新課標下初中學生數(shù)感的培養(yǎng)

盧德天

【摘 ?要】本文從數(shù)感結構的數(shù)、運算、估計、情境四方面入手，結合實例，提出了從數(shù)的認識、數(shù)的運算與估算以及數(shù)感在解決問題中的應用這三個角度，在課堂中滲透數(shù)感思維的數(shù)感培養(yǎng)方法。

【關鍵詞】新課標;數(shù)感;運算;估計

數(shù)感主要是指關于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關系、運算及運算結果估計等方面的感悟，以及運用數(shù)字關系和數(shù)字模式進行推理與解決問題的能力，即在一定程度上能主動地、自覺地理解數(shù)和運用數(shù)的態(tài)度與意識，亦即學會“數(shù)學地”思考。在《義務教育數(shù)學課程標準（2022版）》中指出，在義務教育階段，數(shù)學眼光主要表現(xiàn)為：抽象能力（包括數(shù)感、 量感、符號意識）、幾何直觀、空間觀念與創(chuàng)新意識。

數(shù)的認識是數(shù)學學習的基礎。從認識自然數(shù)，到有理數(shù)、實數(shù)、復數(shù)，我們學習的數(shù)越來越復雜、抽象。但是數(shù)字的學習逃不開對于數(shù)的意義、數(shù)的關系的學習。認識數(shù)、理解數(shù)是良好運用數(shù)字的基礎，也是數(shù)感建立的基礎。

一、數(shù)的認識

在小學，學生認識了基本的自然數(shù)、小數(shù)。學生通常是在豐富的實際生活背景中抽象出數(shù)字的概念。進入初中后，人教版初中數(shù)學第一課是正數(shù)與負數(shù)。在學習新知識“負數(shù)”時，我們也應利用學生熟悉的情境，讓學生覺得負數(shù)的出現(xiàn)是有必要的。

例1：（1）北京冬季里某一天的氣溫為-3℃～3℃?！?3”的含義是什么？這一天北京的溫差是多少？（2）某年，我國花生產量比上一年增長1.8%，油菜籽產量比上一年增長-2.7%，“增長-2.7%”表達什么意思？

本章引言中給出兩個具體的生活實例。溫度是學生熟悉的，產量增長是生產實踐中常用的數(shù)據，都是具體生動的例子。由于生活和生產的需要，產生了新的數(shù)——負數(shù)。其中，-3℃表示零下3攝氏度、增長-2.7%表示減少2.7%。在給出更多的具體例子后，我們能引導學生歸納總結：如果一個問題中出現(xiàn)相反意義的量，我們可以用正數(shù)和負數(shù)分別表示它們。

上述的案例中，學生通過對現(xiàn)實世界中數(shù)量關系的觀察，理解負數(shù)的現(xiàn)實背景和產生的必要性，也能感受到數(shù)學來源于生活，生活中處處有數(shù)學。

認識數(shù)字后，學生要意識到數(shù)字不是孤立的，學生要懂得尋找數(shù)字之間的關聯(lián)。進入初中后，數(shù)的范圍擴大到了實數(shù)。因此，每個數(shù)字都有所屬的集合。

例2：屬于下列哪個集合（ ? ）。

A.分數(shù)集合 ? ?B.無理數(shù)集合 ? ? C.正數(shù)集合

經過測試，50名初三學生中有32名學生選擇B、C，6名學生選擇A、C，10名學生選擇B，2名學生選擇C。對于單獨選B的學生，可以認為是沒想到題目多選，審題時只看了B就選了。問題是6名選擇A、C的學生，經過提問了解到，學生認為的分母為3，分子為，因此很疑惑為什么不為分數(shù)。這體現(xiàn)學生對于數(shù)字的概念理解不扎實或遺忘。課堂上應回顧概念：既約分數(shù)的分子與分母應都是整數(shù)，分數(shù)可以化為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù);而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此兩個概念之間是互斥的。而是無限不循環(huán)小數(shù)，因此它不為分數(shù)，是無理數(shù)。數(shù)的分類是數(shù)的概念的理解與應用，也是數(shù)與數(shù)之間關系的第一部分。

