基于解題自然的數(shù)學(xué)現(xiàn)象教學(xué)

曹彬

[摘? 要] 學(xué)生真正會解一道題的標(biāo)準(zhǔn)是解題自然，所以解題自然是解題教學(xué)的最終目標(biāo). 若學(xué)生在解題時出現(xiàn)思維“卡頓”就是解題不自然的體現(xiàn)，此時教師要打開學(xué)生的心理桎梏，將已知條件和所求結(jié)論建立聯(lián)系，以明顯的數(shù)學(xué)現(xiàn)象引出解題思路，才能讓學(xué)生達到解題自然的目標(biāo).

[關(guān)鍵詞] 解題自然;數(shù)學(xué)現(xiàn)象;現(xiàn)象教學(xué)

面對思維層次較高的高考壓軸題，只有極少部分學(xué)生有勇氣繼續(xù)思考，而大部分學(xué)生解題思路屢屢“卡頓”，這種不自然的解題過程導(dǎo)致其放棄的念頭越來越強烈. 有的教師為了盡快完成教學(xué)任務(wù)，采用拖著學(xué)生走的方式公布解答過程，但學(xué)生常常會為過程中的某一步糾結(jié)半天，而且一直貫穿始終的最大糾結(jié)是：“這一步是怎么想到的？”

用數(shù)學(xué)眼光觀察到的表象就是數(shù)學(xué)現(xiàn)象，基于數(shù)學(xué)現(xiàn)象的教學(xué)稱為數(shù)學(xué)現(xiàn)象教學(xué)[1]. 在解題中學(xué)生的思路出現(xiàn)“卡頓”就是因為現(xiàn)象不明顯，如何讓學(xué)生解題自然？可以讓現(xiàn)象更為明顯，學(xué)生通過明顯的現(xiàn)象更有效地找到解題思路，達到解題自然的目標(biāo).

[?]分析解題過程

真題再現(xiàn)：（2018年全國高考數(shù)學(xué)Ⅲ卷理科第21題第（2）問）已知函數(shù)f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）-2x，若x=0是f（x）的極大值點，求a.

題目分析：這個函數(shù)解析式中含有未知數(shù)，而且一次求導(dǎo)后分母上也有未知數(shù)，唯一可以保證的是分母是正數(shù)，求導(dǎo)后可以只研究分子的正負(fù). 題目的已知條件有“x=0是f（x）的極大值點”，可以通過極值點的定義以及求導(dǎo)尋找解題突破口.

題目解答：函數(shù)f（x）的定義域為（-1，+∞）.

糾結(jié)1：x=0是f（x）的極大值點能得到什么結(jié)論？

現(xiàn)象1：因為x=0是f（x）的極大值點，所以f′（0）=0，且存在x<0和x>0，使得在區(qū)間[x，0）上f′（x）>0，在區(qū)間[0，x]上f′（x）<0（如圖1所示）.

f′（x）=（1+2ax）ln（1+x）+-2=，令g（x）=（1+x+2ax+2ax2）ln（1+x）+ax2-x，在區(qū)間[x，0）上g（x）>0，在區(qū)間（0，x]上g（x）<0.

糾結(jié)2：函數(shù)g（x）的解析式似乎比f（x）的解析式更復(fù)雜，思路是對還是錯？g（x）具有什么性質(zhì)？

現(xiàn)象2：注意到g（0）=0，由于g（x）>0，g（x）<0，存在xx>0使得g（x）在區(qū)間[x，x]上是單調(diào)減函數(shù)（如圖2所示）.

g′（x）=（1+2a+4ax）ln（1+x）++2ax-1=（1+2a+4ax）ln（1+x）+4ax，令h（x）=（1+2a+4ax）ln（1+x）+4ax.

