例如，函數(shù)對應(yīng)的圖像、實數(shù)與數(shù)軸，要從現(xiàn)有圖像的特性中分析對應(yīng)的代數(shù)特性，就必須采用“數(shù)形結(jié)合”的形象思維;而把代數(shù)問題轉(zhuǎn)換為對應(yīng)的幾何問題，就必須把形象思維與創(chuàng)造性思維有機地結(jié)合起來，從而達到“數(shù)形結(jié)合”的目的。

（二）數(shù)形結(jié)合的思想在整式中的運用

數(shù)形結(jié)合有助于學(xué)生理解知識的本質(zhì)，學(xué)生在學(xué)習(xí)知識時，常常無法理解知識的本質(zhì)，但是，通過數(shù)字和圖形的結(jié)合，可以讓學(xué)生認識到知識的本質(zhì)。例如，學(xué)生在學(xué)習(xí)方程式的性質(zhì)時，若將“等式”與“不等式”的性質(zhì)告知給學(xué)生，則會使他們機械地記憶，而無法明白其中的緣由。在這種情況下，教師可以用“平衡”的實例引導(dǎo)學(xué)生將其理解為等式，并以此來描述其特性，從而幫助學(xué)生內(nèi)化知識。

（三）數(shù)形結(jié)合的思想方法在平面直角坐標系中的運用

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，由于采用了平面直角坐標系，建立了數(shù)與形的連接，從而使我們能夠利用幾何學(xué)的方法來研究代數(shù)問題，同時也能用代數(shù)的方法來研究。

（四）數(shù)形結(jié)合的思想在方程（組）中的運用

將數(shù)字與思維相結(jié)合，最重要的是建立相應(yīng)的一次函數(shù)，然后通過一次函數(shù)的圖像來解釋。圖像的解法通常不能很方便地解決問題，并且由于圖像的錯誤，通常會使解的結(jié)果不精確。在日常生活中，類似這樣的直接解題方式也很常見，是一種很重要的技能，所以我們要注意學(xué)習(xí)和運用數(shù)形結(jié)合思維來解決問題。

（五）數(shù)形結(jié)合的思想方法在不等式中的運用

數(shù)形組合是一種思維的方法，雖然有時效果不佳，但是卻可以作為一種方法，找到一個問題的答案。對于一元二次方程的求解，這個問題在解決了代數(shù)問題后，又進行了一次新的研究。轉(zhuǎn)換思維，找到了解決問題的新思路，把二次方程和二次函數(shù)聯(lián)系在一起，把二次方程的根看成是二次函數(shù)和軸線的交叉點。

（六）數(shù)形結(jié)合的思想方法在函數(shù)中的運用

“數(shù)”與“形”相結(jié)合的思維方式，能極大地豐富學(xué)生的“數(shù)學(xué)表象”。數(shù)字與圖形相結(jié)合的思維方式，通過對表象的積累，推動形象思維的發(fā)展。所有的定理都以圖形的形式為依據(jù)，而在求解問題時，往往會先從定義開始;在實際操作中，許多問題都是通過圖表的方式轉(zhuǎn)化成了推理的線索和載體。在教學(xué)中，教師要從概念的建立、定理的證明、解的過程中，認真地發(fā)掘形象思維的知識，并以數(shù)字的形式結(jié)合，增強學(xué)生的表象能力。

（七）數(shù)形結(jié)合的思想方法在勾股定理中的運用

首先，教師將著名的畢達哥拉斯公式圖展示在大熒幕上，讓學(xué)生看圖中三個方塊組合在一起的面積和三個方塊之間的相互關(guān)系。不管圖片是正方形，還是由三個正方形組成三角形，都需要學(xué)生自己觀察發(fā)現(xiàn)，大部分學(xué)生的思想則是停留在“圖”的階段，教師需要簡單地描述一下畢達哥斯拉在他朋友家里的地板上看到的三個直角三角形而后發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系。在這個故事的啟發(fā)下，學(xué)生在心中建立起了“圖”和“數(shù)”的聯(lián)系，并產(chǎn)生了“數(shù)”的概念。之后，讓學(xué)生再看一遍，并運用數(shù)量關(guān)系來證明三個方塊之間的面積關(guān)系。于是，學(xué)生就用“數(shù)數(shù)法”“割補法”，對三個正方形的面積關(guān)系進行研究，得到了“兩個小正方形的面積之和與大正方形的面積相等”的結(jié)論。在此基礎(chǔ)上，老師在教學(xué)設(shè)計中，引導(dǎo)學(xué)生認識“形”中的“數(shù)”，并根據(jù)“數(shù)”的關(guān)系來判定“形”的種類，并借助課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)的平臺，使數(shù)形融合的思維得以滲透和運用。

