以操作助理解

程廣

十進位值制記數(shù)法包括“十進制”與“位值制”兩條原則。這種記數(shù)法的本質特征是省略記數(shù)單位，可以給多位數(shù)的認識和計算帶來根本性的改進。日常教學中，如何幫助學生更好地理解十進位值制記數(shù)法及其價值？如何運用位值制思想幫助學生更好地認識大數(shù)，實現(xiàn)算理、算法的深度理解？本期我們來討論上述問題。

“位值”是一個抽象的概念。能否深刻理解位值制的基本意義，并在此基礎上建構位值模型，直接影響學生對數(shù)的整體認識和對數(shù)的運算原理的理解。筆者結合北師大版數(shù)學教材，談一談如何引導學生整體建構十進位值制。

一、借助實物操作，初步建構位值概念

教師提供可操作的實物輔助學生認識數(shù)，對于學生理解數(shù)的概念十分必要。在教學《古人計數(shù)》（11～20的認識）時，筆者讓學生經歷了由借助小棒數(shù)數(shù)到借助計數(shù)器數(shù)數(shù)的過程，使學生在動手操作中感知位值制，建立初步的位值模型。

課堂上，筆者首先利用課件播放從羊圈里放出11只羊的情景，引導學生擺出11根小棒，并要求學生盡量讓人一眼就能看出擺了多少根。實踐中，有的學生在左邊均勻地擺出10根，在右邊再擺1根;有的學生擺出兩組5根，再加1根;還有的學生把10根聚成一堆或捆成一捆，旁邊再擺1根。筆者一一展示后提問：你覺得哪種擺法能讓人一眼看出是11根？學生回答：把10根捆成一捆、再額外擺1根的方法最容易看出是11根。筆者小結：小棒沒有被捆起來的時候表示10個一，“10個一”捆成1捆后就變成了“1個十”，也就是說，10個一即1個十。接著，筆者讓學生動手操作，將手中的小棒數(shù)一數(shù)、捆一捆、擺一擺，再和同桌交流擺小棒的過程。在捆、說的過程中，學生充分認知到10個一是1個十。然后，筆者引導學生用計數(shù)器表征11。學生呈現(xiàn)以下兩種方法（如下圖）。筆者追問：這兩種撥法，你覺得哪一種是對的？一名學生回答：我覺得方法1是對的，左邊有10顆珠子，右邊有1顆珠子，合起來是11顆珠子。另一名學生反駁：我覺得方法2是對的，因為計數(shù)器上寫著“個位”和“十位”，個位上的1顆珠子代表1個一，十位上用1顆珠子就能代表1個十，而不是用10顆珠子。筆者小結：計數(shù)器十位上的1顆珠子表示1個十，相當于1捆小棒;個位上的1顆珠子表示1個一，相當于1根小棒。最后，筆者提問：計數(shù)器中，同樣是1顆珠子，在不同的數(shù)位上表示的意義一樣嗎？學生回答：不一樣，十位上的1顆珠子表示1個十，個位上的1顆珠子表示1個一。學生明白了數(shù)的位置不同，其意義也不同的道理。

10及10以內數(shù)的學習，學生是運用“一一對應”的思想逐一計數(shù)的，但到了20及20以內數(shù)的認識，學生開始由逐一計數(shù)過渡到按群計數(shù)。教師讓學生通過直觀操作理解“10個一就是1個十”，使學生將1捆小棒與計數(shù)器十位上的1顆珠子對應起來，初步體會位值的含義。