再者，兩個數(shù)字之間的關系有：①相等與不等關系;②相反數(shù)、倒數(shù)等關系;③平方與算術平方根等關系。數(shù)的相等關系也體現(xiàn)了同一個數(shù)的不同表示法，例如0.5==50%;數(shù)的不等關系就是比大小，在初中學習了正負數(shù)后，我們引入數(shù)軸這一工具。在實數(shù)章節(jié)，我們認識到數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應。因此不僅可以用數(shù)軸上的點表示所有的實數(shù)，還能借助數(shù)軸比大小、學習數(shù)的加減法、理解數(shù)的絕對值相反數(shù)等概念。數(shù)軸將抽象的實數(shù)具體地展現(xiàn)在學生面前。

例3：在數(shù)軸上畫出表示的點。

表示整數(shù)、分數(shù)對學生來說是相對簡單的，而表示如的二次根式，學生需要利用勾股定理，構造直角邊為2，3的直角三角形，得到斜邊為，從而用圓規(guī)在數(shù)軸上截出。這一結果也讓學生直觀感受到，是真實存在的數(shù)，是可以在數(shù)軸上表示出來的，它就在3，4之間，因此3<<4，甚至可以用二分法逼近得到3.5<<4，進而逐步求它的近似值。這些過程都可以加深學生對無理數(shù)的認識，發(fā)展學生的數(shù)感。

數(shù)的意義與關系是學習數(shù)的重點，認識數(shù)的概念，理解實際問題中的數(shù)量關系，是發(fā)展數(shù)感的關鍵，也是靈活運用數(shù)的基礎。

二、數(shù)的運算與估算

數(shù)感的應用首先是運算，所有復雜的運算都是由基本的運算復合而成的。學生依次學習了加減乘除、乘方、開方等運算，對于運算的靈活運用建立在對于運算符號的理解上。如果沒法理解根號的意義，那么就沒法求出的值。因此，對于每一個運算，學生都要掌握：這個運算的目的是什么;為什么這個情境下要使用這個運算;這個算式表達的意思是什么;這個運算的結果會是怎樣，即預測運算結果的范圍以及判斷結果的合理性。

例4：|-2|+2sin30°-（？仔-1）0

初三學生在面對本題時，50名學生中41名學生得到正確答案，其余9名學生的錯因體現(xiàn)在：①7人對三角函數(shù)符號的理解有誤;②2人絕對值運算出錯。在與7名學生詢問錯因時，得到一個啼笑皆非的說法：當天sin30°的符號在打印時，打印成sin300。學生在同一個題目中看到sin300與（？仔-1）0，反復對比打印的結果，認為sin30°表達的是sin30的0次方。一個打印的失誤暴露了學生對符號理解得不深刻。在學習三角函數(shù)時，學生有學習sin230°的記號，當時已經認識到這個記號表達的是sin30°這個數(shù)的平方，等于。聯(lián)想學習下，sin30°的0次方應該寫作sin030°。若老師們從更高的視角來看，高中學習了弧度制和角度制后，sin30°與sin30的含義是截然不同的。

上述案例告訴我們，數(shù)學運算許多時候以數(shù)學符號為載體，因此正確計算的前提，是對運算符號、運算法則、運算律的正確理解。

一直以來，我們習慣于教導學生分析題目條件，匹配相應解題思路，套用公式，得到唯一而準確的答案。然而估算思想卻是數(shù)感概念中不可或缺的一部分。估算，或叫作計算的感覺能力，是指個體懂得什么情況宜于估計而不必作精確計算，并會加以應用，特別適用于解決日常實際問題和判斷一些計算結果的合理性。在《義務教育課程標準（2022版）》中指出：“在實際情境中，運用數(shù)和數(shù)的運算解決問題;在解決實際問題的過程中，能結合具體情境，選擇合適的單位進行簡單估算，體會估算在生活中的作用”。估算的思想，在過去的數(shù)學課程中并沒有得到太多的重視，然而，估算思想在許多時候能幫助人們快速解決問題。人教版七年級下第六章實數(shù)的數(shù)學活動2中，給出數(shù)學家華羅庚的故事。

例5：據說，我國著名數(shù)學家華羅庚在一次出國訪問途中，看到鄰座閱讀的雜志上的智力題：一個數(shù)是59319，求它的立方根。華羅庚脫口而出：39，乘客很驚奇，問計算技巧。

