“逐差法”和“兩段法”研究勻變速直線運動的拓展應(yīng)用

王帥 劉德全

[摘 要]實驗是高中物理教學的重要內(nèi)容，每年高考必考。而紙帶上數(shù)據(jù)的處理，常出現(xiàn)在高考試題中，學生在處理這類問題時容易出錯。為了有效提高學生處理紙帶類實驗數(shù)據(jù)的能力，文章先簡單介紹“逐差法”和“兩段法”的原理，然后將“逐差法”與“兩段法”進行對比分析，最后結(jié)合兩道高考題探討“逐差法”和“兩段法”的拓展應(yīng)用。

[關(guān)鍵詞]逐差法;兩段法;實驗誤差

[中圖分類號]? ? G633.7? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2022）11-0047-03

高中物理實驗強調(diào)培養(yǎng)學生應(yīng)用所學的實驗原理、方法解決實際問題的能力，要求學生學會收集和處理信息，并科學地處理實驗數(shù)據(jù)，從而得出結(jié)論。高中階段，處理打點計時器打出的紙帶上的數(shù)據(jù)很重要，學生應(yīng)當熟練掌握并靈活運用相應(yīng)的處理實驗數(shù)據(jù)的方法。處理紙帶數(shù)據(jù)的常用方法有加權(quán)平均法、逐差法等。

對于探究小車速度隨時間變化規(guī)律的實驗，主要目的是確定小車運動過程中的加速度不變，并測定其大小。實驗中，運動的小車通過定滑輪連接紙帶，打點計時器在紙帶上打出一系列的點，通過研究這一系列的點之間的距離，就可以有效研究小車的運動情況。為了有效考查學生處理實驗數(shù)據(jù)的能力，有時高考物理實驗題，會以打點計時器為素材進行命題。

一、“逐差法”和“兩段法”分析

“逐差法”求加速度[a]，目的是解決“連差法——相連計數(shù)點間距相減”中存在的實驗數(shù)據(jù)遺漏，而造成計算誤差的問題。但“逐差法”也有不足，就是計算較麻煩。“兩段法”就是把所有數(shù)據(jù)分成前后兩部分，若總段為奇數(shù)段，則一般舍去中間段，兩段取差比上[nT2]直接求加速度[a]，計算簡便準確。同時“兩段法”也能更好地利用所有數(shù)據(jù)。

“兩段法”的原理也是公式[Δs=aT2]，但可以避免“逐差法”的繁雜運算，降低理解難度，有效減小誤差，因此在刻度尺適用的情況下，建議采用“兩段法”。

（一）“逐差法”的原理分析

在處理“測定勻變速直線運動的加速度”實驗數(shù)據(jù)時，常用“逐差法”求加速度[a]，目的是有效利用所有數(shù)據(jù)。

如果物體做勻變速直線運動，加速度是[a]， 則在各個連續(xù)相等時間間隔[T]里的位移分別是[s1]、[s2]、…、[s6]，如圖1所示。

[s4-s1=（s4-s3）+（s3-s2）+（s2-s1）=3aT2]，同樣利用公式[Δs=aT2]可得：

[s5-s2=s6-s3=3aT2]

如果已測得的各段位移是[s1]、[s2]、…、[s6]，則可求出：

[a1=s4-s13T2]，[a2=s5-s23T2]，[a3=s6-s33T2]

[a=a1+a2+a33=s6+s5+s4-s3-s2-s19T2]所以[a]是[a1]、[a2]、[a3]的平均值。

這樣得出的結(jié)果就是勻變速直線運動的加速度。

在處理實驗數(shù)據(jù)的過程中，測量的各組數(shù)據(jù)[s1]、[s2]、…、[s6]全部都用到了，沒有遺漏，避免了“連差法”只用到[s1]和[s6]兩組數(shù)據(jù)，而遺漏中間四組數(shù)據(jù)的現(xiàn)象。因此，用“逐差法”處理紙帶上，數(shù)據(jù)可以有效減小實驗誤差。

（二）“兩段法”的原理分析

“兩段法”就是把圖1所示紙帶的6段位移分成段數(shù)相同的前后部分，即[sⅠ]和[sⅡ]，則[sⅠ]或[sⅡ]是時間間隔[T′=3T]里的位移，如圖2所示。

由[sⅡ-sⅠ=aT′2]，可得：

[a=sⅡ-sΙT'2=s6+s5+s4-s3-s2-s19T2]

這樣，避免了“逐差法”多次運算求多個a，還需要再次求這些a的平均值的繁雜運算，使得計算簡捷，但結(jié)果相同，達到異曲同工的效果。物理知識在于活學活用，“相等時間內(nèi)的位移”中“相等時間”的長度可任意選取，甚至是不連續(xù)的“相等時間間隔”，更不必局限在打點計時器留下的點跡時間間隔[T]。能用“逐差法”解決的，用“兩段法”效果更好。

