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    數(shù)學(xué)建模:從“結(jié)構(gòu)”走向“建構(gòu)”

    2022-05-30 10:48:04雷興榮
    關(guān)鍵詞:問題解決能力模型思想數(shù)學(xué)建模

    雷興榮

    [摘 要]數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)問題,用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決現(xiàn)實(shí)問題。文章通過“正確建模”“優(yōu)化建?!薄盎钣媚P汀比竽K,依托精選素材、積累表象等具體策略培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,使問題解決從依托數(shù)學(xué)問題結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)建模,有效提高學(xué)生的問題解決能力。

    [關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)建模;模型思想;問題解決能力

    [中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068(2022)17-0011-04

    《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出:在“問題解決”的教學(xué)中,不僅要關(guān)注數(shù)學(xué)問題解決的結(jié)果,更要關(guān)注學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題中思維的過程。因此,教師要引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析問題、建立模型,增強(qiáng)學(xué)生解決實(shí)際問題的意識和能力。

    一、建模困境:小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)的現(xiàn)狀審視

    1.缺少建模,思維散亂

    一些教師只注重問題解決方法的訓(xùn)練,缺乏對學(xué)生分析、加工、整合信息能力的培養(yǎng),沒能引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)問題解決的策略,形成系統(tǒng)的問題解決的模型。

    例如,用車運(yùn)煤,現(xiàn)有載重2噸和3噸的兩輛車,要求每輛車每次都要裝滿,正好可以運(yùn)完8噸煤,如何安排最合理呢?

    某教師首先讓學(xué)生自主探究,完成表格的填寫;然后呈現(xiàn)表格(如表1),選擇恰好運(yùn)完的情況,列出算式4×2+0×3=8(噸)或1×2+2×3=8(噸);最后給出其他練習(xí)讓學(xué)生訓(xùn)練。

    這位教師重視學(xué)生解題能力的培養(yǎng),但過于偏重解題結(jié)果,缺乏問題解決模型的構(gòu)建。

    2.錯誤建模,不善遷移

    數(shù)學(xué)建模應(yīng)該是基于學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)、思維方式和問題本質(zhì)而形成的問題解決策略。但是一些教師在問題解決教學(xué)時給學(xué)生建立的所謂“模型”并沒有基于問題解決的本質(zhì)特征。

    例如,人教版教材一年級上冊問題解決(如圖1)教學(xué)中,關(guān)于加法模型、減法模型,一些教師教學(xué)時都是告知學(xué)生:“見到‘一共,就圈上,列加法算式解答;見到‘剩下,就列減法算式解答。在圖形列式中,‘?在下面的做加法,‘?在上面的做減法?!?/p>

    這樣的教學(xué)沒有真正借助情境去幫助學(xué)生理解加法和減法運(yùn)算的意義。

    3.固化模型,機(jī)械運(yùn)用

    在分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)解決問題教學(xué)中,為了增強(qiáng)學(xué)生解決問題的意識和能力,一些教師首先將問題分成知道單位“1”和不知道單位“1”,根據(jù)兩種情況,分別建立模型:若知道單位“1”,就用乘法(算術(shù)法),用單位“1”的量×對應(yīng)分率;若不知道“單位1”,就用除法(算術(shù)法),用已知量÷對應(yīng)分率。這樣的教學(xué)加上強(qiáng)化練習(xí),看似提升了學(xué)生的問題解決能力,但學(xué)生的思維也固化了。

    二、建模途徑:提升小學(xué)生問題解決能力的建模策略

    1.正確建?!l(fā)思考,抽象本質(zhì)

    (1)精選素材,激發(fā)建模興趣

    合理的素材可以讓抽象的知識與學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)建立聯(lián)系,引導(dǎo)學(xué)生通過聯(lián)想、類比等多種思維方式學(xué)習(xí)。因此,教師要認(rèn)真選擇數(shù)學(xué)素材,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的興趣。

    【案例1】“統(tǒng)計(jì)圖”的教學(xué)

    師:育才小學(xué)小導(dǎo)游社團(tuán)的孩子對西湖接待的游客進(jìn)行了數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)。

    師(出示無數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)圖,圖略):你認(rèn)為哪張圖表示的接待游客多呢?

    師(在圖中補(bǔ)充數(shù)據(jù),如圖2-1):現(xiàn)在你知道了嗎?

    生1:兩張圖表示的都一樣多。

    師:曲線明明不一樣,怎么會一樣多呢?