（八）數(shù)形結(jié)合的思想在解直角三角形中的運用

在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中要充分應(yīng)用數(shù)、形的概念，將三角函數(shù)的圖形和屬性相結(jié)合，即通過對圖形的直觀分析，得到一個函數(shù)的函數(shù)屬性，或者用一個三角形的函數(shù)，得到一個函數(shù)的屬性。

（九）數(shù)形結(jié)合的思想方法在統(tǒng)計中的運用

數(shù)形組合是數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用最為廣泛的一種教學(xué)手段，它是一種將抽象知識和復(fù)雜知識通俗化、簡單化、生動化的有效途徑。全概率公式是概率論和數(shù)理統(tǒng)計領(lǐng)域的一個重要內(nèi)容，但對于學(xué)生來說，這是一個非常困難的問題。學(xué)生學(xué)習(xí)全概率公式的難點是：不了解其推導(dǎo)過程，不了解其適用的環(huán)境和情況。藉由數(shù)形結(jié)合的直覺思維，使學(xué)生能夠更容易地了解公式的推導(dǎo)過程，進而掌握其運用。

三、在教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想方法的教學(xué)策略

（一）學(xué)生初步感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法

在數(shù)形結(jié)合的思維方式中，“數(shù)”是一種由人的左腦思考而產(chǎn)生的抽象思維;“形”是形象思維的一種，它起源于人類的右腦思考，它是以幾何、圖形、數(shù)字相結(jié)合的思維方式，能夠充分地利用彼此間的關(guān)系;右腦的思維能力是通過兩種不同的方式進行交互作用，從而促進人類的數(shù)學(xué)思維能力的全面、協(xié)調(diào)和深入發(fā)展。

（二）通過對比、運用、合作交流，進一步深化理解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法

利用數(shù)字與圖形的結(jié)合，可以揭示出數(shù)學(xué)的本質(zhì)，幫助學(xué)生認識和接受數(shù)學(xué)的概念，例如，在古代，人們已經(jīng)學(xué)會了用圓心來衡量一個物體的重量，用一個圓心來代表一個物體的重量，用一個圓心代表一個物體的溫度，用一個圓圈代表一個水平線。“度量起點”“度量單位”“確定的增減方向”三種不同的元素，它們的概念可以用一條直線上的點來表達，并在一條線上指定一個原點（測量起點）、長度（測量單位）和方向（確定增加或減少），最終得出一個數(shù)字的坐標。

（三）通過學(xué)生獨立思考和合作交流進一步理解和掌握數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)與形的結(jié)合，可以加深和發(fā)展學(xué)生原有的認識層次，讓他們對數(shù)學(xué)的知識有更深入、更透徹的了解;在表達方法上，學(xué)生會將所有的概念都儲存在自己的腦海中，在學(xué)習(xí)過程中，他們會根據(jù)自己所學(xué)到的知識來儲存知識。問題的癥結(jié)在于對概念的認識太淺薄和表達方法的單一，所以，在實際教學(xué)中，教師要把握好時機，利用數(shù)形結(jié)合的思維，做到引導(dǎo)學(xué)生對概念進行深入全面的挖掘、體驗、反思和評價，從而提高學(xué)生對概念理解的深度。

（四）主動運用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法來解決實際問題

采用數(shù)形組合的數(shù)學(xué)思維方式，逐步進行定量驗證;通過合作探究、推理歸納等方法，發(fā)現(xiàn)問題，并利用課件說明原因，使學(xué)生能夠應(yīng)用數(shù)學(xué)思維解決問題。

隨著素質(zhì)教育的深入，初中數(shù)學(xué)教學(xué)改革的深入，教育不僅僅是傳授知識，更是指導(dǎo)學(xué)生的思考方式，在中學(xué)數(shù)學(xué)中不但要把數(shù)形結(jié)合的思想融入到課堂中，還要運用數(shù)形結(jié)合的多種教學(xué)方式，充分發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的魅力，進一步強化抽象思維和形象思維。讓學(xué)生放棄死記硬背的學(xué)習(xí)方式，讓枯燥的學(xué)習(xí)變得生動，改變學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度，使學(xué)生從被動學(xué)習(xí)向積極學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變。由此提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

【參考文獻】

[1]田琦宇，高陽.數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用研究[J].理科考試研究，2022，29（2）：21-23.

[2]管衛(wèi)偉.數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的若干應(yīng)用[J].新課程，2022（2）：108.

[3]徐建國.數(shù)形結(jié)合法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].文理導(dǎo)航（中旬），2021（12）：8-9.

[4]唐麗.數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2022（6）：31-32.

[5]孔錢發(fā).淺談數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].現(xiàn)代中學(xué)生（初中版），2021（20）：33-34.

[6]胡新宇.數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)解題中的運用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2021（2）：44-45.