巧用（-1）ⁿ求解“數(shù)字擺動”數(shù)列的通項公式

曾中君 周建玲

[摘 ?要] 近幾年，在各地的中考題中，我們常能發(fā)現(xiàn)數(shù)字規(guī)律類試題，且它們常常被放到了中高檔題的位置，于是對數(shù)字規(guī)律題的研究成為很多教師關注和研究的課題. 在數(shù)字規(guī)律的題目中，研究者對“數(shù)字擺動”型規(guī)律題進行了專門的研究，發(fā)現(xiàn)用線段的中點、三角函數(shù)、斐波拉契數(shù)列的知識可以較好地解決.

[關鍵詞] 規(guī)律題;數(shù)字擺動;通項公式

在初中數(shù)學規(guī)律題中，常會出現(xiàn)像 “1，3，1，3，1，3，…”這樣規(guī)律的一種數(shù)列，有相關文獻將此類數(shù)列命名為等和數(shù)列，其概念為：在一個數(shù)列中，從第二項起，如果每一項與它的前一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫等和數(shù)列，這個常數(shù)叫該數(shù)列的公和. 如果從函數(shù)的角度來解讀這類數(shù)列，大多數(shù)教師或同學會用分段函數(shù)來表示它的規(guī)律：a=1（n為奇數(shù)），

3（n為偶數(shù)）.

那么我們是否可以找到一個統(tǒng)一的表達式來表示它呢？下面我們就來對這一類“表達式周期循環(huán)”的規(guī)律題進行研究.

模型一：“兩個不同表達式循環(huán)排列”的數(shù)列

已知數(shù)列：2，3，2，3，2，3，…，求第n個數(shù).

對于這個問題的求解，不少高中教師會用到以下求解方法：

解：設這個數(shù)列的第n項為a，第（n+1）項為a，則有a+a=5，那么（-1）n+1a+（-1）n+1a=（-1）n+1×5;設b=（-1）nan，則b=（-1）n+1a，所以b-b=（-1）n+1a-（-1）nan=（-1）n+1a+（-1）n+1a=（-1）n+1（a+a），

即b-b=（-1）n+1×5，然后采用累加法：

b

-b=（-1）2×5，

b

-b=（-1）3×5，

…

b

-b=（-1）n×5，將這（n-1）個式子左、右分別相加，可得：b-b=5×[（-1）2+（-1）3+…+（-1）n]，利用等比數(shù)列求和公式容易得出b-b=5×=5×，最后將b移項到右邊，可得：b=5×+b=5×-2=，那么a=.

以上解法是十分巧妙的，通過構造新數(shù)列作為載體，然后采用累加法思想來連接b和b的數(shù)理關系，從而間接得出a的表達式，能夠看出這個過程是非常精致的，但是由于初中知識的局限性，很多初中生在理解起來也是很困難的. 在這里，我們將給出一種更為簡單適用的方法來推導它的通項公式.

首先作一條數(shù)軸，將2和3表示在數(shù)軸上的A、B兩點處，并在數(shù)軸上取2和3的中點M，則M對應的數(shù)為，即，如圖1所示：

所以AM=BM==，即當n為奇數(shù)時，a=-=2;當n為偶數(shù)時，a=+=3.

然后聯(lián)想到“符號周期循環(huán)”的符號開關（-1）n，所以a=+（-1）n·=+（-1）n·=.

以上解法運用的是數(shù)軸和中點的相關知識，解題過程通俗易懂，“起點低，落點高”，更加適合初中生的認知水平.

在解出了以“兩個不同常數(shù)循環(huán)排列”的數(shù)列的通項公式之后，我們發(fā)現(xiàn)，其實對于“兩個不同表達式循環(huán)排列”的數(shù)列的通項公式也就可以類比解出了，下面我們就來研究“兩個不同表達式循環(huán)排列”的數(shù)列的通項公式.

設數(shù)列a=f（n）（n為奇數(shù)），

g（n）（n為偶數(shù)），（其中f（n）和g（n）是關于n的兩個獨立的表達式），即a1=f（1），a=g（2），a3=f（3），a=g（4）…

通過研究發(fā)現(xiàn)，上述數(shù)列是可以用一個表達式來作為它的通項公式，方法如下：

作一條數(shù)軸，我們可以將f（n）（n為奇數(shù)）和g（n）（n為偶數(shù)）類比視為在數(shù)軸上的A、B兩點處，并在數(shù)軸上取f（n）和g（n）的中點M，則M對應的表達式為，如圖2所示：

所以AM=BM=，

所以當n為奇數(shù)時，a=f（n）=-，

當n為偶數(shù)時，a=g（n）=+，

所以a=+（-1）n·.