    生2:因?yàn)榭v軸不一樣,第一張圖上的1格代表10萬人,第二張圖上的1格代表20萬人。

    師(出示有數(shù)據(jù)但沒有橫軸信息的統(tǒng)計(jì)圖,圖略):隨著西湖游客越來越多,甲、乙兩位船夫也忙得不亦樂乎,誰搭載的乘客多呢?

    生3:一樣多。

    生4:不好判斷,因?yàn)椴恢罊M軸的數(shù)據(jù)。

    師(在圖中補(bǔ)充橫軸的數(shù)據(jù),如圖2-2):現(xiàn)在你知道了嗎?

    師:有些圖像看上去一樣,但統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)不同;有些圖像雖然有所不同,但是統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)卻是相同的。在讀取圖中信息和對比分析時,應(yīng)該要注意些什么?

    生5:不僅要觀察圖像,更應(yīng)分析數(shù)據(jù)。

    生6:標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一。

    數(shù)學(xué)建模的價(jià)值在于從研究實(shí)際問題出發(fā),整理、提煉出數(shù)學(xué)策略。學(xué)習(xí)本課之前,學(xué)生已經(jīng)接觸過統(tǒng)計(jì)圖,但是在問題解決的過程中容易忽略統(tǒng)計(jì)圖的一些要素,缺乏整體的思考和細(xì)節(jié)的關(guān)注。本案例利用現(xiàn)實(shí)情境提醒學(xué)生分析問題不僅要觀察圖像,還要統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)。

    (2)積累表象,打好建?;A(chǔ)

    教師在教學(xué)時要給學(xué)生提供必要的物體、模型和圖形等,為學(xué)生的思維活動提供必要的素材,幫助學(xué)生將實(shí)物與抽象的符號聯(lián)系起來,進(jìn)而構(gòu)建數(shù)學(xué)知識。

    【案例2】以“分?jǐn)?shù)的意義”為例,教師在引領(lǐng)學(xué)生分單一的圖形或物體的四分之一的基礎(chǔ)上,給學(xué)生提供10個圓片,讓學(xué)生任選幾個進(jìn)行平均分,找出四分之一。

    學(xué)生有多種分法:有的選擇了偶數(shù)個,有的選擇了奇數(shù)個,有的是先把每一個圓片平均分成四份后選擇每個圓片的四分之一,有的把所有的圓片看成整體后再平均分成四份……學(xué)生通過實(shí)際操作,能對單位“1”有更深層的理解和體悟,從而自主建構(gòu)分?jǐn)?shù)的意義。

    對此,教師可通過問題“每個圖形被涂色部分的大小、個數(shù)、形狀都不相同,為什么都可用來表示四分之一?”引導(dǎo)學(xué)生思考后呈現(xiàn)數(shù)學(xué)模型(如圖3)。

    出示練習(xí):(1)說說你對“我國小學(xué)生中,睡眠不足的人數(shù)大約占總?cè)藬?shù)的[23]”的理解。(2)猜一猜圖4中涂色部分有幾個蘋果,為什么?

    拼、擺等操作可以將抽象的問題形象化,更利于空間想象能力比較弱的學(xué)生。

    (3)抽象本質(zhì),正確構(gòu)建模型

    數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心是感受和領(lǐng)悟知識的本質(zhì),教師要善于激勵學(xué)生主動思考,引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì),幫助學(xué)生構(gòu)建問題解決的模型。

    【案例3】教學(xué)“乘法分配律”時,教師可給出3道不同的習(xí)題以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不同情境問題與數(shù)學(xué)算式間的共同規(guī)律,然后再揭示乘法分配律的數(shù)學(xué)模型,這樣學(xué)生的思維能得到提升和發(fā)展,學(xué)生對學(xué)習(xí)的知識也印象深刻。

    數(shù)學(xué)抽象,是先讓學(xué)生親身感受到數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生過程,幫助學(xué)生獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則,形成數(shù)學(xué)思想和方法,再抽象出必要的數(shù)學(xué)模型,最后加以解釋和應(yīng)用,這就是一個建模學(xué)習(xí)的過程。通過建模學(xué)習(xí),能不斷增強(qiáng)學(xué)生從數(shù)學(xué)的視角來分析、思考和解決問題的能力。

    2.優(yōu)化建?!l(fā)展思維,提升能力

    (1) 深度挖掘,構(gòu)建有效模型

    建構(gòu)主義認(rèn)為,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是知識從外到內(nèi)的簡單傳遞,而是學(xué)生積極主動地建構(gòu)知識和積累經(jīng)驗(yàn)的過程。因此,教師要設(shè)計(jì)具有一定思考價(jià)值的數(shù)學(xué)問題,幫助學(xué)生構(gòu)建有效的數(shù)學(xué)模型。

    【案例4】被除數(shù)、除數(shù)、商,如果其中一個量或兩個量變了,還有一個會怎么變?