二、“逐差法”與“兩段法”對比分析

（一）“逐差法”相對“兩段法”更難理解

“逐差法”的基本實驗原理是[Δs=aT2]，還需要結(jié)合加權(quán)平均法進行運算，測量繁雜，計算難度大。結(jié)果是學生不知道用哪種計算方法。而“兩段法”中選取相鄰的兩段，恰好符合[Δs=aT2]，測量簡便，計算簡單，前提是刻度尺滿足“兩段法”的要求。

（二）“逐差法”增加了測量難度，增大了測量的偶然誤差

“逐差法”一般會把紙帶分為6段，甚至更多，因為每段的長度較短，所以對于精確度一定的刻度尺來講，測量越短意味著測量次數(shù)越多，測量的偶然性越大。多段測量必然增加測量次數(shù)，使學生產(chǎn)生“多次測量求平均值可以減小誤差”的錯覺，對學生思維產(chǎn)生誤導，不利于學生科學思維的培養(yǎng)。在測量工具允許的情況下，“兩段法”只需要測量兩段，可以多次測量，減小偶然誤差。

（三）在處理奇數(shù)段紙帶問題時，“兩段法”更有優(yōu)勢

“逐差法”處理奇數(shù)段紙帶問題時，常常采取舍去“中間段”或者“最小段”的辦法，學生糾結(jié)于取舍，浪費時間和精力。“兩段法”則可以靈活運用，可以是連續(xù)相鄰的兩段，也可以是間隔或者重疊的兩段，可達到減小誤差的效果。

（四）“逐差法”相對“兩段法”增加了相對誤差

在測量過程中我們大都使用毫米刻度尺，同一把尺子測量的長度越大，越接近它的量程，則測量的相對誤差越小;反之，測量的長度越小，相對誤差會越大。

原理是在測量過程中，每次測量的絕對誤差最大值對應(yīng)著刻度尺的精確度，也就是最小分度值。以毫米刻度尺為例，如果測量1 cm和10 cm兩個長度，測量的絕對誤差都是1 mm，相對測量1 cm來講，測量的相對誤差為10%，而對測量10 cm的長度來說，測量的相對誤差只有1%。顯然用同一把刻度尺測量長度時，測量的長度越短，相對誤差越大。

“逐差法”相對“兩段法”測量長度變短，增加了測量的相對誤差，不會減小實驗誤差，而“兩段法”則可以減小相對誤差。

三、數(shù)據(jù)處理方法拓展應(yīng)用

隨著教學改革、考試改革的不斷深化，高考物理試題，不會是簡單直接地考查知識點或物理思想方法，而是要求學生靈活地將所學的物理思想方法遷移運用到新情境中，解決新問題。紙帶類數(shù)據(jù)處理問題也一樣，要求學生能夠靈活地將數(shù)據(jù)處理方法遷移運用到新情境中，解決實際問題。

[例1]（2021年高考全國甲卷物理試卷第9題）為測量小銅塊與瓷磚表面間的動摩擦因數(shù)，一同學將貼有標尺的瓷磚的一端放在水平桌面上，形成一傾角為[α]的斜面（已知[sinα=0.34]，[cosα=0.94]），小銅塊可在斜面上加速下滑，如圖3所示。該同學用手機拍攝小銅塊的下滑過程，然后解析視頻記錄的圖像，獲得5個連續(xù)相等時間間隔（每個時間間隔[ΔT=0.20 s]）內(nèi)小銅塊沿斜面下滑的距離si（[i]=1，2，3，4，5），如下表所示。

[[s1] [s2] [s3] [s4] [s5] 5.87 cm 7.58 cm 9.31 cm 11.02 cm 12.74 cm ]

由表中數(shù)據(jù)可得，小銅塊沿斜面下滑的加速度大小是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?m/s2，小銅塊與瓷磚表面間的動摩擦因數(shù)為? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。（結(jié)果均保留2位有效數(shù)字，重力加速度大小取9.80 m/s2）

答案 ：0.430.32

解析：由兩段法和[Δs=aT2]，解得小銅塊沿斜面下滑的加速度大小為[a=（s5+s4）-（s2+s1）6（ΔT）2=0.43 （m/s2） ]，由牛頓第二定律可知[mgsinα-μmgcosα=ma]，解得小銅塊與瓷磚表面間的動摩擦因數(shù)為[μ=0.32]。