例1 觀察下列各數(shù)：3，1，7，4，11，9，15，16，…，求第n個數(shù)的表達式.

模型分析 通過觀察，很容易發(fā)現(xiàn)該數(shù)列的奇數(shù)項是一個等差數(shù)列，而偶數(shù)項呈現(xiàn)的是一組平方數(shù)，符合“兩個不同表達式循環(huán)排列”的模型，可以按照以上推導的通項公式來求解.

解 通過觀察可以發(fā)現(xiàn)該數(shù)列的奇數(shù)項是一個等差數(shù)列，由于是間隔一項增加4，所以其公差是2，不難給出它的奇數(shù)項的表達式為f（n）=2n+1（n為奇數(shù)）. 再觀察其偶數(shù)項是一列平方數(shù)，所以偶數(shù)項的表達式為g（n）=

（n為偶數(shù)），那么運用“兩個不同表達式循環(huán)排列”的模型的研究成果，我們就能夠很快的調(diào)配統(tǒng)一出這個數(shù)列的通項公式：

a=+（-1）n·=+（-1）n·=+（-1）n·.

模型二：“三個不同表達式循環(huán)排列”的數(shù)列

在以前的研究成果中，我們發(fā)現(xiàn)可以調(diào)節(jié)符號呈“正正負”規(guī)律的“符號開關”，即（-1），那么是否存在一個通項公式來統(tǒng)一規(guī)律題中的“三個不同表達式循環(huán)排列”的規(guī)律呢？即a=f（n）（n=3k-2），

g（n）（n=3k-1），

h（n）（n=3k）. 通過研究發(fā)現(xiàn)，這也是可以辦到的.

類比“兩個不同表達式循環(huán)排列”的數(shù)列通項公式a=+（-1）n·，再結(jié)合符號為“正正負”規(guī)律的“符號開關”（-1），我們可以調(diào)配統(tǒng)一出規(guī)律為“三個不同表達式循環(huán)排列”通項公式：a= -，下面讓我們來驗證其正確性.

已知數(shù)列a=f（n）（n=3k-2），

g（n）（n=3k-1），

h（n）（n=3k），其中k為正整數(shù).

證明：a=-

證明 當n=3k-2時，a=-= -=f（n）.

當n=3k-1時，a=-= -=g（n）.

當n=3k時，a=-=-=h（n）.

所以an=-是可以用來調(diào)配統(tǒng)一規(guī)律為“三個不同表達式循環(huán)排列”的數(shù)列的通項公式.

例2 觀察下列各數(shù)：1，4，5，16，32，11，49，256，17，…，求第n個數(shù)的表達式.

模型分析 觀察這個數(shù)列，可以發(fā)現(xiàn)該數(shù)列的第（3k-2）項是一個滿足“平方數(shù)”變化規(guī)律的數(shù)列，該數(shù)列的第（3k-1）項是一個以2為公比的等比數(shù)列，該數(shù)列的第3k項是一個以2為公差的等差數(shù)列（k為正整數(shù)），即a=n2（n=3k-2），

2n（n=3k-1），

2n-1（n=3k），這是符合“三個不同表達式循環(huán)排列”的數(shù)列模型，現(xiàn)在我們就能夠按照以上的研究成果來統(tǒng)一它的一般表達式.

解 從該數(shù)列呈現(xiàn)的規(guī)律中可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)列中的數(shù)每間隔三項，表現(xiàn)的規(guī)律是用一個表達式來滿足的，所以我們可以從中歸納出該數(shù)列的分段表達式：a=n2（n=3k-2），

2n（n=3k-1），

2n-1（n=3k），那么這個數(shù)列的表達式也就可以統(tǒng)一為：an=-.

用一個通項公式來統(tǒng)一“三個不同表達式循環(huán)排列”的方法，針對初中生來說，著實太難，如若學生能夠完全掌握，那在其思維的擴充上更是“如虎添翼”，同時也能增強學生學習數(shù)學的信心，促使學生思維的創(chuàng)新發(fā)展. 讓我們懷著一種對數(shù)學執(zhí)著追求的態(tài)度，大膽質(zhì)疑、提出猜想、鍥而不舍，我相信我們還將會發(fā)現(xiàn)數(shù)學世界里更多唯美的風景.