作為一個智力題，大多時候我們是不能硬算的，得借助一些技巧，例如估算。由103<59319<1003，可得10<<100，故是兩位數(shù);由59319的個位數(shù)字上是9，將0到9的所有數(shù)的立方都計算后可知，只有9的立方個位數(shù)字是9，因此的個位上的數(shù)是9;忽略59319中的后三位，考慮到由27000<59000<64000，可得30<<40，能估算出的十位上的數(shù)是3，因此在默認59319為完全立方數(shù)的前提下，能確認=39。

老師在平時就要創(chuàng)造讓學生估算的機會，讓學生把握好使用估算的場合，優(yōu)化估算的技巧。在掌握了基本解題思路的基礎上，要有意識乃至無意識地去找尋條件及結論中關于數(shù)字的特征、規(guī)律，并進行總結、實證，培養(yǎng)自己面對數(shù)字的感覺。并通過多次練習、反復驗證，磨練、強化這種直覺及信心。

三、數(shù)感在解決問題中的應用

數(shù)學來源于生活，應用于生活，最終要高于生活。數(shù)感從情境中來，并最終運用于情境的分析和構建上。情境綜合了數(shù)、運算、估計三個方面的學習。在解決一個實際情境的問題時，既包括了對情境中數(shù)量關系的理解和表述，也包括了運算及對運算結果的估計。

例6.小明到學校旁的文具店買自動筆和圓珠筆。圓珠筆295元一支，自動筆1.50元一支。小明帶了12元錢，他想買3支圓珠筆和1支自動筆，能買成么？

還沒看完題目，學生就會嚷嚷著說題目打印錯誤了！普通的圓珠筆不可能295元一支。老師可以追問，那同學們認為應該是多少錢一支呢？學生回答應該是2.95元一支。這就是數(shù)感良好的反應，學生能判斷情境中數(shù)據的合理性。題目更改數(shù)據后，學生可以從兩個角度解決問題：①直接計算購買3支圓珠筆和1支自動筆需要的錢數(shù)為10.35元，比較發(fā)現(xiàn)10.35<12，所以能買成。該方法是直接計算，會遇到2.95×3+1.5的運算，有一點運算量，但能接受。②一些學生會說：“一支圓珠筆不到3元，三支就是9元不到，加上一支2元不到的自動筆，不到12元，可以買成?！痹搶W生的回答用到了估計的策略，等價于設圓珠筆的價格為x元/支，自動筆的價格為y元/支，由x<3y<2得到3x+y<12，從而避開較復雜的計算，解決問題。在此，估算的思想方法一定程度上有簡便的效果。

當然，估算也有其局限性，不一定適用于所有

情況。

例如，老師將題目更改：“圓珠筆2.85元一支，自動筆1.45元一支，小明帶了10元錢在身上，他想買3支圓珠筆和1支自動筆，能買成么？”

實際上，由于2.85×3+1.45=10，此時小明剛剛好能夠用10元錢買下3支圓珠筆和1支自動筆，不過，此時上述的估算思路就不適用了：3支圓珠筆9元不到，加上1.45的自動筆，總價不到10.45元，但是不代表此時的總價格就會超過10元，因此本題不適合用估算，只能踏踏實實地硬算。

在情境中討論問題能讓學生綜合調動閱讀能力、分析能力、建模意識，一些開放性較強的題目也能讓學生發(fā)散思維，用多種辦法解決問題。在上述問題的解決和變式過程中，學生能體驗到良好的數(shù)感能尋找更快捷更合適的問題解決路徑，也能逐漸學會在生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學，并將所學數(shù)學知識應用于生活中。

四、結束語

數(shù)感作為數(shù)學抽象能力中最基礎的一環(huán)，是解決代數(shù)問題以及實際問題的基礎。數(shù)感的培養(yǎng)讓學生學會初步地用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界，掌握運用數(shù)字關系和數(shù)字模式進行推理與解決問題的能力。因此，需要教師從認識數(shù)的定義，到數(shù)的運算估算，最后實際應用三個環(huán)節(jié)給學生以幫助。在平時的課堂教學、課后作業(yè)設置，甚至于在日常生活的點滴細節(jié)上，都應該多給學生機會感知數(shù)與數(shù)量關系的存在并用以解決問題。

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部. 義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022：5-9.