藝術工匠的幾何創(chuàng)想

張羿

很久以前，他在一次游歷中偶然發(fā)現了這個領域（平面規(guī)則分割）。他仿佛看到了一堵高墻，預感到一些東西可能隱藏在高墻之后，他艱難地爬了過去。然而，在另一邊，他落在了一片荒野上，不得不勞神費力地開路，直到發(fā)現一條迂回路線，來到了一扇敞開的大門，這是數學的大門……

1922年，一位落魄青年畫家來到西班牙阿爾罕布拉宮，宮內精美繁復的裝飾圖案令他贊嘆不已，他躍躍欲試想要模仿，但茫無頭緒，只好無奈放棄。但這次邂逅在他的心中種下了一顆靈感的種子。十余年后，他故地重游，又一次看到阿爾罕布拉宮的精美裝飾，此后就仿佛打開了繪畫的任督二脈一般，他創(chuàng)作了無數極富數學韻味的版畫作品而聲名大噪，成為科學家推崇的藝術家。曾經的荷蘭女王冬季行宮也被改造成以他的名字命名的博物館，里面陳列著他的作品，供后人參觀紀念。

想必你已經猜到了，此人就是荷蘭版畫家莫里茨·科內利斯·埃舍爾（Maurits Cornelis Escher）。那么，他究竟在這座北非摩爾人建造的宮殿中找到了什么靈感之泉，讓他茅塞頓開，從此逆天改命？

答案是鋪滿阿爾罕布拉宮中各面墻壁的幾何圖案。只見彩色釉面磚鋪滿整面墻壁，形成漫無邊際、繁復迷離卻又秩序井然、美輪美奐的幾何圖形。這些幾何圖形變化循環(huán)，組成的圖案包羅萬象、云譎波詭，令人嘖嘖稱奇。

而在埃舍爾看來，這些填滿平面的彩釉瓷磚，與其說是在描繪抽象的幾何形體，不如說是在意圖創(chuàng)造一些可辨認的形體。他在自己的著作《平面規(guī)則分割》中寫道：

？？摩爾人是平面鑲嵌的大師，他們能夠用

全同的幾種圖案鑲嵌整個平面而不留任何空

隙。尤其是在西班牙的阿爾罕布拉宮，他們

把幾種彩釉瓷磚纖毫不差地拼在一起，裝飾

墻壁。不過很遺憾，伊斯蘭教禁止造“像”。

所以在他們的鑲嵌畫中，他們只能把自己的

想象力限制在一些抽象的幾何形狀里。據我

所知，沒有一個摩爾藝術家膽敢（甚至想都

不敢想）用具體的、可識別的圖形，如鳥、魚、

蜥蜴和人類的形象作為鑲嵌圖案的基本元素，

但是對我來說，這種限制是難以接受的，因

為在我自己的圖案中，正是基本元素的可識

別性，才是我對這個領域愛不釋手的原因……

平面規(guī)則分割是我挖掘出來的最豐富的靈感

之泉，它至今也沒有枯竭。

埃舍爾所謂的“平面規(guī)則分割”就是數學中的“平面密鋪”概念，即用不同的幾何形狀完全覆蓋一個二維平面，而且圖形之間既沒有重疊，也沒有縫隙。簡而言之，就是貼磚。人類離開洞穴后，自己建造房屋，他們開始用石頭來鋪砌地面和墻壁。當人們開始選取各種形狀和顏色的石頭來做漂亮的設計時，就可以把貼磚看作是一種藝術了。然而，時至今日，貼磚似乎只是裝修工人們的無聊活計。在地面上、墻壁上，各樣的貼磚隨處可見，它們即便不是千篇一律，也是平淡無奇。不過也正因為如此，阿爾罕布拉宮中的精美密鋪圖案才顯得尤為珍貴，也成為埃舍爾“最豐富的靈感之泉”。

想必你一定好奇，如此精美繁復的圖案，工匠們是如何創(chuàng)作出來的？

顯然，十幾個世紀以來，伊斯蘭幾何設計的歷史經歷了從簡單到復雜的連續(xù)演變過程，期間誕生的創(chuàng)作方法也絕非唯一。這些設計者具備高水平的應用幾何學知識。但是很遺憾，他們都沒有興趣通過證明定理和建立關于此類設計的數學知識，來提供科學的繪制方法。他們并不像如今的技術人員一樣編寫開發(fā)秘籍，也不像畫家一樣留下天馬行空的手稿。這些伊斯蘭幾何天才們的設計，具體時間不明，誕生地點不明，創(chuàng)作者不明，發(fā)展進程不明……總之除了如今留在文物古跡上的作品，一切都不明！