糾結(jié)3：按函數(shù)單調(diào)性的定義可知，h（x）<0，因為不能把未知數(shù)a分離，所以解不出a，接下來該怎么辦？

現(xiàn)象3：由g（x）的圖像可得g′（x）<0，即h（x）<0，又h（0）=0，故x<0時，h（x）為增函數(shù)，x>0時，h（x）為減函數(shù)，故存在xx>0，使得h（x）在區(qū)間[x，0）上是單調(diào)增函數(shù)，在區(qū)間[0，x]上是單調(diào)減函數(shù)（如圖3所示），所以x=0是h（x）的極大值點. h′（x）=4aln（1+x）++4a，所以h′（0）=0，解得a=-.

解題反思：這是運用數(shù)形結(jié)合思想解題的典例，以函數(shù)圖像作為數(shù)學(xué)現(xiàn)象推動解題思路的發(fā)掘，充分暴露解題過程中的思維活動，逐一解答學(xué)生心中的疑惑，這就是自然的解題過程. 當(dāng)然，如果對函數(shù)圖像的描述不準(zhǔn)確，現(xiàn)象不明顯，學(xué)生還是會對解題過程疑慮重重.

[?]探索解題自然

當(dāng)“怎么想到的”成為縈繞在學(xué)生頭腦中的魔咒時，一定不是一件好事. 這是學(xué)生對自身知識結(jié)構(gòu)的懷疑，也是對自身能力體系的拷問，如果在解題教學(xué)中這個問題得不到妥善解決，那么將會對學(xué)生的自信心產(chǎn)生毀滅性打擊. 筆者認(rèn)為，解題教學(xué)的出發(fā)點是澄清思路和解題自然，而解題自然有兩方面的解釋，一是本次解題思路是自然的，二是下次遇到類似的題目時會自然想到解題思路. 那么，在數(shù)學(xué)解題現(xiàn)象教學(xué)中，如何呈現(xiàn)現(xiàn)象，使解題過程更自然？

1. 打破心理桎梏，“破題”更自然

大多數(shù)教師講解一套模擬試卷的順序是：先講選擇題、填空題或解答題前面的題，再集中力量解決這幾種題型的最后一題. 如果學(xué)生的數(shù)學(xué)總體水平不高，從“先易后難”的角度進行思考，這種講題順序無可厚非. 事實上，學(xué)生的數(shù)學(xué)總體水平高不高，大多是教師的主觀意識確定的，與實際情況經(jīng)常不吻合. 比如教學(xué)中教師認(rèn)為學(xué)生解不出來的題目學(xué)生恰好解出來了，而教師認(rèn)為在學(xué)生“狙擊”范圍內(nèi)的題目學(xué)生反而做不出來，這種情況比比皆是. 沿著這個思路，大多數(shù)教師認(rèn)為試卷里的最后一題就是難題，這就是教師的主觀意識確定的，這在解題教學(xué)中是大忌，多次這樣的訓(xùn)練會給學(xué)生造成最后一題一定是難題的心理桎梏，加上講解最后一題時大多數(shù)學(xué)生已經(jīng)疲憊，可以想象得到講解最后一題的效果有多么尷尬.

倒推回去，大多是從小學(xué)和初中就形成的心理陰影，雖然高中教師無權(quán)評價小學(xué)或初中的好與壞，但不能讓學(xué)生的這種心理陰影面積拓寬，那么該如何破解學(xué)生心中的難題？答案是打亂講題順序，先從學(xué)生先入為主貼上標(biāo)簽的難題開始講解. 當(dāng)教師把學(xué)生認(rèn)為的難題破解了，學(xué)生會覺得“這個難題也不過如此”，一旦學(xué)生破解了心中的難題，這個“現(xiàn)象”給其心理產(chǎn)生的積極作用是巨大的. 這種積極作用在復(fù)習(xí)備考的沖刺階段尤為重要，所以建議在復(fù)習(xí)備考階段中先復(fù)習(xí)函數(shù)和解析幾何兩個板塊. 當(dāng)然，每個學(xué)生認(rèn)為的難題不盡相同，有的認(rèn)為函數(shù)題難，有的認(rèn)為解析幾何題難，還有的認(rèn)為立體幾何題難，教師實在沒必要給學(xué)生大量的心理壓力.