點評：本題以實驗測量摩擦系數(shù)為背景，設(shè)計了斜面上問題的受力分析，考查了基本知識和關(guān)鍵能力?！凹垘А边x取了奇數(shù)段，對“逐差法”的選擇產(chǎn)生一定影響，增加了計算難度，在惜時如金的高考中，不免會產(chǎn)生爭議。但從實際能力考查來看，確實起到一定的區(qū)分作用。從運算效果來看，本題僅僅選取第一、二段或者第三、四段，運用“逐差法”計算，結(jié)果相同，命題人巧妙地避開了爭議;當然舍去最小段或中間段時，再運用“逐差法”加平均計算，也會得出同樣結(jié)果。而用“兩段法”計算是最佳選擇，它降低了“逐差法”中要考慮舍棄哪段的困難，減少了計算量。

[例2]（2021年高考全國乙卷物理試卷第9題）某同學利用圖4（a）所示裝置研究平拋運動的規(guī)律。實驗時該同學使用頻閃儀和照相機對做平拋運動的小球進行拍攝，頻閃儀每隔[0.05 s]發(fā)出一次閃光，某次拍攝后得到的照片如圖4（b）所示（圖中未包括小球剛離開軌道的影像）。圖中的背景是放在豎直平面內(nèi)的帶有方格的紙板，紙板與小球軌跡所在平面平行，其上每個方格的邊長為[5 cm]。該同學在實驗中測得的小球影像的高度差已經(jīng)在圖4（b）中標出。

完成下列填空：（結(jié)果均保留2位有效數(shù)字）

（1）小球運動到圖4（b）中位置A時，其速度的水平分量大小為? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[m/s]，豎直分量大小為? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[m/s];

（2）根據(jù)圖4（b）中數(shù)據(jù)可得，當?shù)刂亓铀俣鹊拇笮? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[m/s2]。

解析：（1）①因小球在水平方向做勻速直線運動，因此速度為：

[v0=xt=0.050.05 m/s=1.0 m/s]

②豎直方向做自由落體運動，因此[A]點的豎直速度可由“平均速度等于時間中點的瞬時速度”求得：

[vy=8×5×10-20.05×4 m/s=2.0 m/s]

（2）由豎直方向的自由落體運動可得：

[g=y3+y4-y2-y14T2]，代入數(shù)據(jù)可得[g=9.7 m/s2]

點評：本題以研究平拋運動為背景，考查運動的分解，通過豎直方向的自由落體運動測量當?shù)刂亓铀俣?，考查學生的遷移和應(yīng)用能力。針對高中物理力學實驗中有關(guān)“打點計時器類”問題，著重考查學生對紙帶數(shù)據(jù)的處理能力。試題看似考點單一，實則對高中物理實驗的幾大要素進行了精準考查。本題考查學生的實驗數(shù)據(jù)處理能力和推理運算能力。要減小偶然誤差，必須盡量利用好多組數(shù)據(jù)，采用“逐差法”水到渠成，當然“兩段法”更為可取。

試題對處理紙帶數(shù)據(jù)也進行了科學設(shè)計。題中所給的四組數(shù)據(jù)，對“逐差法”或者“兩段法”提出明確要求，要求結(jié)果保留兩位有效數(shù)字。對水平分速度和豎直分速度的求解都用到了平均速度，需要學生學會處理勻速直線運動和勻變速直線運動的速度關(guān)系。

以上兩道高考實驗題都屬于典型的紙帶類實驗數(shù)據(jù)的處理問題，可通過勻變速直線運動公式[Δs=aT2]求解加速度。每個實驗都對實驗數(shù)據(jù)進行精細處理，所有數(shù)據(jù)均沒有采取分割測量的操作，落實了回歸實驗本質(zhì)，遵循科學本質(zhì)的素養(yǎng)要求。在量程、精確度均滿足要求的前提下，可以采取“兩段法”求解，從而達到減小實驗誤差的目的。以上兩道實驗題都能達到引導實驗教學，提高學生實驗技能，培養(yǎng)學生運算能力，提升學生創(chuàng)新能力的目的，都是好題。

全國卷是高中物理教學的風向標，是高考評價體系“一核四層四翼”的具體呈現(xiàn)，對高中物理教學起到關(guān)鍵的引領(lǐng)作用，對初高中物理和大學物理的銜接有著深遠的影響。實驗題更能考查結(jié)果學生的綜合能力，好的實驗題會引領(lǐng)學生積極探究，培養(yǎng)學生的思維能力。

綜上所述，在刻度尺適用的條件下，將線段分成兩大段運用公式[Δs=aT2]，選用合適的時間間隔[T]，運用“兩段法”進行計算，可以減輕測量難度，減小測量的相對誤差，減少數(shù)據(jù)處理難度。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 劉大明，江秀梅. 基于“目的+條件”觀全面綜合剖析紙帶問題：以2019年全國卷兩道紙帶實驗題為例[J].中學物理教學參考，2020（9）：56-60.

（責任編輯 易志毅）