藝術方法論是一切嚴肅藝術研究的一個重要方面。詳細了解傳統(tǒng)藝術家、手工藝人和建筑師所使用的方法和技術，可以使我們更全面地了解某一藝術門類中的大趨勢以及細微差別。了解歷史設計方法論可以讓我們對伊斯蘭幾何圖案設計傳統(tǒng)的最初發(fā)展、完善、成熟，以及對地理分布有更深入的認識。然而，隨著這種裝飾傳統(tǒng)在歷史上日趨衰落，關于制作復雜圖案的方法的知識也隨之被逐漸遺忘。即使從20世紀下半葉開始，人們對伊斯蘭幾何圖案的興趣有所重燃，但由于缺乏對歷史設計方法論的了解，恢復對這種藝術形式的嘗試也困難重重。

方法論知識的缺失讓鑒賞者和有興趣將這種設計融入自己作品中的創(chuàng)作者如墜云霧之中，就像第一次游歷阿爾罕布拉宮的埃舍爾一樣，經歷過一系列徒勞的嘗試之后，只得無奈放棄。這些精美繁復的圖案仿佛一條沒有盡頭的苦難之路，看不到一抹亮色，也不知道盡頭在何方。

大多數時候，創(chuàng)作靈感是直覺的產物，而理性卻總是姍姍來遲。即便是埃舍爾這樣的天才，也和常人無異。

很久以前，他在一次游歷中偶然發(fā)現了這個領域（平面規(guī)則分割）。他仿佛看到了一堵高墻，預感到一些東西可能隱藏在高墻之后，他艱難地爬了過去。然而，在另一邊，他落在了一片荒野上，不得不勞神費力地開路，直到發(fā)現一條迂回路線，來到了一扇敞開的大門，這是數學的大門……

埃舍爾找到數學之門的“迂回路線”始于他第二次游歷阿爾罕布拉宮之后不久，當時埃舍爾經常到父母在海牙的家中做客。在這里，他遇到了同父異母的兄弟、萊頓大學地質學教授比爾·埃舍爾。埃舍爾同他的兄弟聊起了自己在平面規(guī)則分割領域的工作，比爾表示晶體學家也在研究類似的問題，建議他閱讀相關科學文獻與成果。

于是，這位比爾就成了將埃舍爾的研究與理性的科學聯系起來的人，正是他為埃舍爾指出了“敞開的大門”。埃舍爾聽從比爾的建議，閱讀了大量數學家和晶體學家的成果，然后就找到了通往平面規(guī)則分割的數學大門，并打開了它。入門之后，他開始開辟新道路，走向那些被數學家和晶體學家忽視的領域。他在《平面規(guī)則分割》中寫道：

？？在數學領域，平面規(guī)則分割已經在理論

上得到了充分的研究……數學家打開了一扇

通向無限可能性的大門，但是他們自身并沒

有進入其中。他們的特殊稟賦使他們對打開

這扇門的方式更感興趣，而對隱藏在其后的

花園不感興趣。？

在埃舍爾看來，在這個花園里耕耘播種自然是藝術家的工作。他開發(fā)了一套“外行人的理論”，作為自己進行平面規(guī)則分割創(chuàng)作的方法論。

接下來，我們就以阿爾罕布拉宮中的一些墻面裝飾圖案為例，跟隨埃舍爾的腳步，用他那套“外行人的理論”，走進平面規(guī)則分割的花園。

如圖3，以正方形作為密鋪單元，對其進行改造。左側割掉一個梯形，繞A順時針旋轉90°補到下方；右側也割掉一個梯形，繞C順時針旋轉90°補到上方，從而得到一個啞鈴形圖案。顯然，這個啞鈴形圖案可以密鋪平面。

圖4仍然以正方形作為密鋪單元。左側割掉一個三角形補到上側；下側也割掉一個三角形補到右側，得到了帽子形密鋪圖案。

圖5將圖4稍作修改，將割補三角形的一條邊變成弧線，得到了飛機形密鋪圖案。

圖6在圖5基礎上再作修改，將割補三角形的兩條邊都變成弧線，得到了楓葉形密鋪圖案。

圖7將割補三角形的尺寸變小，得到了魚形密鋪圖案。

圖8以正三角形作為密鋪單元進行改造。在正三角形底邊一側割下一個弓形，圍繞底邊中點旋轉180°補到另一側，另外兩條邊同理，得到了回旋鏢形圖案。

由此可見，埃舍爾的方法是通過“改造”基礎的密鋪單元衍生出較為復雜的圖案?！案脑臁本褪抢没A多邊形的對稱特性，進行平移、旋轉、反射、滑移反射等容變換操作。所謂等容變換，顧名思義，就是指把一個多邊形變來變去的最高原則是必須保持多邊形的面積不變。如果一側變形，那么另一側就必須進行相應的變形來補償?？梢杂靡痪湓妬硇稳荩合旅姘紒砩厦嫱?，左邊割掉右邊補。

正是此法，讓埃舍爾把大千世界中多姿多彩的花鳥魚蟲、飛禽走獸密鋪到平面之中，令人拍案叫絕。