如何用Euler公式推導(dǎo)與證明三角函數(shù)公式

胡長(zhǎng)好

三角函數(shù)中的基本公式共有數(shù)十個(gè)，其關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜，很多同學(xué)難以理清其關(guān)系，只能靠機(jī)械記憶，來(lái)熟悉、掌握這些公式.對(duì)此，筆者嘗試用 Euler 公式的極簡(jiǎn)形式：e iα= cos α+ isin α（其中i ）2=-1及同角的三角函數(shù)關(guān)系式 cos 2α + sin2α=1推導(dǎo)出三角函數(shù)的基本公式，以便幫助大家從一個(gè)新的角度理解并掌握三角函數(shù)的基本公式.

若 x 為實(shí)數(shù)，則函數(shù) e x 的 Maclaurin 級(jí)數(shù)展開(kāi)式為：

這就是著名的 Euler 公式.

在 Euler 公式中，若α=π，則 e iπ= -1，其中 e 和π為超越數(shù)，i 為虛數(shù)單位，這個(gè)公式將數(shù)學(xué)中最重要的四個(gè)常數(shù)，以極其簡(jiǎn)潔的方式聯(lián)系在一起.

下面用 Euler 公式來(lái)推導(dǎo)與證明三角函數(shù)中的一些基本公式.

1.兩角和公式：

證明：

2.兩角差公式

證明：

3.二倍角公式

證明：

4.萬(wàn)能公式：

證明：

5.三倍角公式：

證明：

6. De Moivre 公式：

證明：

7.半角公式I：

證明：

8.半角公式II：

證明：

9.誘導(dǎo)公式I：

證明：

10.誘導(dǎo)公式II：

證明：

11.誘導(dǎo)公式III：

證明：

12.積化和差公式：

證明：

13.和差化積公式：

證明：

14.輔助角公式：

證明：

用Euler公式來(lái)推導(dǎo)與證明三角函數(shù)公式的過(guò)程比較簡(jiǎn)潔，其思路也比較簡(jiǎn)單.在推導(dǎo)和證明的過(guò)程中，同學(xué)們要注意選擇合適的公式，將Euler公式與三角函數(shù)中的基本公式關(guān)聯(lián)起來(lái)，合理進(jìn)行推理、運(yùn)算.