    呈現(xiàn):

    學(xué)生舉例驗(yàn)證,教師根據(jù)學(xué)生的總結(jié)進(jìn)行歸納。

    拓展:

    達(dá)成共識:被除數(shù)和除數(shù)同時增加相同的倍數(shù),商不變。

    層層遞進(jìn)的多樣素材和情境問題能激發(fā)學(xué)生深入思考、主動探究。

    (2)拉伸長度,升華數(shù)學(xué)模型

    重疊問題的靈魂是集合思想,集合思想的具體表現(xiàn)形式為用集合圈將具有某種特征的數(shù)圈在一起。在學(xué)生經(jīng)歷了集合從實(shí)物階段向符號階段抽象的過程后,教師可幫助學(xué)生運(yùn)用熟知的實(shí)物來感受數(shù)學(xué)模型,并且依托數(shù)學(xué)模型來解決實(shí)際問題。

    【案例5】如圖5,教師引導(dǎo)學(xué)生理解算式“8+9-3”的含義,并且理解“-3”的道理,至此初步建立了重疊問題的數(shù)學(xué)模型。

    接下來教師還可以向?qū)W生介紹集合圈的數(shù)學(xué)歷史故事,舉出生活中的實(shí)例,使學(xué)生能將所學(xué)知識與新情境進(jìn)行聯(lián)系,感受數(shù)學(xué)的魅力。

    這樣的擴(kuò)展不僅可以激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣,還能培養(yǎng)學(xué)生提出、分析和解決問題的能力。

    3.活用模型——拓寬思路,破除定式

    (1)注重情境創(chuàng)設(shè)

    通過創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)情境的方式引入新知識,既能增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的趣味性,又有助于學(xué)生根據(jù)情境靈活選擇數(shù)學(xué)模型解題。

    【案例6】“雞兔同籠”問題的拓展

    買物品問題:紅鉛筆每支0.38元,藍(lán)鉛筆每支0.22元,兩種鉛筆共買了16支,花了5.60元。紅、藍(lán)鉛筆各買了幾支?

    三個量的問題:蜘蛛有8條腿,蜻蜓有6條腿和2對翅膀,蟬有6條腿和1對翅膀,現(xiàn)在這三種動物共18只,有118條腿和20對翅膀。每種動物各幾只?

    配制鹽水的問題:有甲、乙兩種鹽水,甲種鹽水中含鹽4%,乙種鹽水中含鹽7%。小強(qiáng)要用這兩種鹽水來配制含鹽5%的鹽水60千克,可選用甲種鹽水和乙種鹽水各多少千克?

    學(xué)生通過某一個問題情境掌握了問題解決的策略,在初步建立了數(shù)學(xué)模型后,教師可以不斷變換情境,檢驗(yàn)學(xué)生對數(shù)學(xué)模型的理解和實(shí)際運(yùn)用能力,幫助學(xué)生發(fā)展和提升數(shù)學(xué)思維。

    (2)適時交流爭辯

    【案例7】一邊靠墻的圖形的周長計(jì)算問題:圖6中的長方形的周長計(jì)算是否正確?

    對于靠墻圖形的周長計(jì)算問題,學(xué)生錯誤率較高,究其原因是學(xué)生對周長的理解不到位。對此,教師需要引導(dǎo)學(xué)生通過具體分析來構(gòu)建正確的模型。開展問題解決教學(xué)時,既要結(jié)合具體問題情境培養(yǎng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的思想,也要避免讓學(xué)生陷入固化的數(shù)學(xué)模型當(dāng)中。因此,要去模型化,使學(xué)生能夠根據(jù)實(shí)際問題選擇正確的、合適的解題方法。

    通過數(shù)學(xué)建模教學(xué),學(xué)生學(xué)會了融會貫通知識,更能認(rèn)識和理解知識的本質(zhì)規(guī)律,能夠根據(jù)知識的本質(zhì)特點(diǎn)正確建立數(shù)學(xué)模型,從而分析、歸納和解決問題。由此可見,在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中進(jìn)行數(shù)學(xué)模型思想的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)模型的建構(gòu),其價(jià)值和意義是深遠(yuǎn)的。

    (責(zé)編 金 鈴)

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