二、由具體到抽象，深化理解位值概念

有了認識20以內數(shù)的學習基礎，在教學100以內數(shù)的認識時，筆者讓學生再次進行直觀操作——撥一撥計數(shù)器，旨在深化學生對位值制的理解。

教材通過“數(shù)豆子”的活動引導學生先撥出28、22等數(shù)，再讓學生撥出99。如何撥出99呢？學生提出先在十位上撥9顆珠子表示9個十，再在個位上撥9顆珠子表示9個一，合起來就是99。筆者追問：兩個“9”的意思一樣嗎？學生分析：十位上的9表示9個十，個位上的9表示9個一，兩個“9”表示的意思不同。筆者追問：如果再增加1個，該怎樣撥？學生不加思索地回答：在個位上再撥1顆珠子。筆者按照學生說的撥出來，并提問：你們有什么發(fā)現(xiàn)？學生思考后回答：個位上再撥1顆后，就有了10個一，10個一是1個十，就要將個位上的10顆珠子撥走，換成十位上的1顆珠子。筆者根據(jù)學生說的進行操作后追問：你們還有什么發(fā)現(xiàn)嗎？學生馬上發(fā)現(xiàn)十位上添上1顆珠子（1個十）后，它與原本的9個十合成了10個十，10個十就是1個百，又要將十位上的10顆珠子撥走，換成百位上的1顆珠子。學生在撥99再加1的過程中弄清了“10個十是100”，進一步體會到“同一個數(shù)字在不同的數(shù)位上表示的意義不同”，深化了對計數(shù)單位及“十進”關系的理解。

后續(xù)教學中，筆者給學生布置了兩道思考題。第一道題是給出兩顆珠子，問學生可以表示哪些數(shù)。學生馬上想到可以表示11。筆者追問這兩顆珠子放在哪里、表示什么。學生回答“1顆珠子放在十位上，表示1個十，另1顆珠子放在個位上，表示1個一，合起來是11”。筆者提示：這兩顆珠子只能這樣放嗎？一名學生說：可以將這兩顆珠子都放在個位上，表示2個一，就是2。另一名學生說：可以將這兩顆珠子都放在十位上，表示2個十，即20。第二道題是給出5顆珠子，問學生可以表示哪些數(shù)。學生有了解決上一題的經驗，分別說出可以表示5、14、23、32、41、50這些數(shù)，并說出了每個數(shù)位上的數(shù)字所表示的意思，內化了位值概念。

三、由簡及繁，整體建構十進位值制

學生有了上述學習基礎，教師在教學“萬以及萬以內數(shù)的認識”時，就可以直接用多媒體呈現(xiàn)計數(shù)器、小方塊的圖像，用抽象的學具引導學生學習新的數(shù)位，進而認識十進制數(shù)位順序表，整理出由一（個）、十、百、千、萬、十萬、百萬等計數(shù)單位組成的計數(shù)系統(tǒng)。

課堂上，筆者借助多媒體一邊引導學生快速、有序地數(shù)出小方塊的個數(shù)，一邊動態(tài)呈現(xiàn)一（個）、十、百、千、萬等計數(shù)單位的形成過程（如下圖）。學生在多次有序數(shù)數(shù)的過程中，自然而然地明白了10個一是十、10個十是一百、10個一百是一千、10個一千是一萬，進一步體會到計數(shù)單位之間的十進關系。

在教學更大的數(shù)時，筆者借助多媒體呈現(xiàn)計數(shù)器，讓學生跟隨撥珠子的動態(tài)過程一萬一萬地數(shù)數(shù)。學生數(shù)到九萬時，筆者追問：九萬之后再數(shù)一萬是多少？有的學生說是十萬，有的學生說是一億。筆者引導：萬位上的9顆珠子表示9個一萬，9個一萬再加一萬就是10個一萬，10個一萬是十萬，不是一億。通過這樣的引導，筆者自然地引出計數(shù)單位“十萬”，并指出計數(shù)器上十萬位的位置。接下來，筆者引導學生運用類比遷移法找出百萬位、千萬位、億位、十億位、百億位、千億位，并與學生一起整理、完善了十進制數(shù)位順序表。學生在操作、分析、整理的過程中將數(shù)級從個級擴充到萬級、億級，提升了數(shù)感。

這樣設計教學，旨在讓學生經歷從直觀到抽象的思維過程，利用知識內在的聯(lián)系整合教學內容，使前后所學知識呈現(xiàn)出整體性、系統(tǒng)性、結構性，幫助學生實現(xiàn)知識的深層加工、深刻理解，以及長久記憶，達成深度學習。

責任編輯? 劉佳