2. 聯(lián)系“已知”和“所求”，理解更自然

從古到今斷案的大致過程都是先審被告，審了被告再審原告，最后將原告與被告的證詞相互比較，反復(fù)多次并以此判斷誰的供述更接近真相. 解題也可以仿照這種思路，先“審所求”，充分挖掘所求結(jié)論背后隱藏的東西;再“審已知”，挖掘已知條件背后隱藏的東西;最后建立兩者的關(guān)系. 這個思維過程要完全展現(xiàn)給學(xué)生，而具體的解題過程要留給學(xué)生完成.

真題再現(xiàn)：（2021年全國高考數(shù)學(xué)甲卷理科第12題）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為R，f（x+1）為奇函數(shù)，f（x+2）為偶函數(shù)，當(dāng)x∈[1，2]時，f（x）=ax2+b. 若f（0）+f（3）=6，求f的值.

首先“審所求”：要求f

的值，只有知道函數(shù)f（x）的解析式或者性質(zhì). 接著“審已知”：由f（x+1）為奇函數(shù)可得函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于點（-1，0）對稱，加上f（x）的定義域為R可得f（-1）=0;由f（x+2）為偶函數(shù)可得函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于直線x=-2對稱. 兩個條件合起來可得f（x）的圖像關(guān)于直線x=0、直線x=2和點（1，0）對稱，周期是4. 當(dāng)x∈[1，2]時，f（x）的解析式中含有兩個未知數(shù)，需要兩個方程才能解出來，正好f（-1）=f（1）=0和f（0）+f（3）=-f（2）+f（1）=6. 于是將“已知”和“所求”聯(lián)系了起來，將f

3. 動畫展示過程，探究更自然

對于一些所求結(jié)論不夠明確的題，“審所求”得不到明顯的結(jié)果，只能從“審已知”開始，但學(xué)生容易出現(xiàn)疑問：“應(yīng)該往哪個方向思考？”此時可以利用信息技術(shù)將滿足條件的圖像畫出來，明確要探究的結(jié)論是什么，下次遇見類似的題目時自然就有相應(yīng)的解答思路.

真題再現(xiàn)：（2021年全國高考數(shù)學(xué)甲卷理科第20題改編）點A，A，A是拋物線C：y2=x上的三點，直線AA，AA均與☉M：（x-2）2+y2=1相切. 判斷直線AA與☉M的位置關(guān)系，并說明理由.

此題讓學(xué)生產(chǎn)生的困惑是：“直線AA與☉M會有哪些位置關(guān)系？是一直保持著一種關(guān)系，還是點A在不同的位置時會有不同的關(guān)系？”此時可以借助于幾何畫板解決此困惑. 作拋物線C：y2=x和☉M：（x-2）2+y2=1的圖像，在拋物線上任取一點A，以AM為直徑作圓，所作的圓與☉M相交于點B，C，此時直線AB，AC總是與☉M相切. 直線AB，AC分別與拋物線C相交于點A，A，連接直線AA，發(fā)現(xiàn)直線AA與☉M相切，拖動點A，直線AA總是與☉M相切，說明直線AA與☉M相切. 如圖4所示.

學(xué)生真正會解一道題的標(biāo)準(zhǔn)是解題自然，所以解題自然是解題教學(xué)的最終目標(biāo). 在解題教學(xué)中，教師要充分準(zhǔn)備，采用合適的方式引入解題思路，讓學(xué)生達到解題自然的目標(biāo)，這是解題現(xiàn)象教學(xué)的基本要求.

參考文獻：

[1]? 孫四周. 現(xiàn)象教學(xué)的內(nèi)涵與價值[J]. 教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)），2018（03）：5-9.